2020年高中数学新教材同步必修第一册 第5章 再练一课 (范围：5 7页

再练一课(范围：5.5) 1．sin 162°cos 78°＋cos 162°sin 78°化简得( ) A．－1 2 B. 3 2 C．－ 3 2 D.1 2 答案 C 解析 sin 162°cos 78°＋cos 162°sin 78°＝sin(162°＋78°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60° ＝－ 3 2 . 2．函数 y＝2cos2 x＋π 4 －1 是( ) A．最小正周期为π的偶函数 B．最小正周期为π 2 的奇函数 C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π 2 的偶函数 答案 C 解析 y＝2cos2 x＋π 4 －1＝cos 2x＋π 2 ＝－sin 2x，显然是奇函数，周期为π. 3．已知α，β∈ －π 2 ，π 2 ，且 tan α，tan β是方程 x2＋3 3x＋4＝0 的两个根，则α＋β的值为 ( ) A.π 3 或－2π 3 B．－2π 3 C．－π 3 或2π 3 D．－π 3 答案 B 解析 由题意可得 tan α＋tan β＝－3 3，tan αtan β＝4； 所以 tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β ＝－3 3 1－4 ＝ 3； 因为α，β∈ －π 2 ，π 2 ，tan α＋tan β＝－3 3<0，tan αtan β＝4>0， 所以α，β∈ －π 2 ，0 ，所以α＋β∈(－π，0)． 因为 tan(α＋β)＝ 3，所以α＋β＝－2π 3 . 4．已知函数 f(x)＝f(π－x)，且当 x∈ －π 2 ，π 2 时，f(x)＝x＋sin x．设 a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)， 则( ) A．a0， 故得到 sin α 2 ＝ 30 6 . 7．已知 sin α－3cos α＝0，则 sin 2α＝________. 答案 3 5 解析 由题意可得 sin α＝3cos α， 所以 sin2α＋cos2α＝(3cos α)2＋cos2α＝1， 所以 cos2α＝ 1 10 ， 所以 sin 2α＝2sin αcos α＝6cos2α＝3 5. 8．若方程 sin x－ 3cos x＝c 有实数解，则 c 的取值范围是________． 答案 [－2,2] 解析 关于 x 的方程 sin x－ 3cos x＝c 有解， 即 c＝sin x－ 3cos x＝2sin x－π 3 有解， 由于 x 为实数，则 2sin x－π 3 ∈[－2,2]， 故有－2≤c≤2. 9．已知α，β为锐角，cos α＝3 5 ，cos(α＋β)＝－ 5 5 . (1)求 sin 2α的值； (2)求 tan(α－β)的值． 解 (1)已知α，β为锐角，cos α＝3 5 ，所以 sin α＝4 5 ， 则 sin 2α＝2sin αcos α＝2×3 5 ×4 5 ＝24 25. (2)由于α，β为锐角，则 0<α＋β<π， 又 cos(α＋β)＝－ 5 5 ⇒sin(α＋β)＝2 5 5 ， 由(1)知 tan α＝sin α cos α ＝4 3 ， 所以 cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－ 5 5 ×3 5 ＋2 5 5 ×4 5 ＝ 5 5 ， 则 tan β＝2，故 tan(α－β)＝ tan α－tan β 1＋tan αtan β ＝ 4 3 －2 1＋4 3 ×2 ＝－ 2 11. 10．已知函数 f(x)＝(sin x＋cos x)2＋2cos2x－1. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在 0，π 2 上的单调区间． 解 由已知得，f(x)＝sin 2x＋cos 2x＋1 ＝ 2sin 2x＋π 4 ＋1. (1)函数的最小正周期 T＝2π 2 ＝π. (2)由 2kπ－π 2 ≤2x＋π 4 ≤2kπ＋π 2(k∈Z)得， kπ－3π 8 ≤x≤kπ＋π 8(k∈Z)， 又 x∈ 0，π 2 ，∴ x∈ 0，π 8 ， ∴f(x)的单调递增区间为 0，π 8 ， 同理可求 f(x)的单调递减区间为 π 8 ，π 2 . 11．若 sin x＋π 3 ＝1 3 ，则 cos π 3 －2x 等于( ) A．－7 9 B.7 9 C.2 2 3 D．－2 2 3 答案 A 解析 因为 sin x＋π 3 ＝1 3 ， π 6 －x ＋ x＋π 3 ＝π 2 ， 所以 cos π 6 －x ＝sin x＋π 3 ＝1 3 ； cos π 3 －2x ＝cos 2 π 6 －x ＝2cos2 π 6 －x －1＝－7 9. 12．函数 y＝2sin xcos x－ 3cos 2x 的单调增区间是( ) A. kπ－5π 12 ，kπ＋ π 12 (k∈Z) B. kπ－π 6 ，kπ＋π 3 (k∈Z) C. kπ－π 3 ，kπ＋π 6 (k∈Z) D. kπ－ π 12 ，kπ＋5π 12 (k∈Z) 答案 D 解析 y＝2sin xcos x－ 3cos 2x＝sin 2x－ 3cos 2x＝2sin 2x－π 3 ， 由－π 2 ＋2kπ≤2x－π 3 ≤π 2 ＋2kπ(k∈Z)得， kπ－ π 12 ≤x≤kπ＋5π 12(k∈Z)， ∴函数的单调增区间是 kπ－ π 12 ，kπ＋5π 12 (k∈Z)． 13.如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成 的一个大正方形，如果大正方形的面积为 225，小正方形的面积为 9，直角三角形较小的锐角 为α，则 sin 2α等于( ) A. 1 25 B. 7 25 C.12 25 D.24 25 答案 D 解析 ∵大正方形的面积为 225，小正方形的面积为 9， ∴大正方形的边长为 15，小正方形的边长为 3. 设四个全等的直角三角形的长直角边为 x，则短直角边为 x－3. 由勾股定理得 x2＋(x－3)2＝152，解得 x＝12(舍负)， α为直角三角形较小的锐角，所以 sin α＝3 5 ，cos α＝4 5 ， ∴sin 2α＝2sin αcos α＝24 25. 14．函数 f(x)＝cos2x－sin2x＋2sin xcos x 的最小正周期为________，单调递减区间是 ________________． 答案 π kπ＋π 8 ，kπ＋5π 8 (k∈Z) 解析 由题意得，f(x)＝cos2x－sin2x＋2sin xcos x ＝cos 2x＋sin 2x＝ 2sin 2x＋π 4 ， ∴最小正周期 T＝2π ω ＝π， 由 2kπ＋π 2<2x＋π 4<2kπ＋3π 2 (k∈Z) 得， kπ＋π 8