【数学】2020届一轮复习北师大版 推理与证明 课时作业 7页

‎2020届一轮复习北师大版 推理与证明 课时作业 ‎1.已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S＝，可推知扇形面积公式S扇等于(　　)‎ A．　　　　　　　 B． C． D．不可类比 ‎[答案]　C ‎2．下面几种推理是合情推理的是(　　)‎ ‎①由圆的性质类比出球的有关性质 ‎②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°‎ ‎③教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的所有椅子都坏了 ‎④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n边形的内角和是(n－2)·180°(n∈N*，且n≥3)‎ A．①② B．①③④‎ C．①②④ D．②④‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　①是类比推理；②④是归纳推理，∴①②④都是合情推理．‎ ‎3．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：‎ ‎①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是(　　)‎ A．①② B．②③‎ C．③④ D．①④‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　根据立体几何中线面之间的位置关系知，②③是正确的结论．‎ ‎4．(2013·辽师大附中期中)类比三角形中的性质：‎ ‎(1)两边之和大于第三边 ‎(2)中位线长等于底边长的一半 ‎(3)三内角平分线交于一点 可得四面体的对应性质：‎ ‎(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 ‎(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的 ‎(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点 其中类比推理方法正确的有(　　)‎ A．(1) B．(1)(2)‎ C．(1)(2)(3) D．都不对 ‎[答案]　C ‎[解析]　以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．‎ ‎5．下列类比推理恰当的是(　　)‎ A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋siny C．把(ab)n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn D．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c ‎[答案]　D ‎[解析]　选项A，B，C没有从本质属性上类比，是简单类比，从而出现错误．‎ 二、填空题 ‎6．对于平面几何中的命题：“夹在两平行线之间的平行线段的长度相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到的命题是：______________________________.‎ ‎[答案]　夹在两个平行平面间的平行线段的长度相等 ‎7．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为__________ ________.‎ ‎[答案]　a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9‎ ‎[解析]　等比数列中，“乘积”类比到等差数列中“和”，故应有结论为a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.‎ ‎8．(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC．拓展到空间，在四面体A－BCD中，DA⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间关系为__________ ________.‎ ‎[答案]　S＝S△OBC·S△DBC ‎[解析]　将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面积可得S＝S△OBC·S△DBC．‎ 三、解答题 ‎9．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间中，并判断类比的结论是否成立；‎ ‎(1)如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交；‎ ‎(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．‎ ‎[解析]　平面几何与空间几何的类比中，点的类比对象是线，线的类比对象是面，面的类比对象是体．‎ ‎(1)的类比结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交．由空间几何的知识易得此结论成立．‎ ‎(2)的类比结论为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．由空间几何的知识易得此结论不成立，如果两个平面同时垂直于第三个平面，这两个平面还可能相交．‎ ‎10．我们已经学过了等比数列，是否也有等积数列呢？‎ ‎(1)类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义；‎ ‎(2)若{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，试写出{an}的通项公式及前n项和公式．‎ ‎[答案]　(1)略　(2)an＝　Sn＝ ‎[解析]　(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积．‎ ‎(2)由于{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，所以a2＝3，a3＝2，a4＝3，a5＝2，a6＝3，…，即{an}的所有奇数项都等于2，偶数项都等于3，因此{an}的通项公式为an＝当n为偶数时，前n项和Sn＝；当n为奇数时，前n项和Sn＝＋2＝.‎ 即Sn＝ 一、选择题 ‎11．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体，在▱ABCD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，那么在平行六面体ABCD—A1B‎1C1D1中，AC＋BD＋CA＋DB等于(　　)‎ A．2(AB2＋AD2＋AA) B．3(AB2＋AD2＋AA)‎ C．4(AB2＋AD2＋AA) D．4(AB2＋AD2)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　如图所示，‎ 四边形AA‎1C1C和BB1D1D也都是平行四边形，从而有AC＋CA＝2(AC2＋AA)，BD＋DB＝2(BD2＋BB)，‎ 所以AC＋CA＋BD＋DB＝2(AC2＋BD2)＋4AA＝4(AB2＋AD2＋AA)．‎ ‎12.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于(　　)‎ A． B． C．－1 D．＋1‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，‎ 则F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)，‎ ‎∴＝(c，b)，＝(－a，b)，‎ 又∵⊥，∴·＝b2－ac＝0，‎ ‎∴c2－a2－ac＝0，‎ ‎∴e2－e－1＝0，‎ ‎∴e＝或e＝(舍去)，‎ 故应选A．‎ 二、填空题 ‎13．(全国高考Ⅱ)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，‎ 例如两组对边平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：‎ 充要条件：①__________________________________________；‎ 充要条件：②________________________________________________________.‎ ‎(写出你认为正确的两个充要条件)‎ ‎[答案]　答案不唯一，如两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形 ‎14．(2014·阜阳一中模拟)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S2n－1＝(2n－1)an.由类比推理可得：在等比数列{bn}中，若其前n项的积为Pn，则P2n－1＝__________ ________.‎ ‎[答案]　b ‎[解析]　将等差数列前n项和类比到等比数列前n项的积，将等差中项的“倍数”类比到等比中项的“乘方”．因为等差数列{an}的前n项和为Sn，则S2n－1＝(2n－1)an.所以类比可得：在等比数列{bn}中，若其前n项的积为Pn，则P2n－1＝b.‎ ‎15．在以原点为圆心，半径为r的圆上有一点P(x0，y0)，则圆的面积S圆＝πr2，过点P的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.在椭圆＋＝1(a>b>0)中，当离心率e趋近于0时，短半轴b就趋近于长半轴a，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公式得椭圆面积S椭圆＝__________ ________.类比过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程，则过椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为__________ ________.‎ ‎[答案]　πab　·x＋·y＝1‎ ‎[解析]　当椭圆的离心率e趋近于0时，椭圆趋近于圆，此时a，b都趋近于圆的半径r，故由圆的面积S＝πr2＝π·r·r，猜想椭圆面积S椭＝π·a·b，其严格证明可用定积分处理．而由切线方程x0·x＋y0·y＝r2变形得·x＋·y＝1，则过椭圆上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为·x＋·y＝1，其严格证明可用导数求切线处理．‎ ‎16．(2014·厦门六中高二期中)在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1、S2、S3表示三个侧面面积，S表示截面面积，那么类比得到的结论是__________ ________.‎ ‎[答案]　S2＝S＋S＋S ‎[解析]　类比如下：‎ 正方形↔正方体；截下直角三角形↔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方↔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和↔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S2＝S＋S＋S.‎ 证明如下：如图，作OE⊥平面LMN，垂足为E，连接LE并延长交MN于F，‎ ‎∵LO⊥OM，LO⊥ON，‎ ‎∴LO⊥平面MON，‎ ‎∵MN⊂平面MON，‎ ‎∴LO⊥MN，‎ ‎∵OE⊥MN，∴MN⊥平面OFL，∴S△OMN＝MN·OF，S△MNE＝MN·FE，S△MNL＝MN·LF，OF2＝FE·FL，∴S＝(MN·OF)2＝(MN·FE)·(MN·FL)＝S△MNE·S△MNL，同理S＝S△MLE·S△MNL，S＝S△NLE·S△MNL，∴S＋S＋S＝(S△MNE＋S△MLE＋S△NLE)·S△MNL＝S，即S＋S＋S＝S2.‎ 三、解答题 ‎17．点P在圆C：x2＋y2＝1上，经过点P的圆的切线方程为x＋y＝1，又点Q(2,1)在圆C外部，容易证明直线2x＋y＝1与圆相交，点R在圆C的内部．直线x＋y＝1与圆相离．类比上述结论，你能给出关于一点P(a，b)与圆x2＋y2＝r2的位置关系与相应直线与圆的位置关系的结论吗？‎ ‎[解析]　点P(a，b)在⊙C：x2＋y2＝r2上时，直线ax＋by＝r2与⊙C相切；点P在⊙C内时，直线ax＋by＝r2与⊙C相离；点P在⊙C外部时，直线ax＋by＝r2与⊙C相交．容易证明此结论是正确的．‎ ‎18．我们知道：‎ ‎12＝　　　　　　　　　 1，‎ ‎22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，‎ ‎32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，‎ ‎42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，‎ ‎……‎ n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1，‎ 左右两边分别相加，得 n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n ‎∴1＋2＋3＋…＋n＝.‎ 类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n2的表达式的过程．‎ ‎[解析]　我们记S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n，‎ S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，…Sk(n)＝1k＋2k＋3k＋…＋nk (k∈N*)．‎ 已知 ‎13＝　　　　　　　　　　　　 1，‎ ‎23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1，‎ ‎33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，‎ ‎43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1，‎ ‎……‎ n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1.‎ 将左右两边分别相加，得 S3(n)＝[S3(n)－n3]＋3[S2(n)－n2]＋3[S1(n)－n]＋n.‎ 由此知S2(n)＝＝ ‎＝.‎