人教版高中数学选修2-3练习：第二章2-3-2-3-2离散型随机变量的方差word版含解析 7页

第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.2 离散型随机变量的方差 A 级 基础巩固 一、选择题 1．已知随机变量ξ满足 P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则 E(ξ)和 D(ξ) 的值分别为( ) A．0.6 和 0.7 B．1.7 和 0.09 C．0.3 和 0.7 D．1.7 和 0.21 解析：E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1.7－1)2×0.3＋(1.7－ 2)2×0.7＝0.21. 答案：D 2．已知 X 的分布列为： X －1 0 1 P 0.5 0. 3 0.2 则 D(X)等于( ) A．0.7 B．0.61 C．－0.3 D．0 解析：E(X)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D(X)＝(－1＋0.3)2 ×0.5＋(0＋0.3)2×0.3＋(1＋0.3)2×0.2＝0.61. 答案：B 3．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．其中射 击比较稳定的运动员是( ) 环数 k 8 9 10 P(ξ＝k) 0.3 0.2 0.5 P(η＝k) 0.2 0.4 0.4 A.甲 B．乙 C．一样 D．无法比较 解析：E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2，所以 E(η)＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η) ＝0.56＜D(ξ)，所以乙稳定． 答案：B 4．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B(10， 0.6)，则 E(η)和 D(η)的值分别是( ) A．6 和 2.4 B．2 和 2.4 C．2 和 5.6 D．6 和 5.6 解析：由已知 E(ξ)＝10×0.6＝6，D(ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4.因为ξ ＋η＝8，所以η＝8－ξ. 所以 E(η)＝－E(ξ)＋8＝2，D(η)＝(－1)2D(ξ)＝2.4. 答案：B 5．随机变量ξ的分布列如下表，且 E(ξ)＝1.1，则 D(ξ)＝( ) ξ 0 1 x P 1 5 p 3 10 A.0.36 B．0.52 C．0.49 D．0.68 解析：先由随机变量分布列的性质求得 p＝1 2. 由 E(ξ)＝0×1 5 ＋1×1 2 ＋ 3 10x＝1.1，得 x＝2， 所以 D(ξ)＝(0－1.1)2×1 5 ＋(1－1.1)2×1 2 ＋(2－1.1)2× 3 10 ＝0.49. 答案：C 二、填空题 6．若事件在一次试验中发生次数的方差等于 0.25，则该事件在一 次试验中发生的概率为________． 解析：在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则 D(ξ) ＝p(1－p)，所以 p(1－p)＝0.25，解得 p＝0.5. 答案：0.5 7．已知 X 的分布列为： X －1 0 1 P 1 2 1 3 1 6 若η＝2X＋2，则 D(η)的值为________． 解析：E(X)＝－1×1 2 ＋0×1 3 ＋1×1 6 ＝－1 3 ，D(X)＝5 9 ，D(η)＝D(2X ＋2)＝4D(X)＝20 9 . 答案：20 9 8．随机变量 X 的分布列如下表： X 0 1 2 P x y z 其中 x，y，z 成等差数列，若 E(X)＝1 3 ，则 D(X)的值是________． 解析：E(X)＝0×x＋1×y＋2×z＝y＋2z＝1 3 ， 又 x＋y＋z＝1，且 2y＝x＋z，解得 x＝2 3 ，y＝1 3 ，z＝0，所以 D(X) ＝ 0－1 3 2 ×2 3 ＋ 1－1 3 2 ×1 3 ＋ 2－1 3 2 ×0＝2 9. 答案：2 9 三、解答题 9．已知随机变量 X 的分布列为： X 0 1 x P 1 2 1 3 p 若 E(X)＝2 3. (1)求 D(X)的值； (2)若 Y＝3X－2，求 D（Y）的值． 解：由1 2 ＋1 3 ＋p＝1，得 p＝1 6. 又 E(X)＝0×1 2 ＋1×1 3 ＋1 6x＝2 3 ， 所以 x＝2. (1)D(X)＝ 0－2 3 2 ×1 2 ＋ 1－2 3 2 ×1 3 ＋ 2－2 3 2 ×1 6 ＝15 27 ＝5 9. (2)因为 Y＝3X－2，所以 D(Y)＝D(3X－2)＝9D(X)． 所以 D（Y）＝ 9D（X）＝3 D（X）＝ 5. 10．每人在一轮投篮练习中最多可投篮 4 次，现规定一旦命中即 停止该轮练习，否则一直试投到 4 次为止．已知一选手的投篮命中率 为 0.7，求一轮练习中该选手的实际投篮次数ξ的分布列，并求出ξ的期 望 E(ξ)与方差 E(ξ)(保留 3 位有效数字)． 解：ξ的取值为 1，2，3，4.若ξ＝1，表示第一次即投中，故 P(ξ ＝1)＝0.7；若ξ＝2，表示第一次未投中，第二次投中，故 P(ξ＝2)＝(1 －0.7)×0.7＝0.21；若ξ＝3，表示第一、二次未投中，第三次投中，故 P(ξ＝3)＝(1－0.7)2×0.7＝0.063；若ξ＝4，表示前三次未投中，故 P(ξ ＝4)＝(1－0.7)3＝0.027. 因此ξ的分布列为： ξ 1 2 3 4 P 0.7 0.21 0.063 0.027 E(ξ)＝1×0.7＋2×0.21＋3×0.063＋4×0.027＝1.417. D(ξ)＝(1－1.417)2×0.7＋(2－1.417)2×0.21＋(3－1.417)2×0.063＋ (4－1.417)2×0.027＝0.513. B 级 能力提升 1．若ξ是离散型随机变量，P(ξ＝X1)＝2 3 ，P(ξ＝X2)＝1 3 ，且 X1＜X2， 又已知 E(ξ)＝4 3 ，D(ξ)＝2 9 ，则 X1＋X2 的值为( ) A.5 3 B.7 3 C．3 D.11 3 解析：X1，X2 满足 2 3X1＋1 3X2＝4 3 ， X1－4 3 2 ×2 3 ＋ X2－4 3 2 ×1 3 ＝2 9 ， 解得 X1＝1， X2＝2 或 X1＝5 3 ， X2＝2 3. 因为 X1＜X2，所以 X1＝1，X2＝2，所以 X1＋X2＝3. 答案：C 2．抛掷一枚均匀硬币 n(3≤n≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项 分布 B n，1 2 ，若 P(ξ＝1)＝ 3 32 ，则方差 D(ξ)＝________． 解析：因为 3≤n≤8，ξ服从二项分布 B n，1 2 ，且 P(ξ＝1)＝ 3 32 ， 所以 C1n· 1 2 n－1 · 1－1 2 ＝ 3 32 ，即 n 1 2 n ＝ 6 64 ，解得 n＝6，所以方差 D(ξ) ＝np(1－p)＝6×1 2 × 1－1 2 ＝3 2. 答案：3 2 3．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上 0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作 x，然后放回，再抽 取一张，其上数字记作 y，令ξ＝x·y.求： (1)ξ所取各值的分布列； (2)随机变量ξ的数学期望与方差． 解：(1)随机变量ξ的可能取值有 0，1，2，4，“ξ＝0”是指两次 取的卡片上至少有一次为 0，其概率为 P(ξ＝0)＝1－2 3 ×2 3 ＝5 9 ； “ξ＝1”是指两次取的卡片上都标着 1，其概率为 P(ξ＝1)＝1 3 ×1 3 ＝1 9 ； “ξ＝2”是指两次取的卡片上一个标着 1，另一个标着 2，其概率 为 P(ξ＝2)＝2×1 3 ×1 3 ＝2 9 ； “ξ＝4”是指两次取的卡片上都标着 2，其概率为 P(ξ＝4)＝1 3 ×1 3 ＝1 9. 则ξ的分布列为： ξ 0 1 2 4 P 5 9 1 9 2 9 1 9 (2)E(ξ)＝0×5 9 ＋1×1 9 ＋2×2 9 ＋4×1 9 ＝1， D(ξ)＝(0－1)2×5 9 ＋(1－1)2×1 9 ＋(2－1)2×2 9 ＋(4－1)2×1 9 ＝16 9 .