2020_2021学年新教材高中数学第七章概率2古典概型第1课时古典概型的概率计算公式及其应用课件北师大版必修第一册 28页

2.1 　古典概型的概率计算公式　 2.2 　古典概型的应用 第 1 课时　古典概型的概率计算公式及其应用 激趣诱思 知识点拨 齐王与田忌赛马 , 田忌的上马优于齐王的中马 , 劣于齐王的上马 , 田忌的中马优于齐王的下马 , 劣于齐王的中马 , 田忌的下马劣于齐王的下马 . 现各出上、中、下三匹马分别进行一场比赛 , 胜两场以上 ( 含两场 ) 即为获胜 . 若齐王知道田忌马的出场顺序 , 他获胜的概率是多大 ? 如田忌知道齐王马的出场顺序 , 他能获胜吗 ? 若双方均不知对方马的出场顺序 , 你能探求田忌获胜的概率吗 ? 激趣诱思 知识点拨 一、古典概 型 2 . 一般 地 , 若试验 E 具有如下特征 : (1) 有限性 : 试验 E 的样本空间 Ω 的样本点总数有限 , 即样本空间 Ω 为有限样本空间 ; (2) 等可能性 : 每次试验中 , 样本空间 Ω 的各个样本点出现的可能性相等 . 则称这样的试验模型为古典概率概型 , 简称古典概型 . 1 . 对于随机事件 A , 通常用一个数 P ( A )(0 ≤ P ( A ) ≤ 1) 来表示该事件发生的可能性大小 , 这个数就称为随机事件 A 的概率 . 激趣诱思 知识点拨 名师 点析 古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型 , 在于这个试验是否具有古典概型的两个特点 : 有限性和等可能性 , 并不是所有的试验都是古典概型 . 下列三类试验不是古典模型 : (1) 样本点个数有限 , 但非等可能 ; (2) 样本点个数无限 , 但等可能 ; (3) 样本点个数无限 , 也非等可能 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 下列试验中 , 是古典概型的是 ( 　　 ) A. 种下一粒种子观察它是否发芽 B. 从规格直径为 (250 ± 0 . 6) mm 的一批合格产品中任意取一件 , 测量其直径 C. 抛掷一 枚 质量均匀 硬币 , 观察其出现正面或反面 D. 某人射击中靶或不中靶 答案 : C 激趣诱思 知识点拨 二、古典概型的概率计算公式 对古典概型来说 , 如果样本空间 Ω 包含的样本点总数为 n , 随机事件 A 包含的样本点个数为 m , 那么事件 A 发生的概率为 名师点析 使用古典概型概率公式的注意事项 (1) 首先判断该模型是不是古典概型 ; (2) 找出随机事件 A 所包含的样本点的个数和试验中样本点的总数 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 有 5 支彩笔 ( 除颜色外无差别 ), 颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫 . 从这 5 支彩笔中任取 2 支 , 则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为 ( 　　 ) 答案 : C 解析 : 选取两支彩笔的方法有 10 种 , 即 ( 红、黄 ),( 红、蓝 ),( 红、绿 ),( 红、紫 ),( 黄、蓝 ),( 黄、绿 ),( 黄、紫 ),( 蓝、绿 ),( 蓝、紫 ),( 绿、紫 ), 含有红色彩笔的选法有 4 种 , 即 ( 红、黄 ),( 红、蓝 ),( 红、绿 ),( 红、紫 ), 由古典概型公式 , 得满足题意的概率为 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 古典概型的判断 例 1 判断下列概率模型是否属于古典概型 ? (1) 在区间 [0,2] 上任取 一点 ; (2 ) 某人 从 甲地到乙地共有 10 条 路线 中任意一条 ; (3) 任意抛掷两枚质地均匀的骰子 , 所得点数之和作为基本事件 . 分析 从有限性和等可能性两个方面入手 , 对每个概率模型进行判断 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 古典概型的判断方法 判断一个试验是不是古典概型 , 关键看它是否具备古典概型的两个特征 :(1) 一次试验中 , 可能出现 的 样本点 只有 有限个 , 即有限性 ;(2) 每个 样本点出现 的 可能性是均等的 , 即等可能性 . 解 : (1) 区间 [0,2] 包含无穷多个点 , 从 [0,2] 上任取一点时 , 有无穷多种取法 , 不满足有限性 , 因此这不是古典概型 . (2) 从甲地到乙地共有 10 条路线 , 某人从中任取一条 , 共有 10 种选法 , 满足有限性 , 又每一条路线被选中的可能性是相同的 , 满足等可能性 , 因此这是古典概型 . (3) 任意抛掷两枚质地均匀的骰子 , 点数之和共有 11 种可能 , 即点数之和分别是 :2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 满足有限性 , 但这 11 种结果不是等可能出现的 , 不满足等可能性 , 故这不是古典概型 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 下列试验不是古典概型的是 　　　 . ( 填序号 )   ① 从 6 名同学中任选 4 人 , 参加数学竞赛 ; ② 近三天中有一天 降雨 ; ③ 从 10 人中任选两人表演节目 . 答案 : ② 　 解析 : ①③ 为古典概型 , 它们符合古典概型的两个特征 : 有限性和等可能性 . ② 不符合等可能性 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 古典概型概率的求解 例 2 袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为 a , b 的 2 个黑球和编号为 c , d , e 的 3 个红球 , 从中任意摸出 2 个球 , 写出试验的样本空间 , 并求至少摸出 1 个黑球的概率 . 分析 写试验的样本空间 时 要逐一写出 , 用古典概型的概率公式可得概率 . 解 : 试验的样本空间为 Ω = {( a , b ),( a , c ),( a , d ),( a , e ),( b , c ),( b , d ),( b , e ),( c , d ),( c , e ),( d , e )}, n= 10 . 记 “ 至少摸出 1 个黑球 ” 为事件 A , 则事件 A 包含 7 个样本点 , ∴ m= 7 . 即至少摸出 1 个黑球的概率为 0 . 7 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 袋子中有红、白色球各 1 个 , 每次任取一个 , 有放回地摸三次 , 写出试验的样本空间 , 并计算下列事件的概率 :(1) 三次颜色恰有两次同色 ;(2) 三次颜色全相同 ;(3) 三次摸到的红球多于白球 . 解 : 试验的 样本空间 Ω = {( 红 , 红 , 红 ) 、 ( 红 , 红 , 白 ) 、 ( 红 , 白 , 红 ) 、 ( 白 , 红 , 红 ) 、 ( 红 , 白 , 白 ) 、 ( 白 , 红 , 白 ) 、 ( 白 , 白 , 红 ) 、 ( 白 , 白 , 白 )} . 样本点总数 n= 8 . (1) 记事件 A 为 “ 三次颜色恰有两次同色 ” . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 古典概型的综合问题 例 3 编号分别为 A 1 , A 2 , … , A 16 的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下 : (1) 将得分在对应区间内的人数填入相应的空格 : 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2) 从得分在区间 [20,30) 内的运动员中随机抽取 2 人 , ① 用运动员编号列出所有可能的抽取结果 ; ② 求这 2 人得分之和大于 50 的概率 . 解 : (1) 由得分记录表 , 从左到右应填 4,6,6 . (2) ① 得分在区间 [20,30) 内的运动员编号为 A 3 , A 4 , A 5 , A 10 , A 11 , A 13 . 从中随机抽取 2 人 , 所有可能的抽取结果有 ( A 3 , A 4 ),( A 3 , A 5 ),( A 3 , A 10 ),( A 3 , A 11 ),( A 3 , A 13 ),( A 4 , A 5 ),( A 4 , A 10 ),( A 4 , A 11 ),( A 4 , A 13 ),( A 5 , A 10 ),( A 5 , A 11 ),( A 5 , A 13 ),( A 10 , A 11 ),( A 10 , A 13 ),( A 11 , A 13 ), 共 15 种 . ② 从得分在区间 [20,30) 内的运动员中随机抽取 2 人 , 将 “ 这 2 人得分之和大于 50” 记为事件 B , 则事件 B 的所有可能结果有 ( A 4 , A 5 ),( A 4 , A 10 ),( A 4 , A 11 ),( A 5 , A 10 ),( A 10 , A 11 ), 共 5 种 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 古典概型综合问题的解题方法 (1) 要深刻 理解问题 所涉及的其他数学知识 , 在 理解 题意 的 基础上结合古典概型的计算公式进行求解 . (2) 古典概型信息迁移题通过给出一个新概念或定义一种新运算或给出几个新模型等来创设新的问题情境 , 要求同学们在阅读理解的基础上 , 应用所学的知识和方法 , 实现信息的迁移 , 以达到灵活解题的目的 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 (1) 设 a , b ∈ {1,2,3}, 则函数 f ( x ) =x 2 +bx+a 无零点的概率为 　　　　 ;   (2)“ 渐升数 ” 是指每个数字比其左边的数字大的自然数 ( 如 2 578), 在两位的 “ 渐升数 ” 中任取一个数比 37 大的概率是 　　　　　 .   解析 : (1) 由题意知本题是一个古典概型问题 , 因为试验发生包含的事件是从含有 3 个元素的集合中取元素 , 每一个有 3 种取法 , 共有 3 × 3 = 9 种结果 . 满足条件的事件是使函数 f ( x ) =x 2 +bx+a 无零点的结果 , 要满足 b 2 - 4 a< 0, 即 b 2 < 4 a. 从所给的数据中 , 当 b= 1 时 , a 有 3 种结果 ; 当 b= 2 时 , a 有 2 种结果 ; 当 b= 3 时 , a 有 1 种结果 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2) 十位是 1 的 “ 渐升数 ” 有 8 个 ; 十位是 2 的 “ 渐升数 ” 有 7 个 ; … ; 十位是 8 的 “ 渐升数 ” 有 1 个 , 所以两位的 “ 渐升数 ” 共有 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36( 个 ); 以 3 为十位数 , 比 37 大的 “ 渐升数 ” 有 2 个 , 分别以 4,5,6,7,8 为十位数的 “ 渐升数 ” 均比 37 大 , 且共有 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15( 个 ), 所以比 37 大的两位 “ 渐升数 ” 共有 2 + 15 = 17( 个 ) . 故在两位的 “ 渐升数 ” 中任取一个数比 37 大的概率是 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变换角度 , 巧解古典概型 典例 甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排 , 则甲站在边上的概率为 　　　　 .   方法一 如图所示 . 由图 可看出共有 24 个样本点 . 甲站在边上有 12 个样本点 :( 甲 , 乙 , 丙 , 丁 ),( 甲 , 乙 , 丁 , 丙 ),( 甲 , 丙 , 乙 , 丁 ),( 甲 , 丙 , 丁 , 乙 ),( 甲 , 丁 , 乙 , 丙 ),( 甲 , 丁 , 丙 , 乙 ),( 乙 , 丙 , 丁 , 甲 ),( 乙 , 丁 , 丙 , 甲 ),( 丙 , 乙 , 丁 , 甲 ),( 丙 , 丁 , 乙 , 甲 ),( 丁 , 乙 , 丙 , 甲 ),( 丁 , 丙 , 乙 , 甲 ) . 故甲在边 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法二 甲、乙、丙、丁四人站队 , 排头和排尾的站法共有 :( 甲 , 乙 ),( 乙 , 甲 ),( 甲 , 丙 ),( 丙 , 甲 ),( 甲 , 丁 ),( 丁 , 甲 ),( 乙 , 丙 ),( 丙 , 乙 ),( 乙 , 丁 ),( 丁 , 乙 ),( 丙 , 丁 ),( 丁 , 丙 ) 12 个样本点 , 其中甲站在边上的情况有 :( 甲 , 乙 ),( 乙 , 甲 ),( 甲 , 丙 ),( 丙 , 甲 ),( 甲 , 丁 ),( 丁 , 甲 ) 6 个样本点 , 故甲站在边上的概率为 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛 1 . 从不同的角度把握问题 , 进而转化为不同的古典概型 , 这是我们进行概率计算的重要思想 . 当所选取的试验可能出现的结果的角度不同时 , 样本点的个数也将不同 , 但是最终所求概率的值是确定的 . 2 . 在写试验的所有可能结果时 , 务必弄清问题的本质 , 选取合适的着眼点 , 有时需要 “ 放短 ” 眼光 , 只考虑影响某次试验结果的事件总数即可 , 如本例可只考虑排头和排尾两个特殊位置 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 用三种不同的颜色给 图中 的 3 个矩形随机涂色 , 且每个矩形只涂一种颜色 , 求 : (1)3 个矩形颜色都相同的概率 ; (2)3 个矩形颜色都不同的概率 . 解 : 用三种不同的颜色给图中的 3 个矩形随机涂色 , 共有 27 个样本点 , 如 图所 示 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 下列试验中 , 是古典概型的个数为 ( 　　 ) ① 种下一粒花生 , 观察它是否发芽 ; ② 向上抛一枚质地不均的硬币 , 观察正面向上的概率 ; ③ 在 正方形 ABCD 内任意一点 P , 点 P 恰与点 C 重合 ; ④ 从 1,2,3,4 四个数中 , 任取两 个数 ; ⑤ 在 区间 [ 0,5] 上任取 一点 . A.0 B.1 C.2 D.3 答案 : B 　 解析 : 只有 ④ 是古典概型 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 从 2,3,8,9 中 任 取两个不同的数字 , 分别记为 a , b , 则 log a b 为整数的 概率 是 　　　　　 .   解析 : 从 2,3,8,9 任取 2 个分别记为 ( a , b ), 则有 (2,3),(3,2),(2,8),(8,2),(2,9),(9,2),(3,8),(8,3),(3,9),(9,3),(8,9),(9,8), 共有 12 种情况 , 其中符合 log a b 为整数的有 log 3 9 和 log 2 8 两种情况 , 所以 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . 若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷 2 次 , 则出现向上的点数之和为 4 的概率为 　　　　　 .   解析 : 将先后抛掷 2 次 , 出现向上的点数记作点坐标 ( x , y ), 则共可 得 样本 点个数 为 6 × 6 = 36, 而向上点数之和为 4 的 样本 点有 (1,3),(2,2),(3,1), 共 3 个 , 故 所求概率为 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 某商场举行购物抽奖促销活动 , 规定每位顾客从装有编号为 0,1,2,3 四个相同小球的抽奖箱中 , 每次取出一个球记下编号后放回 , 连续取两次 , 若取出的两个小球号码相加之和等于 6, 则中一等奖 , 等于 5 则中二等奖 , 等于 4 或 3 则中三等奖 . (1) 求中三等奖的概率 ; (2) 求中奖的概率 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : 设 “ 中三等奖 ” 为事件 A ,“ 中奖 ” 为事件 B , 从四个小球中有放回地取两球有 (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3) 共 16 个样本点 . (1) 取出的两个小球号码相加之和等于 4 或 3 的取法有 (1,3),(2,2),(3,1),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0) 共 7 个样本点 , 则中三等奖的概 (2) 由 (1) 知两个小球号码相加之和等于 3 或 4 的取法有 7 个 ; 两个小球号码相加之和等于 5 的样本点有 2 个 :(2,3),(3,2) . 两个小球号码相加之和等于 6 的样本点有 1 个 :(3,3) . 则中奖的概率为