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- 2021-06-16 发布
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2020年高三第三次教学质量检测
理科数学
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(本大题共12小题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1. 已知集合,,,则集合( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出并集,再求对应的补集,即可得出结果.
【详解】因为集合,,,
所以,
因此.
故选:A.
【点睛】本题主要考查集合的并集和补集运算,熟记概念即可,属于基础题型.
2. 已知复数(为虚数单位),若复平面内对应点在虚轴上,则实数的值为( )
A. B. 3
C. -3 D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据复数的除法化简,求出,再由复数的几何意义,即可得出结果.
【详解】因为,
所以,
- 24 -
又复平面内对应点在虚轴上,所以,解得.
故选:A.
【点睛】本题主要考查复数的除法运算,考查由复数的几何意义求参数,属于基础题型.
3. 下面的折线图表示某商场一年中各月份的收入、支出情况,据此判断下列说法错误的是( )
A. 相邻两月的收入增长率最大为1月至2月
B. 支出最高值与支出最低值的比是6︰1
C. 收入最高的月份是2月份
D. 2月至5月为销售淡季,收支均递减
【答案】D
【解析】
【分析】
根据折现统计图即可判断各选项.
【详解】解:由折线统计图可得相邻两月的收入增长率最大为1月至2月,故A正确;
支出最高值是2月份60万元,支出最低值是5月份的10万元,故支出最高值与支出最低值的比是,故B正确.
收入最高的是2月份 万元,故C正确.
2月至5月收入递减,3月、4月的支出相同,故D错误;
- 24 -
故选:D
【点睛】本题考查了统计图识别和应用,关键是认清图形,属于基础题
4. 已知向量,,,若,则( )
A. -5 B. 5
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意,先得到,再由向量共线的坐标表示,列出方程求解,即可得出结果.
【详解】因为向量,,,
所以,
又,所以,解得.
故选:C.
【点睛】本题主要考查由向量共线求参数,熟记向量共线的坐标表示即可,属于基础题型.
5. 已知实数,满足不等式组,则的最大值为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先作出可行域,再由可表示为可行域内的点和点连线的斜率,由图可得解.
- 24 -
【详解】由不等式组,作出可行域,如图所示,
可表示为可行域内的点和点连线的斜率,由图可知经过点时斜率最大,此时,
故选:D.
【点睛】本题主要考查了分式型线性规划的求解,考查了数形结合的能力,属于基础题.
6. 函数( )
A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数
C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数
【答案】D
【解析】
由题意,
因为,所以为偶函数,故排除A,C,由诱导公式得
,
即函数的最小正周期为,所以正确答案为D.
点睛:引题主要考查三角函数的奇偶性、周期性等性质,以及三角函数诱导公式的应用等有关方面的知识与技能,属于中低档题型,也是常考考点.
- 24 -
在此类问题中,函数解析式相对特殊,直接法求解不容易算,采用三角函数的性质去判断,反而会使问题简单化,以达到四两拔千斤的效果.
7. 如图所示,给出的是计算值的程序框图,其中判断框内应填入的条件是( )
A. i>9 B. i>10 C. i>11 D. i>12
【答案】C
【解析】
【分析】
分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知该程序的作用是累加并输出的值,模拟循环过程可得条件.
【详解】解:程序运行过程中,各变量值如下表所示:
不满足条件,第1圈:
不满足条件,第2圈:
不满足条件,第3圈:
…
依此类推
- 24 -
不满足条件,第10圈:
不满足条件,第11圈:
此时,应该满足条件,退出循环,其中判断框内应填入的条件是:.
故选:C
【点睛】算法是新课程中新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误,属于基础题.
8. 在中,若,则下列等式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用降次公式得到,展开得到,得到
【详解】∵,
∴.
∵.
故选A.
【点睛】本题考查了三角恒等变换,也可以利用特殊值法排除选项得到答案.
9. “”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
构造函数利用单调性判断.
【详解】设,,所以为增函数,
- 24 -
由于,所以,所以;
反之成立,则有,所以.
所以是充要条件,故选C.
【点睛】本题主要考查充要条件的判定,明确两者之间的推出关系是判定的关键.
10. 甲、乙两名同学轮流投篮,甲先投乙后投,直到有1人投中为止.每次投篮,甲投中的概率为0.4,乙投中的概率为0.6.记甲投篮的次数为,到投篮结束时,等于( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
表示甲同学投篮了次投篮结束,最后一次可能甲同学投中也可以是乙同学投中,分两种情况求解即可.
【详解】表示甲同学投篮了次投篮结束,有两种可能,一种是甲同学投了次,乙次,最后一次甲同学投中,一种是甲同学投了次,乙同学次,最后一次乙同学投中,
所以.
故选:A.
【点睛】本题主要考查了独立事件的概率计算,属于基础题.
11. 以下是某同学对棱长为1的正方体的性质的探究,其中正确的是( )
A. 12条棱中可构成16对异面直线
B. 以正方体的四个顶点为顶点组成的正四面体的体积为
C. 过正方体的一个顶点的截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形
D. 以正方体各表面中心为顶点的正八面体的表面积是
【答案】B
【解析】
【分析】
- 24 -
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,与棱AB异面的有CC1,DD1,B1C1,A1D1共4对,正方体ABCD﹣A1B1C1D1有12条棱,由此能求出异面直线共有多少对,可判断A;利用线面垂直的判定与性质,结合正方体的性质利用计算可得B正确;过正方体的一个顶点的截面最多与正方体的五个面相交,即可判断C;求出八面体的棱长,然后求解表面积即可判断D.
【详解】如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,与棱AB异面的有CC1,DD1,B1C1,A1D1共4对,
正方体ABCD﹣A1B1C1D1有12条棱,排除两棱的重复计算,∴异面直线共有12×4×=24对.故A错;
以正方体的四个顶点为顶点组成的正四面体,例如为四面体B1﹣D1CA的体积为V==1﹣4×=,得到B正确;
过正方体的一个顶点的截面最多与正方体的五个面相交,所以不可能是六边形,故C错;
正方体的棱长为1,以正方体各表面中心为顶点的正八面体的棱长为:,八面体的表面积为:8××=,故D错;
故选:B
【点睛】本题主要考查异面直线的判断,平面截正方体,棱锥表面积和球的体积的求法,考查判断和推理、空间想象能力和运算能力,具有一定的综合性,属于中档题.
12. 已知椭圆:与双曲线:(,)有共同的焦点,,且在第一象限的交点为,满足(其中为原点).
- 24 -
设,的离心率分别为,,当取得最小值时,的值为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
作,利用椭圆和双曲线定义可表示出,由,可得点的横坐标为,利用勾股定理可得,即,再利用基本不等式可求出最值,并求出此时的值.
【详解】如图,作,垂足为M,
根据椭圆与双曲线的定义可得,
解得,
由,可得点的横坐标为,
即,
- 24 -
由勾股定理可得,
整理得,即,
,当且仅当时等号成立,
.
故选:D.
【点睛】本题考查椭圆和双曲线的基本性质,属于中档题.
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(本大题共4小题.把答案填在答题卷中相应的横线上.)
13. 已知抛物线:的焦点为,若抛物线上一点满足,则的值为______.
【答案】4
【解析】
【分析】
由点在抛物线:上可得,利用抛物线的定义得到关于的方程,解方程即可求解.
【详解】因为点在抛物线:上,所以,
由抛物线的定义知,,解得.
故答案为:4
【点睛】本题考查抛物线的定义及其标准方程;考查运算求解能力;属于基础题.
14. 的展开式中的常数项的值是______.(用数字作答)
【答案】-40
【解析】
- 24 -
【分析】
利用二项式定理求出二项式的展开式的通项公式,令的指数为零,求得的值,然后代入二项式的展开式的通项公式即可求解.
【详解】由题意知,二项式的展开式的通项公式为
,
令,解得,
所以二项式的展开式的常数项为
.
故答案为:-40
【点睛】本题考查利用二项式定理求二项展开式中的常数项;考查运算求解能力;属于基础题、常考题型.
15. 已知函数,则的值为______.
【答案】4037
【解析】
【分析】
首先计算当时,当时,即可得解;
【详解】解:因为,当时,
- 24 -
当时
所以
故答案为:
【点睛】本题考查函数值的求法,解题时要认真审题,解题的关键是推导出,属于中档题.
16. 中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章,其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页.而同杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如下图所示,从莱布尼茨三角形可以看出,排在第10行从左边数第3个位置上的数是______.一般地,类比杨辉三角形中相邻两行(第行与第行,除首末项的二项式系数外)满足关系式,其中是行数,是列数,,.请类比写出莱布尼茨三角形中相邻两行(第行、从左边数第个位置上的数与第行)满足的关系式的______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
- 24 -
根据题中条件,先得到从第二行开始,每一行相邻的两个数之和都等于这两个数上一行对应的数字,由此可求出第10行从左边数第3个位置上的数;以及满足的关系式.
【详解】由题中条件可得,,,,,,,,,,……,
由此可得,从第二行开始,每一行相邻的两个数之和都等于这两个数上一行对应的数字;
所以第9行第2个数字为,第10行第2个数字为,
因此第10行第3个数字为;
又莱布尼茨三角形的第2行数字可记作,;
第3行数字可记作:,,;
第4行数字可记作,,,;
第5行数字可记作,,,,;
……
第行数字可记作,,……,,……,;
第行数字可记作,,……,,……,;
所以有.
故答案为:;.
【点睛】本题主要考查类比推理,根据题中条件找出规律即可,属于常考题型.
三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必做题,每个试题考生都必修作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.)
(一)必考题
- 24 -
17. 已知数列的前项和为,.
(1)求证:为等比数列;
(2)若,求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
【分析】
(1)根据题意,得到,与原式作差整理,即可证明数列是等比数列;
(2)先由(1)得到,求出,再由裂项相消的方法,即可求出数列的和.
【详解】(1)∵,则,
∴,所以.
又,∴.
∴是首项为4,公比为4的等比数列;
(2)解:由(1)知,,代入得,
.
【点睛】本题主要考查由递推关系证明数列是等比数列,考查裂项相消的方法求数列的和,属于常考题型.
- 24 -
18. 在如图多面体中,,,四边形为矩形,,,
(1)若为线段上一点,且,是否存在线段上一点,使,面?若存在,求出的值;
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值;
【答案】(1)存在;;(2).
【解析】
【分析】
(1)如图,过作,交于点,过作,交于点,过作,交于点,连接,可得,根据比例关系可证;
(2)可根据面面关系证得为平面与平面所成的锐二面角的平面角,即可求出.
【详解】(1)如图,过作,交于点,过作,交于点,过作,交于点,连接,
- 24 -
平面平面,平面,平面,
平面,平面与平面分别交于,,,
,
故存在,使得平面;
(2),平面,平面,
设平面平面,则,
,,,
平面,从而平面,
所以为平面与平面所成的锐二面角的平面角,
在内,,知,,
故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查空间中点的存在性问题,考查二面角的求法,属于中档题.
19. 已知椭圆:()的短轴长为2,离心率是.
(1)求椭圆方程;
(2)点,轨迹上的点,满足,求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
【详解】试题分析:(1)由已知即可以解得a,b,c的值;(2)先要考虑斜率不存在的情况,斜率存在时,联立直线与椭圆,韦达定理结合向量的横坐标,得出,,化简得,结合解得,从而解出的取值范围.
试题解析:
- 24 -
(1)由已知 ,,
所以的方程为
(2)过的直线若斜率不存在,则或3.
设直线斜率存在,
则
由(2)(4)解得,代入(3)式得
化简得
由(1)解得代入上式右端得
解得
综上实数的取值范围是.
点睛:解析中出现属于问题,由得出,结合韦达定理找到与
的关系,再利用建立不等关系即得解.
20. 已知函数.
- 24 -
(1)当时,判断函数的零点个数,并加以证明;
(2)若函数在上单调递增,求的取值范围.
【答案】(1)有唯一零点;证明见解析;(2).
【解析】
【分析】
(1)先对函数求导,判定其单调性,再由,即可得出结果;
(2)先对函数求导,得到,根据题意,得到在上恒成立,令,则,所以在恒成立,根据二次函数的性质即可得出结果.
【详解】(1)当时,,则,
因为,所以,
∴在上单调递增;
又,
∴在上有唯一零点;
(2)因为,
所以,
又函数在上单调递增,
所以在上恒成立.
令,则,所以在恒成立,
令,
由二次函数开口向上,知,只需,即,
解得,.
- 24 -
即的取值范围为.
【点睛】本题主要考查导数的方法研究函数的零点,考查由函数单调性求参数的问题,涉及一元二次不等式恒成立问题,以及三角函数的性质,属于跨章节综合题.
21. 新冠肺炎来势汹汹,党中央运筹帷幄、全国人民众志成城,抗疫保卫战取得阶段性胜利.通过建立数学模型,可增强对疫情走势的准确预判.
日期
累计确诊病例数
1月24日
5
1
3.871
1月25日
22
2
2.316
1月26日
35
3
1.792
1月27日
46
4
1.465
1月28日
56
5
1.216
1月29日
63
6
1.061
1月30日
87
7
0.597
1月31日
116
8
0.106
2月1日
128
9
-0.09
- 24 -
2月3日
142
11
-0.32
2月4日
165
12
-0.72
2月5日
173
13
-0.88
2月7日
195
15
-1.36
2月8日
208
16
-1.73
2月10日
219
18
-2.13
2月11日
225
19
-2.42
2月13日
229
21
-2.66
2月14日
230
22
-2.73
2月16日
236
24
-3.27
2月17日
240
25
-3.87
平均数
12
-0.49
新冠肺炎疫情拐点,是指疫情发展过程中确诊病例的变化率由多到少的转折时间点.由疫情发展过程可知,病例数开始增长很快,日增长率达到峰值后,增速减缓;即累计确诊病例数与时间的函数图像,近似于一条曲线(图1).假设这条曲线可近似如下表示:,其中,表示新冠肺炎累计确诊病例数,是时间,、、为待定系数,而是的最大值.对上式关于求导,得:,在直角坐标系中画出图像(图2),该图像其实就是新冠肺炎每日新增确诊病例数曲线;再对求导,得二阶导数;令,解得,就是拐点出现的时刻.为确定新冠肺炎累计病例数随时间变化的函数关系式,我们对上述公式,两边取自然对数,得,令,(日期变为序列数),便得到与的线性回归方程:
- 24 -
,这样,由统计报表中新冠肺炎逐日累计确诊病例数的信息,用最小二乘法可求一元线性回归方程的确定方法,可以得到、的值,,,上表为陕西省从2020年1月24日到2月20日中选取其中21天,统计的每日新冠肺炎累计病例数报表,取,
(1)试以表中所列的前20个数据为基础,参考数据:,,,,推算与的线性回归方程(保留两位有效数字);
(2)由此估算陕西省新冠肺炎累计病例数关于时间的“拐点”.
【答案】(1);(2)陕西省新冠肺炎累计病例数关于时间的“拐点”约为2月2日.
【解析】
分析】
(1)根据所给参考数据及公式求出、,即可求出回归直线方程;
(2)由(1)及,知,所以,对求二阶导数,令,解方程即可求出,从而得解;
【详解】解:(1)由表可知样本数,
从而求得与的线性回归方程为.
(2)由(1)及,知,,
,
- 24 -
所以,
所以
所以
令,得,即,,
即陕西省新冠肺炎累计病例数关于时间的“拐点”约为2月2日.
【点睛】本题考查最小二乘法求回归直线方程,导数的计算及应用,考查阅读理解能力、计算能力,属于中档题.
(二)选考题:请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题记分.
[选修4-4:极坐标与参数方程]
22. 在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(为参数,),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,圆C的极坐标方程为.
(1)求圆C的直角坐标方程;
(2)设,若直线l与圆C相交于A,B两点,求的最大值.
【答案】(1);(2)4.
【解析】
【分析】
(1)根据极坐标与直角坐标的转化公式,求得圆C的直角坐标方程;
(2)将直线方程与圆联立,由直线参数方程中参数几何意义及根与系数的关系,求得的最大值.
- 24 -
【详解】(1)圆C的极坐标方程为:,则
由极坐标与直角坐标的转化公式得,
所以:.
(2)将线l的参数方程为:(t为参数),
代入.
所以
设点A,B所对应的参数为和,
则,,
则
当时,的最大值为4.
【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的相互转化,直线参数方程的应用,属于中档题.
[选修4-5:不等式选讲]
23. 在平面直角坐标系中,定义点,之间的“直角距离”为.
(1)已知,,三点,若,求的取值范围;
(2)已知,,三点,对任意,,不等式恒成立,求的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)根据题意,先得到,解不等式,即可得出结果;
(2)根据题意,得到
- 24 -
,由绝对值三角不等式求出其最小值,得到,再由题意,得出,求解即可得出结果.
【详解】(1)由题意得,即,
则,两边平方得,解得.
故的取值范围为.
(2)由题意,
,
当且仅当且时取等号;
又任意,,不等式恒成立,
所以恒成立,
因此只需,即,解得,
∴的取值范围.
【点睛】本题主要考查绝对值不等的应用,熟记绝对值三角不等式即可,涉及一元二次不等式的解法,属于常考题型,
- 24 -
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