【数学】2020届一轮复习北师大版两个计数原理课时作业 5页

知识点一 分类加法计数原理的应用 ‎1.某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有(　　)‎ A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 答案　C 解析　分两类：买1本，买2本书，各类购书方式依次有2种、1种，故共有2＋1＝3种购买方式．‎ ‎2．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？‎ 答案　36个 解析　解法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数为8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36.‎ 解法二：按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理，满足条件的两位数的个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36.‎ 知识点二 分步乘法计数原理的应用 ‎3.一个礼堂有4个门，若从任一个门进，从任一个门出，共有不同走法(　　)‎ A．8种 B．12种 C．16种 D．24种 答案　C 解析　从任一个门进有4种不同走法，从任一个门出也有4种不同走法，故共有4×4＝16种不同走法．‎ ‎4．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为(　　)‎ A．7 B．12 C．64 D．81‎ 答案　B 解析　要完成长裤与上衣配成一套，分2步：‎ 第1步，选上衣，从4件中任选一件，有4种不同选法；‎ 第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法．‎ 故共有4×3＝12种不同的配法.‎ 知识点三 两个原理的综合应用 ‎5.现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．‎ ‎(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？‎ ‎(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？‎ ‎(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？‎ 解　(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．‎ 所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．‎ ‎(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．‎ 所以，共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5040(种). ‎ ‎(3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．‎ 所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．‎ ‎6．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．‎ ‎(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？‎ ‎(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？‎ 解　从O型血的人中选1人有28种不同的选法；‎ 从A型血的人中选1人有7种不同的选法；‎ 从B型血的人中选1人有9种不同的选法；‎ 从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．‎ ‎(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理，有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．‎ ‎(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理，有28×7×9×3＝5292种不同的选法．‎ 一、选择题 ‎1．已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则xy可表示不同的值的个数为(　　)‎ A．2 B．3 C．6 D．9‎ 答案　D 解析　分二步：第一步，在集合{2,3,7}中任取一个值，有3种不同取法；第二步，在集合{－3，－4,8}中任取一个值，有3种不同取法，故xy可表示3×3＝9个不同的值．‎ ‎2．从1,2，…，9这九个数字中，任意抽取两个相加所得的和为奇数的不同情形的种数是(　　)‎ A．6 B．9 C．20 D．25‎ 答案　C 解析　当且仅当偶数加上奇数时和为奇数，在1,2，…，9中共有4个偶数，5个奇数，所以所得和为奇数的不同情形的种数是4×5＝20.‎ ‎3．有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有(　　)‎ A．96种 B．24种 C．120种 D．12种 答案　A 解析　先排第1道，有4种排法，第2,3,4,5道各有4,3,2,1种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1＝96种停车方法．‎ ‎4．现有A，B两种类型的机床各一台，甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种机床，丙只会操作A种机床，现在要从这三名工人中选两名分别去操作以上机床，不同的选派方法有(　　)‎ A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 答案　C 解析　分两类：第一类若不选丙有2×1种选派方法；第二类若选丙，再从甲、乙两人中选一人，有2×1种选派方法，共有2＋2＝4种方法．‎ ‎5．设椭圆＋＝1的焦点在y轴上，其中a∈{1,2,3,4,5}，b∈{1,2,3,4,5,6,7}，则满足上述条件的椭圆个数为(　　)‎ A．20个 B．24个 C．12个 D．11个 答案　A 解析　当a取1时，b可以取2,3,4,5,6,7，共6种；‎ 当a取2时，b可以取3,4,5,6,7，共5种；‎ 当a取3时，b可以取4,5,6,7，共4种；‎ 当a取4时，b可以取5,6,7，共3种；‎ 当a取5时，b可以取6,7，共2种．‎ 所以满足上述条件的椭圆个数共有6＋5＋4＋3＋2＝20(个)．‎ 二、填空题 ‎6．有4个同学站成一队，现在要求他们解散重新站队，每个人不能站在原来的位置上，则不同的站法有________种．‎ 答案　9‎ 解析　‎ 第一步，任选一人站队，有3种站法(因为他不能站在原先的位置)；第二步，由第一步所站位置原先站的人站队，有3种站法；第三步，剩下的两人只有1种站法，所以有3×3×1＝9种不同的站法．‎ ‎7．某运动会上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．‎ 答案　2880‎ 解析　分两步安排这8名运动员．‎ 第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，所以共有4×3×2＝24种方法；第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，共有5×4×3×2×1＝120种．‎ 所以安排这8人的方式共有24×120＝2880种．‎ ‎8．由1,2,3,4,5,6,7,8,9可以组成无重复数字的三位偶数与三位奇数的个数分别是________个，________个．‎ 答案　224　280‎ 解析　当个位上的数是偶数时，该三位数就是偶数．‎ 可分步完成：第一步，先排个位，个位上的数只能取2,4,6,8中的1个，有4种取法；‎ 第二步，排十位，从剩余的8个数字中取1个，有8种取法；‎ 第三步，排百位，从剩余的7个数字中取1个，有7种取法．‎ 所以可以组成无重复数字的三位偶数的个数为4×8×7＝224.‎ 当个位上的数是奇数时，该三位数就是奇数．‎ 可分步完成：第一步，先排个位，个位上的数只能取1,3,5,7,9中的1个，有5种取法；‎ 第二步，排十位，从剩余的8个数字中取1个，有8种取法；‎ 第三步，排百位，从剩余的7个数字中取1个，有7种取法．‎ 所以可以组成无重复数字的三位奇数的个数为5×8×7＝280.‎ 三、解答题 ‎9．用1,2,3,4四个数字组成可有重复数字的三位数，这些数从小到大构成数列{an}．‎ ‎(1)这个数列共有多少项？‎ ‎(2)若an＝341，求n的值．‎ 解　(1)由题意，知这个数列的项数就是由1,2,3,4四个数字组成的可有重复数字的三位数的个数．‎ 由于每个数位上的数都有4种取法，‎ 由分步乘法计数原理，得满足条件的三位数的个数为4×4×4＝64，‎ 即数列{an}共有64项．‎ ‎(2)比341小的数分为两类：‎ 第一类，百位上的数是1或2，有2×4×4＝32个三位数；‎ 第二类，百位上的数是3，十位上的数可以是1,2,3中的任一个，个位上的数可以是1,2,3,4中的任一个，有3×4＝12个三位数．‎ 所以比341小的三位数的个数为32＋12＝44，‎ 因此341是这个数列的第45项，即n＝45.‎ ‎10．某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法？‎ 解　首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”“只会印刷”“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类：‎ 第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步乘法计数原理知共有3×1＝3种选法．‎ 第二类：2人中被选出一人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步乘法计数原理知共有2×3×1＝6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步乘法计数原理知共有2×3×2＝12种选法．再由分类加法计数原理知共有6＋12＝18种选法．‎ 第三类：2人全被选出，同理共有16种选法．‎ 所以共有3＋18＋16＝37种选法．‎