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- 2021-06-16 发布
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学业分层测评
(建议用时:45 分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.如果函数 y=ax+b 在区间[1,2]上的平均变化率为 3,则 a=
( )
A.-3 B.2
C.3 D.-2
【解析】 根据平均变化率的定义,可知Δy
Δx
=2a+b-a+b
2-1
=a
=3.故选 C.
【答案】 C
2.若函数 f(x)=-x2 +10 的图象上一点
3
2
,31
4 及邻近一点
3
2
+Δx,31
4
+Δy ,则Δy
Δx
=( )
A.3 B.-3
C.-3-(Δx)2 D.-Δx-3
【解析】 ∵Δy=f
3
2
+Δx -f
3
2 =-3Δx-(Δx)2,
∴Δy
Δx
=-3Δx-Δx2
Δx
=-3-Δx.故选 D.
【答案】 D
3.若质点 A 按照规律 s=3t2 运动,则在 t=3 时的瞬时速度为( )
A.6 B.18
C.54 D.81
【解析】 因为Δs
Δt
=33+Δt2-3×32
Δt
=18Δt+3Δt2
Δt
=18+3Δt,
所以limΔt→0
Δs
Δt
=18.
【答案】 B
4.如图 3-1-1,函数 y=f(x)在 A,B 两点间的平均变化率是( )
图 3-1-1
A.1 B.-1
C.2 D.-2
【解析】 Δy
Δx
=f3-f1
3-1
=1-3
2
=-1.
【答案】 B
5.已知函数 f(x)=13-8x+ 2x2,且 f′(x0)=4,则 x0 的值为( )
A.0 B.3
C.3 2 D.6 2
【解析】 f′(x0)=limΔx→0
Δy
Δx
=
limΔx→0
[13-8x0+Δx+ 2x0+Δx2]-13-8x0+ 2x20
Δx
=limΔx→0
-8Δx+2 2x0Δx+ 2Δx2
Δx
=limΔx→0 (-8+2 2x0+ 2Δx)
=-8+2 2x0=4,所以 x0=3 2.
【答案】 C
二、填空题
6.一物体的运动方程为 s=7t2+8,则其在 t=________时的瞬时
速度为 1.
【解析】 Δs
Δt
=7t0+Δt2+8-7t20+8
Δt
=7Δt+14t0,
当 limΔt→0 (7Δt+14t0)=1 时,t0= 1
14.
【答案】 1
14
7.已知曲线 y=1
x
-1 上两点 A 2,-1
2 ,B 2+Δx,-1
2
+Δy ,当
Δx=1 时,割线 AB 的斜率为________.
【解析】 Δy=
1
2+Δx
-1 -
1
2
-1
= 1
2+Δx
-1
2
=2-2+Δx
22+Δx
= -Δx
22+Δx
,
∴Δy
Δx
=
-Δx
22+Δx
Δx
=- 1
22+Δx
,
即 k=Δy
Δx
=- 1
22+Δx.
∴当Δx=1 时,k=- 1
2×2+1
=-1
6.
【答案】 -1
6
8.已知函数 f(x)=1
x
,则 f′(2)=________.
【解析】 limΔx→0
f2+Δx-f2
Δx
= limΔx→0
-Δx
22+Δx
Δx
= limΔx→0
-1
22+Δx
=-1
4.
【答案】 -1
4
三、解答题
9.求 y=x2+1
x
+5 在 x=2 处的导数.
【解】 ∵Δy=(2+Δx)2+ 1
2+Δx
+5- 22+1
2
+5
=4Δx+(Δx)2+ -Δx
22+Δx
,
∴Δy
Δx
=4+Δx- 1
4+2Δx
,
∴y′|x=2=limΔx→0
Δy
Δx
=limΔx→0
4+Δx- 1
4+2Δx
=4+0- 1
4+2×0
=15
4 .
10.若函数 f(x)=-x2+x 在[2,2+Δx](Δx>0)上的平均变化率不大
于-1,求Δx 的范围. 【导学号:26160069】
【解】 因为函数 f(x)在[2,2+Δx]上的平均变化率为:
Δy
Δx
=f2+Δx-f2
Δx
=-2+Δx2+2+Δx--4+2
Δx
=-4Δx+Δx-Δx2
Δx
=-3-Δx,
所以由-3-Δx≤-1,得Δx≥-2.
又因为Δx>0,
即Δx 的取值范围是(0,+∞).
[能力提升]
1.函数 y=x2 在 x0 到 x0+Δx 之间的平均变化率为 k1,在 x0-Δx
到 x0 之间的平均变化率为 k2,则 k1 与 k2 的大小关系为( )
A.k1>k2 B.k1
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