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- 2021-06-16 发布
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学业分层测评(十五)
(建议用时:45 分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知 an=(-1)n,数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S9 与 S10 的值分别是( )
A.1,1 B.-1,-1 C.1,0 D.-1,0
【解析】 S9=-1+1-1+1-1+1-1+1-1=-1.
S10=S9+a10=-1+1=0.
【答案】 D
2.已知等比数列的公比为 2,且前 5 项和为 1,那么前 10 项和等于( )
A.31 B.33 C.35 D.37
【解析】 根据等比数列性质得S10-S5
S5
=q5,
∴S10-1
1
=25,∴S10=33.
【答案】 B
3.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 4a1,2a2,a3 成等差数列.若 a1=1,则
S4 等于( )
A.7 B.8 C.15 D.16
【解析】 设{an}的公比为 q,
∵4a1,2a2,a3 成等差数列,
∴4a2=4a1+a3,即 4a1q=4a1+a1q2,
即 q2-4q+4=0,
∴q=2,
又 a1=1,
∴S4=1-24
1-2
=15,故选 C.
【答案】 C
4.在等比数列{an}中,如果 a1+a2=40,a3+a4=60,那么 a7+a8=( )
A.135 B.100
C.95 D.80
【解析】 由等比数列的性质知 a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8 成等比数列,
其首项为 40,公比为60
40
=3
2.
∴a7+a8=40×
3
2 3=135.
【答案】 A
5.数列{an},{bn}都是等差数列,a1=5,b1=7,且 a30+b30=60,则{an+
bn}的前 30 项的和为( )
A.1 000 B.1 020 C.1 040 D.1 080
【解析】 {an+bn}的前 30 项的和 S30=(a1+b1)+(a2+b2)+…+(a30+b30)
=(a1+a2+a3+…+a30)+(b1+b2+b3+…+b30)=30a1+a30
2
+30b1+b30
2
=
15(a1+a30+b1+b30)=1 080.
【答案】 D
二、填空题
6.等比数列{an}共有 2n 项,它的全部各项的和是奇数项的和的 3 倍,则公
比 q=________.
【解析】 设{an}的公比为 q,则奇数项也构成等比数列,其公比为 q2,首
项为 a1,
S2n=a11-q2n
1-q
,
S 奇=a1[1-q2n]
1-q2 .
由题意得a11-q2n
1-q
=3a11-q2n
1-q2 .
∴1+q=3,∴q=2.
【答案】 2
7.数列 11,103,1 005,10 007,…的前 n 项和 Sn=________.
【解析】 数列的通项公式 an=10n+(2n-1).
所以 Sn=(10+1)+(102+3)+…+(10n+2n-1)=(10+102+…+10n)+[1+
3+…+(2n-1)]=101-10n
1-10
+n1+2n-1
2
=10
9 (10n-1)+n2.
【答案】 10
9 (10n-1)+n2
8.如果 lg x+lg x2+…+lg x10=110,那么 lg x+lg2x+…+lg10x=________.
【解析】 由已知(1+2+…+10)lg x=110,
∴55lg x=110.∴lg x=2.
∴lg x+lg2x+…+lg10x=2+22+…+210=211-2=2 046.
【答案】 2 046
三、解答题
9.在等比数列{an}中,已知 S30=13S10,S10+S30=140,求 S20 的值. 【导学
号:05920073】
【解】 ∵S30≠3S10,∴q≠1.
由 S30=13S10,
S10+S30=140,
得 S10=10,
S30=130.
∴
a11-q10
1-q
=10,
a11-q30
1-q
=130.
∴q20+q10-12=0,∴q10=3,
∴S20=a11-q20
1-q
=S10(1+q10)=10×(1+3)=40.
10.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,求
数列
1
an 的前 5 项和.
【解】 若 q=1,则由 9S3=S6 得 9×3a1=6a1,则 a1=0,不满足题意,故
q≠1.
由 9S3=S6 得 9×a11-q3
1-q
=a11-q6
1-q
,解得 q=2.故 an=a1qn-1=2n-1,1
an
=
1
2 n
-1.
所以数列
1
an 是以 1 为首项,1
2
为公比的等比数列,其前 5 项和为 S5=
1× 1-
1
2 5
1-1
2
=31
16.
[能力提升]
1.(2015·广州六月月考)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S10∶S5=1∶2,
则 S15∶S5=( )
A.3∶4 B.2∶3
C.1∶2 D.1∶3
【解析】 在等比数列{an}中,S5,S10-S5,S15-S10,…成等比数列,因为
S10∶S5=1∶2,所以 S5=2S10,S15=3
4S5,得 S15∶S5=3∶4,故选 A.
【答案】 A
2.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,称 Tn=S1+S2+…+Sn
n
为数列 a1,a2,a3,…,
an 的“理想数”,已知数列 a1,a2,a3,a4,a5 的理想数为 2 014,则数列 2,a1,
a2,…,a5 的“理想数”为( )
A.1 673 B.1 675 C.5 035
3 D.5 041
3
【 解析 】 因 为 数 列 a1 , a2 , … , a5 的 “ 理 想 数 ” 为 2 014 , 所 以
S1+S2+S3+S4+S5
5
=2 014,即 S1+S2+S3+S4+S5=5×2 014,所以数列 2,a1,
a2,…,a5 的“理想数”为2+2+S1+2+S2+…+2+S5
6
=6×2+5×2 014
6
=
5 041
3 .
【答案】 D
3.已知首项为3
2
的等比数列{an}不是递减数列,其前 n 项和为 Sn(n∈N*),且
S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列,则 an=________.
【解析】 设等比数列{an}的公比为 q,由 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数
列,所以 S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即 4a5=a3,于是 q2=a5
a3
=1
4.
又{an}不是递减数列且 a1=3
2
,所以 q=-1
2.
故等比数列{an}的通项公式为
an=3
2
×-1
2
n-1
=(-1)n-1× 3
2n.
【答案】 (-1)n-1× 3
2n
4.(2015·重庆高考)已知等差数列{an}满足 a3=2,前 3 项和 S3=9
2.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设等比数列{bn}满足 b1=a1,b4=a15,求{bn}的前 n 项和 Tn.
【解】 (1)设{an}的公差为 d,则由已知条件得
a1+2d=2,3a1+3×2
2 d=9
2
,
化简得 a1+2d=2,a1+d=3
2
,
解得 a1=1,d=1
2
,
故{an}的通项公式 an=1+n-1
2
,即 an=n+1
2 .
(2)由(1)得 b1=1,b4=a15=15+1
2
=8.
设{bn}的公比为 q,则 q3=b4
b1
=8,从而 q=2,
故{bn}的前 n 项和 Tn=b11-qn
1-q
=1×1-2n
1-2
=2n-1.
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