2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第5节直线平面垂直的判定与性质课件新人教A版 48页

第 5 节　直线、平面垂直的判定与性质 考试要求　 1. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理； 2. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题 . 知 识 梳 理 任意 1. 直线与平面垂直 (1) 直线和平面垂直的定义 如果一条直线 l 与平面 α 内的 ________ 直线都垂直，就说直线 l 与平面 α 互相垂直 . (2) 判定定理与性质定理   文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一条直线与一个平面内的 ______________ 都垂直，则该直线与此平面垂直 性质定理 两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线 _______ 两条相交直线 l ⊥ a l ⊥ b a ⊂ α b ⊂ α 平行 a ⊥ α b ⊥ α 2. 直线和平面所成的角 (1) 定义：一条斜线和它在平面上的 _______ 所成的 _______ 叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是 _______ ；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是 0° 的角 . 射影 锐角 直角 3. 二面角 (1) 定义：从一条直线出发的 ______________ 所组成的图形叫做二面角； (2) 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作 ____________ 的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角 . (3) 二面角的范围： [0 ， π]. 两个半平面 垂直于棱 4. 平面与平面垂直 (1) 平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ____________ ，就说这两个平面互相垂直 . (2) 判定定理与性质定理   文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面经过另一个平面的一 条 _______ ， 则这两个平面互相垂直 性质定理 如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于 它们 _______ 的 直线垂直于另一个平面 直二面角 垂线 l ⊥ α l ⊂ β 交线 α ⊥ β α ∩ β ＝ a l ⊥ a l ⊂ β [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 两个重要结论 (1) 若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面 . (2) 若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线 ( 证明线线垂直的一个重要方法 ). 2. 使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为 “ 如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面 ” . 3. 三种垂直关系的转化 诊 断 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (1) 直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直，则 l ⊥ α .( 　　 ) (2) 垂直于同一个平面的两平面平行 .( 　　 ) (3) 若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面 .( 　　 ) (4) 若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内的无数条直线，则 α ⊥ β .( 　　 ) 解析　 (1) 直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直，则有 l ⊥ α 或 l 与 α 斜交或 l ⊂ α 或 l ∥ α ，故 (1) 错误 . (2) 垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故 (2) 错误 . (3) 若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故 (3) 错误 . (4) 若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内的所有直线，则 α ⊥ β ，故 (4) 错误 . 答案　 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 2. ( 新教材必修第二册 P162T3 改编 ) 设 α ， β 为两个不同的平面，直线 l ⊂ α ，则 “ l ⊥ β ” 是 “ α ⊥ β ” 成立的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析　 依题意，由 l ⊥ β ， l ⊂ α ，可以推出 α ⊥ β ；反过来，由 α ⊥ β ， l ⊂ α 不能推出 l ⊥ β ，因此 “ l ⊥ β ” 是 “ α ⊥ β ” 成立的充分不必要条件，故选 A. 答案　 A 3. ( 老教材必修 2P67 练习 T2 改编 ) 在三棱锥 P － ABC 中，点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O . (1) 若 PA ＝ PB ＝ PC ，则点 O 是 △ ABC 的 ________ 心； (2) 若 PA ⊥ PB ， PB ⊥ PC ， PC ⊥ PA ，则点 O 是 △ ABC 的 ________ 心 . 解析　 (1) 如图 1 ，连接 OA ， OB ， OC ， OP ，在 Rt △ POA ， Rt △ POB 和 Rt △ POC 中， PA ＝ PB ＝ PC ，所以 OA ＝ OB ＝ OC ，即 O 为 △ ABC 的外心 . 图 1 (2) 如图 2 ，延长 AO ， BO ， CO 分别交 BC ， AC ， AB 于 H ， D ， G . 因为 PC ⊥ PA ， PB ⊥ PC ， PA ∩ PB ＝ P ，所以 PC ⊥ 平面 PAB ，又 AB ⊂ 平面 PAB ，所以 PC ⊥ AB ，因为 PO ⊥ AB ， PO ∩ PC ＝ P ，所以 AB ⊥ 平面 PGC ，又 CG ⊂ 平面 PGC ，所以 AB ⊥ CG ，即 CG 为 △ ABC 边 AB 上的高 . 同理可证 BD ， AH 分别为 △ ABC 边 AC ， BC 上的高，即 O 为 △ ABC 的垂心 . 图 2 答案　 (1) 外　 (2) 垂 4. (2019· 安徽江南十校联考 ) 已知 m 和 n 是两条不同的直线， α 和 β 是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出 m ⊥ β 的是 ( 　　 ) A. α ⊥ β 且 m ⊂ α B. m ⊥ n 且 n ∥ β C. m ∥ n 且 n ⊥ β D. m ⊥ n 且 α ∥ β 解析 　由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知 C 正确 . 答案 　 C 5. (2020· 湖南湘东南五校联考 ) 已知两个平面垂直，有下列命题： ① 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ② 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线； ③ 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； ④ 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 . 其中正确命题的个数是 ( 　　 ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析　 如图， ① 在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，平面 ADD 1 A 1 ⊥ 平面 ABCD ， A 1 D ⊂ 平面 ADD 1 A 1 ， BD ⊂ 平面 ABCD ，但 A 1 D 与 BD 不垂直，故 ① 错； ② 在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，平面 ADD 1 A 1 ⊥ 平面 ABCD ， l 是平 面 ADD 1 A 1 内任意一条直线， l 与平面 ABCD 内和 AB 平行的所有直线垂直，故 ② 正确； ③ 在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，平面 ADD 1 A 1 ⊥ 平面 ABCD ， A 1 D ⊂ 平面 ADD 1 A 1 ，但 A 1 D 与平面 ABCD 不垂直，故 ③ 错； ④ 在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，平面 ADD 1 A 1 ⊥ 平面 ABCD ，且平面 ADD 1 A 1 ∩ 平面 ABCD ＝ AD ，过交线 AD 上的任一点作交线的垂线 l ，则 l 可能与平面 ABCD 垂直，也可能与平面 ABCD 不垂直，故 ④ 错 . 故选 C. 答案　 C 6. (2017· 全国 Ⅲ 卷 ) 在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， E 为棱 CD 的中点，则 ( 　　 ) A. A 1 E ⊥ DC 1 B. A 1 E ⊥ BD C. A 1 E ⊥ BC 1 D. A 1 E ⊥ AC 解析　 如图，由题设知， A 1 B 1 ⊥ 平面 BCC 1 B 1 且 BC 1 ⊂ 平面 BCC 1 B 1 ，从而 A 1 B 1 ⊥ BC 1 . 又 B 1 C ⊥ BC 1 ，且 A 1 B 1 ∩ B 1 C ＝ B 1 ，所以 BC 1 ⊥ 平面 A 1 B 1 CD ，又 A 1 E ⊂ 平面 A 1 B 1 CD ，所以 A 1 E ⊥ BC 1 . 答案　 C (1) 求证： AB ⊥ 平面 ADE . (2) 求该五面体的体积 . (1) 证明　 因为在五面体 ABCDEF 中，四边形 CDEF 为矩形， 所以 EF ∥ CD ， CD ⊥ DE . 因为 EF ⊄ 平面 ABCD ， CD ⊂ 平面 ABCD ，所以 EF ∥ 平面 ABCD . 因为 EF ⊂ 平面 ABFE ，平面 ABFE ∩ 平面 ABCD ＝ AB ，所以 EF ∥ AB . 又 EF ∥ CD ，所以 CD ∥ AB . ∴ AD 2 ＋ CD 2 ＝ AC 2 ，所以 CD ⊥ AD . 又因为 CD ⊥ DE ， AD ∩ DE ＝ D ， AD ， DE ⊂ 平面 ADE ， 所以 CD ⊥ 平面 ADE . 又 CD ∥ AB ，所以 AB ⊥ 平面 ADE . 规律方法　 1. 证明直线和平面垂直的常用方法有： (1) 判定定理； (2) 垂直于平面的传递性 ( a ∥ b ， a ⊥ α ⇒ b ⊥ α ) ； (3) 面面平行的性质 ( a ⊥ α ， α ∥ β ⇒ a ⊥ β ) ； (4) 面面垂直的性质 ( α ⊥ β ， α ∩ β ＝ a ， l ⊥ a ， l ⊂ β ⇒ l ⊥ α ). 2. 证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质 . 因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思路 . 【训练 1 】 如图，在四棱锥 P － ABCD 中， PA ⊥ 底面 ABCD ， AB ⊥ AD ， AC ⊥ CD ， ∠ ABC ＝ 60° ， PA ＝ AB ＝ BC ， E 是 PC 的中点 . 证明： (1) CD ⊥ AE ； (2) PD ⊥ 平面 ABE . 证明　 (1) 在四棱锥 P － ABCD 中， ∵ PA ⊥ 底面 ABCD ， CD ⊂ 平面 ABCD ， ∴ PA ⊥ CD ， 又 ∵ AC ⊥ CD ，且 PA ∩ AC ＝ A ， ∴ CD ⊥ 平面 PAC . 又 AE ⊂ 平面 PAC ， ∴ CD ⊥ AE . (2) 由 PA ＝ AB ＝ BC ， ∠ ABC ＝ 60° ，可得 AC ＝ PA . ∵ E 是 PC 的中点， ∴ AE ⊥ PC . 由 (1) 知 AE ⊥ CD ，且 PC ∩ CD ＝ C ， ∴ AE ⊥ 平面 PCD . 又 PD ⊂ 平面 PCD ， ∴ AE ⊥ PD . ∵ PA ⊥ 底面 ABCD ， AB ⊂ 平面 ABCD ， ∴ PA ⊥ AB . 又 ∵ AB ⊥ AD ，且 PA ∩ AD ＝ A ， ∴ AB ⊥ 平面 PAD ，又 PD ⊂ 平面 PAD ， ∴ AB ⊥ PD . 又 ∵ AB ∩ AE ＝ A ， ∴ PD ⊥ 平面 ABE . 又因为 BC ⊥ 平面 ABF ， BF ⊂ 平面 ABF ，所以 BC ⊥ BF ， 又因为 BC ∩ BH ＝ B ，所以 BF ⊥ 平面 GCBH ， 因为 BF ⊂ 平面 DFB ，所以平面 DFB ⊥ 平面 GCBH . (2) 解　 连接 AH ， AE ， BE ， EG ， FH ，如图所示，由图知， 几何体的体积是 V E － ABG ＝ V A － EFHG ＋ V B － EFHG － V F － ABE － V H － ABG ＝ V A － EFHG ＋ V B － EFHG － V E － ABF － V G － ABH ， 过点 A ， B 分别作 FH 的垂线，垂足分别为 A 1 ， B 1 ，则 AA 1 ⊥ 平面 EFHG ， BB 1 ⊥ 平面 EFHG . 规律方法　 1. 证明平面和平面垂直的方法： (1) 面面垂直的定义； (2) 面面垂直的判定定理 . 2. 已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直 . (1) 求证： AB ⊥ CD ； (2) 求点 B 到平面 CDE 的距离 . (1) 证明　 如图，取 AB 的中点 O ，连接 CO ， DO ， DA . ∵△ ABC 为等边三角形， ∴ CO ⊥ AB . ∴△ DAB 为等边三角形， ∴ DO ⊥ AB . 又 ∵ CO ∩ DO ＝ O ， ∴ AB ⊥ 平面 DOC . ∵ DC ⊂ 平面 DOC ， ∴ AB ⊥ CD . (2) 解　 ∵ 平面 ABDE ⊥ 平面 ABC ， CO ⊥ AB ， 平面 ABDE ∩ 平面 ABC ＝ AB ， CO ⊂ 平面 ABC ， ∴ CO ⊥ 平面 ABDE . ∵ OD ⊂ 平面 ABDE ， ∴ CO ⊥ OD . ∵ AB ＝ 2 ， O 为 AB 的中点， ∴ BO ＝ 1. 由 (1) 得 AB ⊥ CD ，又 ED ∥ AB ， ∴ ED ⊥ DC ， 考点三　平行与垂直的综合问题　 多维探究 角度 1 　多面体中平行与垂直关系的证明 【例 3 － 1 】 (2018· 北京卷 ) 如图，在四棱锥 P － ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ， PA ⊥ PD ， PA ＝ PD ， E ， F 分别为 AD ， PB 的中点 . (1) 求证： PE ⊥ BC ； (2) 求证：平面 PAB ⊥ 平面 PCD ； (3) 求证： EF ∥ 平面 PCD . 证明　 (1) 因为 PA ＝ PD ， E 为 AD 的中点，所以 PE ⊥ AD . 因为底面 ABCD 为矩形， 所以 BC ∥ AD . 所以 PE ⊥ BC . (2) 因为底面 ABCD 为矩形，所以 AB ⊥ AD . 又因为平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，平面 PAD ∩ 平面 ABCD ＝ AD ， AB ⊂ 平面 ABCD ，所以 AB ⊥ 平面 PAD . 又 PD ⊂ 平面 PAD ，所以 AB ⊥ PD . 又因为 PA ⊥ PD ，且 PA ∩ AB ＝ A ， 所以 PD ⊥ 平面 PAB . 又 PD ⊂ 平面 PCD ， 所以平面 PAB ⊥ 平面 PCD . (3) 如图，取 PC 中点 G ，连接 FG ， DG . 因为 F ， G 分别为 PB ， PC 的中点， 所以 DE ∥ FG ， DE ＝ FG . 所以四边形 DEFG 为平行四边形 . 所以 EF ∥ DG . 又因为 EF ⊄ 平面 PCD ， DG ⊂ 平面 PCD ， 所以 EF ∥ 平面 PCD . 规律方法　 1. 三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化 . 2. 垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用 . 角度 2 　空间位置关系与几何体的度量计算 【例 3 － 2 】 (2019· 浙江卷 ) 如图，已知三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 ，平面 A 1 ACC 1 ⊥ 平面 ABC ， ∠ ABC ＝ 90° ， ∠ BAC ＝ 30° ， A 1 A ＝ A 1 C ＝ AC ， E ， F 分别是 AC ， A 1 B 1 的中点 . (1) 证明： EF ⊥ BC ； (2) 求直线 EF 与平面 A 1 BC 所成角的余弦值 . (1) 证明　 如图，连接 A 1 E . 因为 A 1 A ＝ A 1 C ， E 是 AC 的中点，所以 A 1 E ⊥ AC . 又平面 A 1 ACC 1 ⊥ 平面 ABC ， A 1 E ⊂ 平面 A 1 ACC 1 ， 平面 A 1 ACC 1 ∩ 平面 ABC ＝ AC ， 所以 A 1 E ⊥ 平面 ABC ， 又 BC ⊂ 平面 ABC ，则 A 1 E ⊥ BC . 又因为 A 1 F ∥ AB ， ∠ ABC ＝ 90° ，故 BC ⊥ A 1 F . 又 A 1 E ∩ A 1 F ＝ A 1 ， A 1 E ， A 1 F ⊂ 平面 A 1 EF ， 所以 BC ⊥ 平面 A 1 EF . 又 EF ⊂ 平面 A 1 EF ，因此 EF ⊥ BC . (2) 解　 如图，取 BC 的中点 G ，连接 EG ， GF ，则四边形 EGFA 1 是平行四边形 . 由于 A 1 E ⊥ 平面 ABC ， EG ⊂ 平面 ABC ，故 A 1 E ⊥ EG ， 所以平行四边形 EGFA 1 为矩形 . 由 (1) 得 BC ⊥ 平面 EGFA 1 ，又 BC ⊂ 平面 A 1 BC ，则平面 A 1 BC ⊥ 平面 EGFA 1 ， 所以 EF 在平面 A 1 BC 上的射影在直线 A 1 G 上 . 连接 A 1 G 交 EF 于点 O ，则 ∠ EOG 是直线 EF 与平面 A 1 BC 所成的角 ( 或其补角 ). 规律方法　 利用综合法求空间线线角、线面角、二面角一定注意 “ 作角、证明、计算 ” 是完整统一过程，缺一不可 . (1) 线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解 . (2) 二面角的大小用它的平面角来度量 . 平面角的作法常见的有： ① 定义法； ② 垂面法 . 注意利用等腰、等边三角形的性质 . 【训练 3 】 如图，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直， PD ＝ PC ＝ 4 ， AB ＝ 6 ， BC ＝ 3. 点 E 是 CD 边的中点，点 F ， G 分别在线段 AB ， BC 上，且 AF ＝ 2 FB ， CG ＝ 2 GB . (1) 证明： PE ⊥ FG . (2) 求二面角 P － AD － C 的正切值 . (3) 求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值 . (1) 证明　 因为 PD ＝ PC 且点 E 为 CD 的中点，所以 PE ⊥ DC . 又平面 PDC ⊥ 平面 ABCD ，且平面 PDC ∩ 平面 ABCD ＝ CD ， PE ⊂ 平面 PDC ， 所以 PE ⊥ 平面 ABCD ， 又 FG ⊂ 平面 ABCD ，所以 PE ⊥ FG . (2) 解　 由 (1) 知 PE ⊥ 平面 ABCD ， ∴ PE ⊥ AD ， 又 AD ⊥ CD ， PE ∩ CD ＝ E ， ∴ AD ⊥ 平面 PDC ，又 PD ⊂ 平面 PDC ， ∴ AD ⊥ PD ， ∴∠ PDC 为二面角 P － AD － C 的平面角， 在 Rt △ PDE 中， PD ＝ 4 ， DE ＝ 3 ， (3) 解　 如图，连接 AC ， ∵ AF ＝ 2 FB ， CG ＝ 2 GB ， ∴ AC ∥ FG . ∴ 直线 PA 与 FG 所成角即直线 PA 与 AC 所成角 ∠ PAC . 在 Rt △ PDA 中， PA 2 ＝ AD 2 ＋ PD 2 ＝ 25 ， ∴ PA ＝ 5. 又 PC ＝ 4. 直观想象 —— 立体几何中的动态问题 1. 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养 . 2. 立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角的范围等 . 3. 一般是根据线、面垂直，线、面平行的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹 . A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 抛物线的一部分 D. 双曲线的一部分 答案　 B 【例 2 】 如图，四棱锥 P － ABCD 的底面是边长为 2 的正方形， PA ⊥ 平面 ABCD ，且 PA ＝ 4 ， M 是 PB 上的一个动点 ( 不与 P ， B 重合 ) ，过点 M 作平面 α ∥ 平面 PAD ，截棱锥所得图形的面积为 y ，若平面 α 与平面 PAD 之间的距离为 x ，则函数 y ＝ f ( x ) 的图象是 ( 　　 ) 解析　 过 M 作 MN ⊥ AB ，交 AB 于 N ，则 MN ⊥ 平面 ABCD ，过 N 作 NQ ∥ AD ，交 CD 于 Q ，过 Q 作 QH ∥ PD ，交 PC 于 H ，连接 MH ， 则平面 MNQH 是所作的平面 α ， ∴ NE ＝ 2 － (2 － x ) ＝ x ， ∴ MH ＝ x . 答案　 π