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  • 2021-06-16 发布

北师大版高三数学复习专题-三角函数、三角恒等变形、解三角形基础达标-第4章第3节

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第四章 第三节 一、选择题 1.已知 sinα-cosα= 2,α∈(0,π),则 sin2α=( ) A.-1 B.- 2 2 C. 2 2 D.1 [答案] A [解析] 将 sinα-cosα= 2两端同时平方得,(sinα-cosα)2=2, 整理得 1-2sinαcosα=2, 于是 sin2α=2sinαcosα=-1,故选 A. 2.如果 cos2α-cos2β=a,则 sin(α+β)sin(α-β)等于( ) A.-a 2 B.a 2 C.-a D.a [答案] C [解析] sin(α+β)sin(α-β) =(sinαcosβ+cosαsinβ)(sinαcosβ-cosαsinβ) =sin2αcos2β-cos2αsin2β =(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β)=cos2β-cos2α=-A. 3.已知 tanα=1 2 ,则cos2α+sin2α+1 cos2α 等于( ) A.3 B.6 C.12 D.3 2 [答案] A [解析] cos2α+sin2α+1 cos2α =2cos2α+2sinα·cosα cos2α =2+2tanα=3.故选 A. 4.(文)若 cosα=-4 5 ,α是第三象限的角,则 sin(α+π 4)=( ) A.-7 2 10 B.7 2 10 C.- 2 10 D. 2 10 [答案] A [解析] 由于α是第三象限角且 cosα=-4 5 , ∴sinα=-3 5 , ∴sin(α+π 4)=sinαcosπ 4 +cosαsinπ 4 = 2 2 (-4 5 -3 5)=- 7 10 2. (理)若 sinα=3 5 ,α∈(-π 2 ,π 2),则 cos(α+5π 4 )=( ) A.-7 2 10 B.- 2 10 C. 2 10 D. 2 10 [答案] B [解析] 由α∈(-π 2 ,π 2),sinα=3 5 可得 cosα=4 5 , 由两角和与差的余弦公式得:cos(α+5π 4 )=- 2 2 (cosα-sinα)=- 2 10 ,故选 B. 5.4cos50°-tan40°=( ) A. 2 B. 2+ 3 2 C. 3 D.2 2-1 [答案] C [解析] 本题考查非特殊角三角函数的求值问题. 4cos50°-tan40°=4cos50°cos40°-sin40° cos40° =4cos50°sin50°-sin40° cos40° =2sin100°-sin40° cos40° =2sin60°+40°-sin40° cos40° =2sin60°cos40°+2cos60°sin40°-sin40° cos40° = 3cos40°+sin40°-sin40° cos40° = 3. 6.函数 f(x)=sin2x+ 3sinxcosx 在区间[π 4 ,π 2]上的最大值是( ) A.1 B.1+ 3 2 C.3 2 D.1+ 3 [答案] C [解析] f(x)=1-cos2x 2 + 3 2 sin2x=sin 2x-π 6 +1 2 , 又 x∈ π 4 ,π 2 ,∴2x-π 6 ∈ π 3 ,5π 6 , f(x)max=1+1 2 =3 2 ,故选 C. 二、填空题 7.(2014·陕西高考)设 0<θ<π 2 ,向量 a=(sin2θ,cosθ),b=(1,-cosθ),若 a·b=0,则 tanθ=________. [答案] 1 2 [解析] 本题考查向量垂直、向量坐标运算等. ∵a·b=0,∴sin2θ-cos2θ=0,即 cosθ(2sinθ-cosθ)=0. 又 0<θ<π 2 , ∴cosθ≠0,∴2sinθ=cosθ,∴tanθ=1 2. 8.已知 cosα=1 7 ,cos(α+β)=-11 14 ,α、β∈ 0,π 2 , 则β=________. [答案] π 3 [解析] ∵α、β∈ 0,π 2 ,∴α+β∈(0,π), ∴sinα=4 3 7 ,sin(α+β)=5 3 14 , ∴cosβ=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=1 2 , ∵0<β<π 2 ,∴β=π 3. 9.函数 f(x)=sin(2x-π 4)-2 2sin2x 的最小正周期是________. [答案] π [解析] f(x)=sin(2x-π 4)-2 2sin2x =sin(2x-π 4)- 2(1-cos2x) =sin(2x-π 4)+ 2cos2x- 2 =sin2xcosπ 4 -cos2xsinπ 4 + 2cos2x- 2 = 2 2 sin2x+ 2 2 cos2x- 2=sin(2x+π 4)- 2, 所以 T=2π ω =2π 2 =π. 三、解答题 10.(文)(2014·江西高考)已知函数 f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)为奇函数,且 f(π 4)=0,其 中 a∈R,θ∈(0,π). (1)求 a,θ的值; (2)若 f(α 4)=-2 5 ,α∈(π 2 ,π),求 sin(α+π 3)的值. [解析] (1)∵f(x)=(a+2cos2x)·cos(2x+θ)为奇函数 ∴f(0)=0,即(a+2)·cosθ=0 ① 又∵f(π 4)=0, ∴(a+2·1 2)·cos(π 2 +θ)=0, 即-(a+1)sinθ=0 ②. ∵θ∈(0,π),∴sinθ≠0 由②可知,a=-1, 代入①得 cosθ=0.∴θ=π 2. ∴a=-1,θ=π 2. (2)∵a=-1,θ=π 2 , ∴f(x)=(-1+2cos2x)cos(2x+π 2) =(-1+2cos2x)(-sin2x) =-cos2x·sin2x =-1 2sin4x. ∵f(α 4)=-2 5 , ∴-1 2·sin(4·α 4)=-2 5 , ∴sinα=4 5. ∵α∈(π 2 ,π),∴cosα<0,∴cosα=-3 5 , ∴sin(α+π 3)=sinα·cosπ 3 +cosα·sinπ 3 =4 5·1 2 -3 5· 3 2 =4-3 3 10 . (理)(2014·广东高考)已知函数 f(x)=Asin(x+π 4),x∈R,且 f(5π 12)=3 2. (1)求 A 的值; (2)若 f(θ)+f(-θ)=3 2 ,θ∈(0,π 2),求 f(3π 4 -θ). [解析] (1)f(5π 12)=Asin(5π 12 +π 4)=3 2 , ∴A× 3 2 =3 2 , ∴A= 3. (2)f(θ)+f(-θ)= 3sin(θ+π 4)+ 3sin(-θ+π 4)=3 2 , ∴ 3[ 2 2 (sinθ+cosθ)+ 2 2 (-sinθ+cosθ)]=3 2. ∴ 6cosθ=3 2 ,∴cosθ= 6 4 , 又∵θ∈(0,π 2),∴sinθ= 1-cos2θ= 10 4 , ∴f(3 4π-θ)= 3sin(π-θ)= 3sinθ= 30 4 . 一、选择题 1.(文)在△ABC 中,C=120°,tanA+tanB=2 3 3,则 tanAtanB 的值为( ) A.1 4 B.1 3 C.1 2 D.5 3 [答案] B [解析] tan(A+B)=-tanC=-tan120°= 3, ∴tan(A+B)= tanA+tanB 1-tanAtanB = 3,即 2 3 3 1-tanAtanB = 3. 解得 tanAtanB=1 3 ,故选 B. (理)若α,β∈ 0,π 2 ,cos α-β 2 = 3 2 ,sin α 2 -β =-1 2 ,则 cos(α+β)的值等于( ) A.- 3 2 B.-1 2 C.1 2 D. 3 2 [答案] B [解析] ∵sin α 2 -β =-1 2 ,α 2 -β∈ -π 2 ,π 4 ∴α 2 -β=-π 6 ① ∵cos α-β 2 = 3 2 ,α,β∈ 0,π 2 , ∴α-β 2 ∈ -π 4 ,π 2 ,∴α-β 2 =-π 6 或π 6 ② 由①②有 α=π 3 β=π 3 或 α=-π 9 β=π 9 (舍去), ∴cos(α+β)=cos2π 3 =-1 2. 2.已知向量 a=(sin(α+π 6),1),b=(4,4cosα- 3),若 a⊥b,则 sin(α+4π 3 )=( ) A.- 3 4 B.-1 4 C. 3 4 D.1 4 [答案] B [解析] a·b=4sin(α+π 6)+4cosα- 3=2 3sinα+6cosα- 3=4 3sin(α+π 3)- 3=0, ∴sin(α+π 3)=1 4. ∴sin(α+4π 3 )=-sin(α+π 3)=-1 4.故选 B. 二、填空题 3.(2014·全国大纲卷)函数 y=cos2x+2sinx 的最大值为________. [答案] 3 2 [解析] 本题考查三角函数的性质及三角恒变换. y=1-2sin2x+2sinx=-2(sinx-1 2)2+3 2 , 当 sinx=1 2 时,ymax=3 2. 4.函数 y=sin x+π 3 sin x+π 2 的最小正周期 T=______. [答案] π [解析] 解法 1:f(x)=sin x+π 3 sin x+π 2 =-1 2 cos 2x+5π 6 -cos -π 6 =-1 2cos 2x+5π 6 + 3 4 .∴T=π. 解法 2:y= 1 2sinx+ 3 2 cosx cosx =1 4sin2x+ 3 4 cos2x+ 3 4 =1 2sin 2x+π 3 + 3 4 ,∴T=π. 三、解答题 5.(文)已知函数 f(x)= 2cos(x- π 12),x∈R. (1)求 f(π 3)的值; (2)若 cosθ=3 5 ,θ∈(3π 2 ,2π),求 f(θ-π 6). [解析] (1)f(π 3)= 2cos(π 3 - π 12)= 2cosπ 4 =1. (2)∵cosθ=3 5 ,θ∈(3π 2 ,2π),∴sinθ=- 1-cos2θ=-4 5. ∴f(θ-π 6)= 2cos(θ-π 4) = 2(cosθcosπ 4 +sinθsinπ 4)=-1 5. (理)已知函数 f(x)=tan(2x+π 4). (1)求 f(x)的定义域与最小正周期; (2)设α∈(0,π 4),若 f(α 2)=2cos2α,求α的大小. [解析] (1)由 2x+π 4 ≠π 2 +kπ,k∈Z,得 x≠π 8 +kπ 2 ,k∈Z, 所以 f(x)的定义域为 x∈R|x≠π 8 +kπ 2 ,k∈Z . f(x)的最小正周期为π 2. (2)由 f α 2 =2cos2α,得 tan α+π 4 =2cos2α, sin α+π 4 cos α+π 4 =2(cos2α-sin2α), 整理得sinα+cosα cosα-sinα =2(cosα+sinα)(cosα-sinα). 因为α∈ 0,π 4 ,所以 sinα+cosα≠0. 因此(cosα-sinα)2=1 2 ,即 sin2α=1 2. 由α∈ 0,π 4 ,得 2α∈ 0,π 2 . 所以 2α=π 6 ,即α= π 12. 6.已知3 4π<α<π,tanα+ 1 tanα =-10 3 . 求 5sin2α 2 +8sinα 2cosα 2 +11cos2α 2 -8 2sinα-π 2  的值. [解析] ∵tanα+ 1 tanα =-10 3 , ∴3tan2α+10tanα+3=0, 解得 tanα=-3 或 tanα=-1 3. 又∵3π 4 <α<π,∴tanα=-1 3. ∴ 5sin2α 2 +8sinα 2cosα 2 +11cos2α 2 -8 2sinα-π 2  = 5·1-cosα 2 +4sinα+11·1+cosα 2 -8 - 2cosα =5-5cosα+8sinα+11+11cosα-16 -2 2cosα =8sinα+6cosα -2 2cosα =8tanα+6 -2 2 =-5 2 6 .