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- 2021-06-16 发布
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第四章 第三节
一、选择题
1.已知 sinα-cosα= 2,α∈(0,π),则 sin2α=( )
A.-1 B.- 2
2
C. 2
2 D.1
[答案] A
[解析] 将 sinα-cosα= 2两端同时平方得,(sinα-cosα)2=2,
整理得 1-2sinαcosα=2,
于是 sin2α=2sinαcosα=-1,故选 A.
2.如果 cos2α-cos2β=a,则 sin(α+β)sin(α-β)等于( )
A.-a
2 B.a
2
C.-a D.a
[答案] C
[解析] sin(α+β)sin(α-β)
=(sinαcosβ+cosαsinβ)(sinαcosβ-cosαsinβ)
=sin2αcos2β-cos2αsin2β
=(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β)=cos2β-cos2α=-A.
3.已知 tanα=1
2
,则cos2α+sin2α+1
cos2α
等于( )
A.3 B.6
C.12 D.3
2
[答案] A
[解析] cos2α+sin2α+1
cos2α
=2cos2α+2sinα·cosα
cos2α
=2+2tanα=3.故选 A.
4.(文)若 cosα=-4
5
,α是第三象限的角,则 sin(α+π
4)=( )
A.-7 2
10 B.7 2
10
C.- 2
10 D. 2
10
[答案] A
[解析] 由于α是第三象限角且 cosα=-4
5
,
∴sinα=-3
5
,
∴sin(α+π
4)=sinαcosπ
4
+cosαsinπ
4
= 2
2 (-4
5
-3
5)=- 7
10 2.
(理)若 sinα=3
5
,α∈(-π
2
,π
2),则 cos(α+5π
4 )=( )
A.-7 2
10 B.- 2
10
C. 2
10 D. 2
10
[答案] B
[解析] 由α∈(-π
2
,π
2),sinα=3
5
可得 cosα=4
5
,
由两角和与差的余弦公式得:cos(α+5π
4 )=- 2
2 (cosα-sinα)=- 2
10
,故选 B.
5.4cos50°-tan40°=( )
A. 2 B. 2+ 3
2
C. 3 D.2 2-1
[答案] C
[解析] 本题考查非特殊角三角函数的求值问题.
4cos50°-tan40°=4cos50°cos40°-sin40°
cos40°
=4cos50°sin50°-sin40°
cos40°
=2sin100°-sin40°
cos40°
=2sin60°+40°-sin40°
cos40°
=2sin60°cos40°+2cos60°sin40°-sin40°
cos40°
= 3cos40°+sin40°-sin40°
cos40°
= 3.
6.函数 f(x)=sin2x+ 3sinxcosx 在区间[π
4
,π
2]上的最大值是( )
A.1 B.1+ 3
2
C.3
2 D.1+ 3
[答案] C
[解析] f(x)=1-cos2x
2
+ 3
2 sin2x=sin 2x-π
6 +1
2
,
又 x∈
π
4
,π
2 ,∴2x-π
6
∈
π
3
,5π
6 ,
f(x)max=1+1
2
=3
2
,故选 C.
二、填空题
7.(2014·陕西高考)设 0<θ<π
2
,向量 a=(sin2θ,cosθ),b=(1,-cosθ),若 a·b=0,则
tanθ=________.
[答案] 1
2
[解析] 本题考查向量垂直、向量坐标运算等.
∵a·b=0,∴sin2θ-cos2θ=0,即 cosθ(2sinθ-cosθ)=0.
又 0<θ<π
2
,
∴cosθ≠0,∴2sinθ=cosθ,∴tanθ=1
2.
8.已知 cosα=1
7
,cos(α+β)=-11
14
,α、β∈ 0,π
2 ,
则β=________.
[答案] π
3
[解析] ∵α、β∈ 0,π
2 ,∴α+β∈(0,π),
∴sinα=4 3
7
,sin(α+β)=5 3
14
,
∴cosβ=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=1
2
,
∵0<β<π
2
,∴β=π
3.
9.函数 f(x)=sin(2x-π
4)-2 2sin2x 的最小正周期是________.
[答案] π
[解析] f(x)=sin(2x-π
4)-2 2sin2x
=sin(2x-π
4)- 2(1-cos2x)
=sin(2x-π
4)+ 2cos2x- 2
=sin2xcosπ
4
-cos2xsinπ
4
+ 2cos2x- 2
= 2
2 sin2x+ 2
2 cos2x- 2=sin(2x+π
4)- 2,
所以 T=2π
ω
=2π
2
=π.
三、解答题
10.(文)(2014·江西高考)已知函数 f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)为奇函数,且 f(π
4)=0,其
中 a∈R,θ∈(0,π).
(1)求 a,θ的值;
(2)若 f(α
4)=-2
5
,α∈(π
2
,π),求 sin(α+π
3)的值.
[解析] (1)∵f(x)=(a+2cos2x)·cos(2x+θ)为奇函数
∴f(0)=0,即(a+2)·cosθ=0 ①
又∵f(π
4)=0,
∴(a+2·1
2)·cos(π
2
+θ)=0,
即-(a+1)sinθ=0 ②.
∵θ∈(0,π),∴sinθ≠0
由②可知,a=-1,
代入①得 cosθ=0.∴θ=π
2.
∴a=-1,θ=π
2.
(2)∵a=-1,θ=π
2
,
∴f(x)=(-1+2cos2x)cos(2x+π
2)
=(-1+2cos2x)(-sin2x)
=-cos2x·sin2x
=-1
2sin4x.
∵f(α
4)=-2
5
,
∴-1
2·sin(4·α
4)=-2
5
,
∴sinα=4
5.
∵α∈(π
2
,π),∴cosα<0,∴cosα=-3
5
,
∴sin(α+π
3)=sinα·cosπ
3
+cosα·sinπ
3
=4
5·1
2
-3
5· 3
2
=4-3 3
10 .
(理)(2014·广东高考)已知函数 f(x)=Asin(x+π
4),x∈R,且 f(5π
12)=3
2.
(1)求 A 的值;
(2)若 f(θ)+f(-θ)=3
2
,θ∈(0,π
2),求 f(3π
4
-θ).
[解析] (1)f(5π
12)=Asin(5π
12
+π
4)=3
2
,
∴A× 3
2
=3
2
,
∴A= 3.
(2)f(θ)+f(-θ)= 3sin(θ+π
4)+ 3sin(-θ+π
4)=3
2
,
∴ 3[ 2
2 (sinθ+cosθ)+ 2
2 (-sinθ+cosθ)]=3
2.
∴ 6cosθ=3
2
,∴cosθ= 6
4
,
又∵θ∈(0,π
2),∴sinθ= 1-cos2θ= 10
4
,
∴f(3
4π-θ)= 3sin(π-θ)= 3sinθ= 30
4 .
一、选择题
1.(文)在△ABC 中,C=120°,tanA+tanB=2
3 3,则 tanAtanB 的值为( )
A.1
4 B.1
3
C.1
2 D.5
3
[答案] B
[解析] tan(A+B)=-tanC=-tan120°= 3,
∴tan(A+B)= tanA+tanB
1-tanAtanB
= 3,即
2
3 3
1-tanAtanB
= 3.
解得 tanAtanB=1
3
,故选 B.
(理)若α,β∈ 0,π
2 ,cos α-β
2 = 3
2
,sin
α
2
-β =-1
2
,则 cos(α+β)的值等于( )
A.- 3
2 B.-1
2
C.1
2 D. 3
2
[答案] B
[解析] ∵sin
α
2
-β =-1
2
,α
2
-β∈ -π
2
,π
4
∴α
2
-β=-π
6
①
∵cos α-β
2 = 3
2
,α,β∈ 0,π
2 ,
∴α-β
2
∈ -π
4
,π
2 ,∴α-β
2
=-π
6
或π
6
②
由①②有
α=π
3
β=π
3
或
α=-π
9
β=π
9
(舍去),
∴cos(α+β)=cos2π
3
=-1
2.
2.已知向量 a=(sin(α+π
6),1),b=(4,4cosα- 3),若 a⊥b,则 sin(α+4π
3 )=( )
A.- 3
4 B.-1
4
C. 3
4 D.1
4
[答案] B
[解析] a·b=4sin(α+π
6)+4cosα- 3=2 3sinα+6cosα- 3=4 3sin(α+π
3)- 3=0,
∴sin(α+π
3)=1
4.
∴sin(α+4π
3 )=-sin(α+π
3)=-1
4.故选 B.
二、填空题
3.(2014·全国大纲卷)函数 y=cos2x+2sinx 的最大值为________.
[答案] 3
2
[解析] 本题考查三角函数的性质及三角恒变换.
y=1-2sin2x+2sinx=-2(sinx-1
2)2+3
2
,
当 sinx=1
2
时,ymax=3
2.
4.函数 y=sin x+π
3 sin x+π
2 的最小正周期 T=______.
[答案] π
[解析] 解法 1:f(x)=sin x+π
3 sin x+π
2
=-1
2
cos 2x+5π
6 -cos
-π
6
=-1
2cos 2x+5π
6 + 3
4 .∴T=π.
解法 2:y=
1
2sinx+ 3
2 cosx cosx
=1
4sin2x+ 3
4 cos2x+ 3
4
=1
2sin 2x+π
3 + 3
4
,∴T=π.
三、解答题
5.(文)已知函数 f(x)= 2cos(x- π
12),x∈R.
(1)求 f(π
3)的值;
(2)若 cosθ=3
5
,θ∈(3π
2
,2π),求 f(θ-π
6).
[解析] (1)f(π
3)= 2cos(π
3
- π
12)= 2cosπ
4
=1.
(2)∵cosθ=3
5
,θ∈(3π
2
,2π),∴sinθ=- 1-cos2θ=-4
5.
∴f(θ-π
6)= 2cos(θ-π
4)
= 2(cosθcosπ
4
+sinθsinπ
4)=-1
5.
(理)已知函数 f(x)=tan(2x+π
4).
(1)求 f(x)的定义域与最小正周期;
(2)设α∈(0,π
4),若 f(α
2)=2cos2α,求α的大小.
[解析] (1)由 2x+π
4
≠π
2
+kπ,k∈Z,得
x≠π
8
+kπ
2
,k∈Z,
所以 f(x)的定义域为 x∈R|x≠π
8
+kπ
2 ,k∈Z .
f(x)的最小正周期为π
2.
(2)由 f
α
2 =2cos2α,得 tan α+π
4 =2cos2α,
sin α+π
4
cos α+π
4
=2(cos2α-sin2α),
整理得sinα+cosα
cosα-sinα
=2(cosα+sinα)(cosα-sinα).
因为α∈ 0,π
4 ,所以 sinα+cosα≠0.
因此(cosα-sinα)2=1
2
,即 sin2α=1
2.
由α∈ 0,π
4 ,得 2α∈ 0,π
2 .
所以 2α=π
6
,即α= π
12.
6.已知3
4π<α<π,tanα+ 1
tanα
=-10
3 .
求
5sin2α
2
+8sinα
2cosα
2
+11cos2α
2
-8
2sinα-π
2
的值.
[解析] ∵tanα+ 1
tanα
=-10
3
,
∴3tan2α+10tanα+3=0,
解得 tanα=-3 或 tanα=-1
3.
又∵3π
4 <α<π,∴tanα=-1
3.
∴
5sin2α
2
+8sinα
2cosα
2
+11cos2α
2
-8
2sinα-π
2
=
5·1-cosα
2
+4sinα+11·1+cosα
2
-8
- 2cosα
=5-5cosα+8sinα+11+11cosα-16
-2 2cosα
=8sinα+6cosα
-2 2cosα
=8tanα+6
-2 2
=-5 2
6 .
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