江西省信丰中学2020届高三数学上学期第十五次周考理A层13班2（含解析） 8页

- 1 - 江西省信丰中学 2020 届高三数学上学期第十五次周考（理 A 层）（13 班） 一．选择题（50 分） 1．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名 学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为( )． A．18 B．24 C．30 D．36 2．从 6 人中选 4 人分别到北京、哈尔滨、广州、成都四个城市游览，要求每个城市有一人游 览，每人只游览一个城市，且在这 6 人中甲、乙不去哈尔滨游览，则不同的选择方案共有（ ） A.300 种 B.240 种 C.144 种 D.96 种 3. 从甲、乙等5 名志愿者中选出 4 名，分别从事 A ，B ，C ，D 四项不同的工作，每人承担 一项．若甲、乙二人均不能从事 A 工作，则不同的工作分配方案共有（ ） A.60 种 B. 72 C.84 种 D.96 种 4．某车队准备从甲、乙等 7 辆车中选派 4 辆参加救援物资的运输工作，并按出发顺序前后排 成一队，要求甲、乙至少有一辆参加，且若甲、乙同时参加，则它们出发时不能相邻，那 么不同排法种数为（ ） (A)360 (B)520 (C)600 (D)720 5 如图，提供四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图 中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（ ） （A）288 种 （B）264 种 （C）240 种 （D）168 种 6．已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的两条渐近线与抛物线 2 2y px （ 0p  ）的准线 分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为 2，△AOB 的面积为 3 ，则 p  ( ） A．2 B． 3 2 C．1 D．3 - 2 - 7．某电视台曾在某时间段连续播放 5 个不同的商业广告，现在要在该时间段新增播一个商业 广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播 放，则在不改变原有 5 个不同的商业广告的相对播放顺序的前提下，不同的播放顺序共有（ ） A. 60 种 B. 120 种 C. 144 种 D. 300 种 8 已知三棱锥 A BCD 的所有顶点都在球O 的球面上， AD  平面 ABC ， 90BAC  ， 2AD  ，若球O 的表面积为 29 ，则三棱锥 A BCD 的侧面积的最大值为（） A． 255 2 4  B． 5 415 2 4  C． 276 3 2  D． 2510 2 2  9 已知椭圆 2 2 19 5 x y  的左右焦点为 1 2F F、 ，点 P 为其上动点，点 3 2Q( )， ，则 1PF PQ 的 最大值为（ ） A． 6 5 B． 29 6 C． 6 5 D． 29 4 10.过椭圆 上一点 H 作圆 x2+y2=2 的两条切线，点 A，B 为切点，过 A，B 的直线 l 与 x 轴，y 轴分布交于点 P，Q 两点，则△POQ 面积的最小值为（ ） A． B． C． 1 D． 二．填空题（25 分） 11. 将序号分别为 1，2，3，4，5 的 5 张电影票全部分给 4 人，每人至少 1 张．如果分给同 一人的 2 张电影票连号，那么不同的分法种数是 ． 12．用 0，1，2，3，4 这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹 在两个奇数数字之间的五位数的个数是______________. 13 2 61(1 )( )x x x x    的展开式中的常数项为_______. 14．如图，三棱锥 A BCD 的顶点 A ， B ， C ， D 都在同一球面上， BD 过球心 O 且 - 3 - 2 2BD  ， ABC△ 是边长为 2 等边三角形，点 P 、Q 分别为线段 AO ， BC 上的动点 （不含端点），且 AP CQ ，则三棱锥 P QCO 体积的最大值为_______． 15．如图，在直角梯形 SDCB 中， / /SD CB，CD SD ， 7SD  ， 4BC  ， 4DC  ， A 在线段 SD 上，E 是线段 AB 的中点，沿 AB 把平面 SAB 折起到平面 PAB 的位置，使 PA  平 面 ABCD ，则下列命题正确的编号为______. ①点 E 到平面 PDC 的距离为12 5 ； ②设折起后几何体的棱 PD 的中点 F ，则 / /AF 平面 PEC ； ③ 8D PECV   ； ④四棱锥 P ABCD 的内切球的表面积为 4 . 三．解答题（36 分） 16.如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， / /AB CD ， 90BAD   ， PAD 为等边三角形， 2 2AB AD DM CD    ， M 是 PB 的 中点. （1）证明： AB  平面 PAD ； （2）求直线 DM与平面 PBC 所成角的正弦值. 17 如图 1，在△PBC 中，∠C=90°，PC=4，BC=3，PD：DC=5：3，AD⊥PB，将△PAD 沿 AD 边折 起到 SAD 位置，如图 2，且使 SB= ． （Ⅰ）求证：SA⊥平面 ABCD； （Ⅱ）求平面 SAB 与平面 SCD 所成锐二面角的余弦值． - 4 - 18.如图，椭圆 C1：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的离心率为 3 2 ，x 轴被曲线 C2：y＝x2－b 截得的线段长等于 C1 的长半轴长． (1)求 C1，C2 的方程； (2)设 C2 与 y 轴的交点为 M，过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相交 于点 A，B，两直线 MA，MB 分别与 C1 相交于点 D，E. ①证明：MD⊥ME； ②记△MAB，△MDE 的面积分别为 S1，S2.问：是否存在直线 l，使得S1 S2 ＝17 32 ？请说明理 由． - 5 - 2019 年高三（13）班第十五次周考卷参考答案 一.选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B C B A B A A D 二.填空题 11.96 12.28 13—5 14. 1 12 15 .①②③④ 三.解答题 16.（1）取 PA 的中点 N，连结 MN，DN， ∵M，N 分别是 PB，PA 的中点， ∴MN∥AB，且 MN 1 2  AB＝1， ∵DN 3 ，DM＝2，∴DN2+MN2＝DM2， ∴DN⊥MN，∴AB⊥DN， ∵AB⊥AD，AD∩DN＝D，∴AB⊥平面 PAD. （2）如图，连结 BD，CM，由（Ⅰ）知 AB⊥平面 PAD，∴AB⊥PA， 在 Rt△PAB 中，PB＝2 2 ，同理 PC 5 ， 在梯形 ABCD 中，BC 5 ，BD＝2 2 ， ∵PC＝BC，M 为 PB 的中点，∴CM⊥PB， 由题意得 S△PCB 1 1 2 2 3 62 2PB CM       ， 1 2BCDS CD AD    1， 设 O 为 AD 的中点，连结 PO，由题意得 PO⊥AD， ∵平面 PAD⊥平面 ABCD，PO⊂平面 PAD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， ∴PO⊥平面 ABCD， 设点 D 到平面 PBC 的距离为 d， ∵VP﹣BCD＝VD﹣PCB，∴ 1 1 3 3DCB PCBS PO S d      ，解得 d 2 2  ． - 6 - ∵DM＝2，∴直线 DM 与平面 PBC 所成角的正弦值 sinθ 2 4 d DM   17 解答： （Ⅰ）证明：在直角三角形 PBC 中，PC=4，BC=3，PD：DC=5：3， 所以 PB=5，PD=2.5，DC=1.5， 因为∠PAD=∠C=90°，∠P=∠P， 所以△PAD∽△PCB， 所以 ， 所以 PA=2，AB=PB﹣PA=3，AD=1.5， △SAB 中，SA=PA=2，SB= ， 所以 SA2+AB2=SB2， 所以 SA⊥AB 因为 AD∥PB， 所以 SA⊥AD， 因为 AB∩AD=A， 所以 SA⊥平面 ABCD； （Ⅱ）解：在图 2 中，延长 BA，CD 相交于 P，连接 SP，取 SP 的中点 M，连接 MA，MD，则 因为 PA=SA，PD=SD， 所以 MA⊥SP，MD⊥SP， 所以∠AMD 为平面 SAB 与平面 SCD 所成锐二面角的平面角， 因为 SA⊥AD，AD⊥PB，SA∩PB=A， 所以 AD⊥平面 SPB， 因为 MA⊂平面 SPB， 所以 AD⊥MA． 在直角三角形 SPA 中，PA=SA=2，M 为 SP 的中点， 所以 SP=2 ，MA= ， 在△SPD 中，PD=SD=2.5，M 为 SP 中点，所以 MD= ， 所以 cos∠AMP= = ， 所以平面 SAB 与平面 SCD 所成锐二面角的余弦值为 ． - 7 - 18.(1)解 由题意知，e＝c a ＝ 3 2 ，从而 a＝2b， 又 2 b＝a，所以 a＝2，b＝1. 故 C1，C2 的方程分别为x2 4 ＋y2＝1，y＝x2－1. (2)①证明 由题意知，直线 l 的斜率存在，设为 k， 则直线 l 的方程为 y＝kx，由 y＝kx， y＝x2－1， 得 x2－kx－1＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1，x2 是上述方程的两个实根， 于是 x1＋x2＝k，x1x2＝－1. 又点 M 的坐标为(0，－1)， 所以 kMA·kMB＝y1＋1 x1 ·y2＋1 x2 ＝ kx1＋1kx2＋1 x1x2 ＝k2x1x2＋kx1＋x2 ＋1 x1x2 ＝－k2＋k2＋1 －1 ＝－1. 故 MA⊥MB，即 MD⊥ME. ②解 设直线 MA 的斜率为 k1， 则直线 MA 的方程为 y＝k1x－1. 由 y＝k1x－1， y＝x2－1， 解得 x＝0， y＝－1 或 x＝k1， y＝k2 1－1. 故点 A 的坐标为(k1，k2 1－1)． 又直线 MB 的斜率为－1 k1 ， 同理可得点 B 的坐标为(－1 k1 ，1 k2 1 －1)． 于是 S1＝1 2 |MA|·|MB| - 8 - ＝1 2 1＋k2 1·|k1|· 1＋1 k2 1 ·|－1 k1 | ＝1＋k2 1 2|k1| . 由 y＝k1x－1， x2＋4y2－4＝0， 得(1＋4k2 1)x2－8k1x＝0， 解得 x＝0， y＝－1 或 x＝ 8k1 1＋4k2 1 ， y＝4k2 1－1 1＋4k2 1 . 故点 D 的坐标为( 8k1 1＋4k2 1 ，4k2 1－1 1＋4k2 1 )． 又直线 ME 的斜率为－1 k1 ， 同理可得点 E 的坐标为(－8k1 4＋k2 1 ，4－k2 1 4＋k2 1 )． 于是 S2＝1 2 |MD|·|ME|＝ 321＋k2 1 ·|k1| 1＋4k2 1 k2 1＋4 . 因此S1 S2 ＝ 1 64 (4k2 1＋4 k2 1 ＋17)． 由题意知， 1 64 (4k2 1＋4 k2 1 ＋17)＝17 32 ， 解得 k2 1＝4 或 k2 1＝1 4 . 又由点 A，B 的坐标可知，k＝ k2 1－1 k2 1 k1＋1 k1 ＝k1－1 k1 ， 所以 k＝±3 2 . 故满足条件的直线 l 存在，且有两条， 其方程分别为 y＝3 2 x，y＝－3 2 x.