2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：模块综合提升 15页

www.ks5u.com ‎(教师独具) ‎ ‎1．空间中任何两个向量都是共面向量． (√)‎ ‎[提示]　　根据共面向量的定义可知，正确．‎ ‎2．空间任一点O和不共线的三点A，B，C满足＝＋－，则点P与A，B，C共面． (√)‎ ‎[提示]　＋－1＝1，故四点共面．‎ ‎3．两个平面垂直，则这两个平面的法向量也垂直． (√)‎ ‎[提示]　由平面法向量的定义可知．‎ ‎4．直线与平面垂直，则直线的方向向量与平面的法向量垂直． (×)‎ ‎[提示]　直线的方向向量与平面的法向量平行．‎ ‎5．若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，则空间任何一个向量p；总存在唯一实数组{x，y，z}使p＝xe1＋ye2＋ze3. (√)‎ ‎[提示]　根据空间向量基本定理知，正确．‎ ‎6．若直线的方向向量与平面的法向量所成的角为150°，则直线与平面所成的角为30°. (×)‎ ‎[提示]　直线与平面所成的角为60°.‎ ‎7．若某直线的方向向量与平面内的某向量是共线向量，则该直线与该平面平行． (×)‎ ‎[提示]　该直线也可能在平面内 ‎8．若两个平面的法向量所成的角为120°，则这两个平面的夹角就是60°. (√)‎ ‎[提示]　两个平面的夹角是不大于直角的角．‎ ‎9．两条异面直线所成的角为30°，则两条直线的方向向量所成的角可能是150°. (√)‎ ‎[提示]　根据向量所成角的定义知正确．‎ ‎10．若二面角是30°，则在二面角的两个半平面内与二面角的棱垂直的直线的方向向量所成的角也是30°. (×)‎ ‎[提示]　在二面角的两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量所成的角是30°或150°.‎ ‎11．直线的倾斜角α与直线的斜率是一一对应的． (×)‎ ‎[提示]　α＝90°时，k不存在．‎ ‎12．若直线不经过坐标原点，则直线的方程就可以表示为截距式． (×)‎ ‎[提示]　垂直于坐标轴的直线方程也不能写成截距式．‎ ‎13．两直线平行，则其斜率必相等． (×)‎ ‎[提示]　两直线平行，它的斜率也可能都不存在．‎ ‎14．直线方程的一般式方程在一定条件下可以转化为斜截式． (√)‎ ‎[提示]　Ax＋By＋C＝0中，当B≠0时，可以写成斜截式．‎ ‎15．圆的一般式方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. (×)‎ ‎[提示]　应加上条件D2＋E2－4F＞0.‎ ‎16．若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，且l1与l2相交，则A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示过l1和l2交点的所有直线． (×)‎ ‎[提示]　不表示直线l2.‎ ‎17．方程y＝－表示半圆． (√)‎ ‎[提示]　y＝－可化为x2＋y2＝1，但由于y≤0，所以只表示下半圆．‎ ‎18．若两圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则相交弦方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. (√)‎ ‎19．椭圆上的点到焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c. (√)‎ ‎[提示]　椭圆长轴的端点到焦点的距离有最大值或最小值．‎ ‎20．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆． (×)‎ ‎[提示]　|F1F2|＝8，故点的轨迹是线段F1F2.‎ ‎21．平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线． (×)‎ ‎[提示]　当点在直线上时，表示过该点且垂直于该直线的直线．‎ ‎22．已知F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则点P的轨迹是双曲线的右支． (×)‎ ‎[提示]　点P的轨迹是一条射线．‎ ‎23．椭圆2x2＋3y2＝12的焦点坐标为(0，±)． (×)‎ ‎[提示]　椭圆标准方程为＋＝1，c2＝a2－b2＝2，故椭圆的焦点坐标为(±，0)．‎ ‎24．方程＋＝1表示椭圆的充要条件是－1＜k＜5. (×)‎ ‎[提示]　当k＝2时表示圆．‎ ‎25．等轴双曲线的渐近线相同． (√)‎ ‎[提示]　等轴双曲线的渐近线方程都是y＝±x.‎ ‎26．抛物线y＝2x2的焦点坐标是. (×)‎ ‎[提示]　抛物线标准方程为x2＝y，故焦点坐标为.‎ ‎27．平行于渐近线的直线与双曲线有且只有一个交点． (√)‎ ‎[提示]　根据双曲线渐近线的特点可知，有且只有一个交点．‎ ‎28．抛物线y2＝2px(p>0)中过焦点的最短弦长为2p. (√)‎ ‎[提示]　抛物线中通径是最短的弦长．‎ ‎29．过椭圆＋＝1的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为. (√)‎ ‎[提示]　弦长AB＝2b＝.‎ ‎30．双曲线的渐近线斜率的绝对值越大，它的离心率就越大． (×)‎ ‎[提示]　e＝，当焦点在y轴上时，离心率随渐近线斜率绝对值的增大而变小．‎ ‎1．若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　)‎ A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．8‎ D　[抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，‎ 椭圆＋＝1的焦点坐标为(±，0)．‎ 由题意得＝，∴p＝0(舍去)或p＝8.‎ 故选D.]‎ ‎2．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则(　　)‎ A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2‎ C．a＝2b D．3a＝4b B　[由题意，e＝＝，得＝，则＝，‎ 所以4a2－4b2＝a2，即3a2＝4b2.故选B.]‎ ‎3．已知双曲线－y2＝1(a＞0)的离心率是，则a＝(　　)‎ A． B．4‎ C．2 D． D　[由题意知，b＝1，e＝＝＝，解得a＝.故选D.]‎ ‎4．渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是(　　)‎ A． B．1‎ C． D．2‎ C　[根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得a＝b，所以c＝a，则该双曲线的离心率为e＝＝，故选C.]‎ ‎5．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为(　　)‎ A．2sin 40° B．2cos 40°‎ C． D． D　[由题意可得－＝tan 130°，‎ 所以e＝＝＝ ‎＝＝.‎ 故选D.]‎ ‎6．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(　　)‎ A． B． C．2 D． D　[因为抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，所以F(1,0)，准线l的方程为x＝－1.‎ 因为l与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，所以|AB|＝，|OF|＝1，所以＝4，即b＝2a，‎ 所以c＝＝a，所以双曲线的离心率为e＝＝.]‎ ‎7．设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)‎ A． B． C．2 D． A　[令双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c,0)，则c＝.‎ 如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝，由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，‎ 得＋＝a2，∴＝，即离心率e＝.‎ 故选A.]‎ ‎8．已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为(　　)‎ A． B． C． D． B　[由F是双曲线－＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.‎ 不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0＞0，y0＞0，‎ 则 解得 所以P，‎ 所以S△OPF＝|OF|·y0＝×3×＝.‎ 故选B.]‎ ‎9．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)‎ A．＋y2＝1 B．＋＝1‎ C．＋＝1 D．＋＝1‎ B　[设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由椭圆定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.‎ ‎∵|AB|＝|BF1|，‎ ‎∴|AF1|＋2|AB|＝4a.‎ 又|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝|AF2|，‎ ‎∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.‎ 又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF2|＝a，‎ ‎∴A为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A(0，b)，‎ 又F2(1,0)，＝2，‎ ‎∴B.‎ 将B点坐标代入椭圆方程＋＝1，得＋＝1，‎ ‎∴a2＝3，b2＝a2－c2＝2.∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ 故选B.]‎ ‎10．(一题两空)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.‎ ‎－2　　[法一：如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得＝－，解得m＝－2，所以圆心为(0，－2)，则半径r＝＝.‎ 法二：由r＝＝，得m＝－2，所以r＝＝.]‎ ‎11．设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________．‎ ‎(x－1)2＋y2＝4　[y2＝4x的焦点为(1,0)，准线为x＝－1，故符合条件的圆为(x－1)2＋y2＝4.]‎ ‎12．已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．‎ 　[设椭圆的右焦点为F′，连接PF′，线段PF的中点A在以原点O为圆心，2为半径的圆，连接AO，可得|PF′|＝2|AO|＝4，‎ 设P的坐标为(m，n)，由题意F(－2,0)，所以线段FP的中点A在圆x2＋y2＝4上，所以＋＝4，又点P(m，n)在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，所以4m2－36m－63＝0，‎ 所以m＝－或m＝(舍去)，n＝，可得直线PF的斜率为＝.]‎ ‎13．设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．‎ ‎(3，)　[设F1为椭圆的左焦点，分析可知M在以F1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．‎ 因为点M在椭圆＋＝1上，‎ 所以联立方程可得 解得 又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，)．]‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b＞0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是________．‎ y＝±x　[因为双曲线x2－＝1(b＞0)经过点(3,4)，‎ 所以32－＝1，解得b2＝2，即b＝.‎ 又a＝1，所以该双曲线的渐近线方程是y＝±x.]‎ ‎15．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________．‎ ‎2　[法一：因为·＝0，所以F1B⊥F2B，如图．‎ 所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为＝，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BF1O＝，tan∠BOF2＝.因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝＝2.‎ 法二：因为·＝0，所以F1B⊥F2B，在Rt△F1BF2中，|OB|＝|OF2|，所以∠OBF2＝∠OF2B，又＝，所以A为F1B的中点，所以OA∥F2B，所以∠F1OA＝∠OF2B.又∠F1OA＝∠BOF2，所以△OBF2为等边三角形．由F2(c,0)可得B，因为点B在直线y＝x上，所以c＝·，所以＝，所以e＝＝2.]‎ ‎16．已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)．求抛物线C的方程及其准线方程：________.‎ x2＝4y　y＝1　[由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)，得p＝2.所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.]‎ ‎17.如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．‎ ‎(1)证明：EF⊥BC；‎ ‎(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．‎ ‎[解]　(1)连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.‎ 又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，‎ 平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以，A1E⊥平面ABC.‎ 如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz.‎ 不妨设AC＝4，则A1(0,0，2)，B(，1,0)，B1(，3，2)，F，C(0,2,0)．因此，＝，BC＝(－，1,0)．由·＝0得EF⊥BC.‎ ‎(2)设直线EF与平面A1BC所成角为θ，‎ 由(1)可得＝(－，1,0)，＝(0,2，－2)，‎ 设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，由，得，‎ 取n＝(1，，1)，故sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.所以cos θ＝.‎ 因此直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为.‎ ‎18．图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.‎ 图1　　　　　　图2‎ ‎(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；‎ ‎(2)求图2中的二面角BCGA的大小．‎ ‎[解]　(1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，‎ 故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．‎ 由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，故AB⊥平面BCGE.‎ 又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.‎ ‎(2)作EH⊥BC，垂足为H.因为EH⊂平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC.‎ 由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC＝60°，可求得BH＝1，EH＝.‎ 以H为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz，则A(－1,1,0)，C(1，0,0)，G(2,0，)，＝(1,0，)，＝(2，－1,0)．‎ 设平面ACGD的法向量为n＝(x，y，z)，则 即 所以可取n＝(3,6，－)．‎ 又平面BCGE的法向量可取为m＝(0,1,0)，‎ 所以cos〈n，m〉＝＝.‎ 因此二面角BCGA的大小为30°.‎ ‎19．已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.‎ ‎(1)证明：直线AB过定点；‎ ‎(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．‎ ‎[解]　(1)证明：设D，A(x1，y1)，则x＝2y1.‎ 由于y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1.‎ 整理得2tx1－2y1＋1＝0.‎ 设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.‎ 故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.‎ 所以直线AB过定点.‎ ‎(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.‎ 由可得x2－2tx－1＝0.‎ 于是x1＋x2＝2t，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1.‎ 设M为线段AB的中点，则M.‎ 由于⊥，而＝(t，t2－2)，与向量(1，t)平行，‎ 所以t＋(t2－2)t＝0.解得t＝0或t＝±1.‎ 当t＝0时，||＝2，所求圆的方程为x2＋＝4；‎ 当t＝±1时，||＝，所求圆的方程为x2＋＝2.‎ ‎20．已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.‎ ‎(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；‎ ‎(2)若＝3，求|AB|.‎ ‎[解]　设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ ‎(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，由题设可得x1＋x2＝.由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－.‎ 从而－＝，得t＝－.‎ 所以l的方程为y＝x－.‎ ‎(2)由＝3可得y1＝－3y2.‎ 由可得y2－2y＋2t＝0.‎ 所以y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.‎ 代入C的方程得x1＝3，x2＝.‎ 故|AB|＝.‎ ‎21．已知椭圆C：＋＝1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l经过定点．‎ ‎[解]　(1)由题意得，b2＝1，c＝1.‎ 所以a2＝b2＋c2＝2.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线AP的方程为y＝x＋1.‎ 令y＝0，得点M的横坐标xM＝－.又y1＝kx1＋t，‎ 从而|OM|＝|xM|＝.‎ 同理，|ON|＝.‎ 由得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0.‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 所以|OM|·|ON|‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝2.又|OM|·|ON|＝2，所以2＝2.‎ 解得t＝0，所以直线l为y＝kx，‎ 所以直线l恒过定点(0,0)．‎ ‎22．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．‎ ‎(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；‎ ‎(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率是e＝＝－1.‎ ‎(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在，当且仅当 |y|·2c＝16，·＝－1，＋＝1，‎ 即c|y|＝16， ①‎ x2＋y2＝c2， ②‎ ＋＝1. ③‎ 由②③得y2＝.‎ 又由①知y2＝，故b＝4.‎ 由②③得x2＝(c2－b2)，‎ 所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，‎ 故a≥4.‎ 当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.‎ 所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．‎