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  • 2021-06-16 发布

高中数学人教a必修5学业分层测评15等比数列前n项和的性质及应用word版含解析

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学业分层测评(十五) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.已知 an=(-1)n,数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S9 与 S10 的值分别是( ) A.1,1 B.-1,-1 C.1,0 D.-1,0 【解析】 S9=-1+1-1+1-1+1-1+1-1=-1. S10=S9+a10=-1+1=0. 【答案】 D 2.已知等比数列的公比为 2,且前 5 项和为 1,那么前 10 项和等于( ) A.31 B.33 C.35 D.37 【解析】 根据等比数列性质得S10-S5 S5 =q5, ∴S10-1 1 =25,∴S10=33. 【答案】 B 3.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 4a1,2a2,a3 成等差数列.若 a1=1,则 S4 等于( ) A.7 B.8 C.15 D.16 【解析】 设{an}的公比为 q, ∵4a1,2a2,a3 成等差数列, ∴4a2=4a1+a3,即 4a1q=4a1+a1q2, 即 q2-4q+4=0, ∴q=2, 又 a1=1, ∴S4=1-24 1-2 =15,故选 C. 【答案】 C 4.在等比数列{an}中,如果 a1+a2=40,a3+a4=60,那么 a7+a8=( ) A.135 B.100 C.95 D.80 【解析】 由等比数列的性质知 a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8 成等比数列, 其首项为 40,公比为60 40 =3 2. ∴a7+a8=40× 3 2 3=135. 【答案】 A 5.数列{an},{bn}都是等差数列,a1=5,b1=7,且 a30+b30=60,则{an+ bn}的前 30 项的和为( ) A.1 000 B.1 020 C.1 040 D.1 080 【解析】 {an+bn}的前 30 项的和 S30=(a1+b1)+(a2+b2)+…+(a30+b30) =(a1+a2+a3+…+a30)+(b1+b2+b3+…+b30)=30a1+a30 2 +30b1+b30 2 = 15(a1+a30+b1+b30)=1 080. 【答案】 D 二、填空题 6.等比数列{an}共有 2n 项,它的全部各项的和是奇数项的和的 3 倍,则公 比 q=________. 【解析】 设{an}的公比为 q,则奇数项也构成等比数列,其公比为 q2,首 项为 a1, S2n=a11-q2n 1-q , S 奇=a1[1-q2n] 1-q2 . 由题意得a11-q2n 1-q =3a11-q2n 1-q2 . ∴1+q=3,∴q=2. 【答案】 2 7.数列 11,103,1 005,10 007,…的前 n 项和 Sn=________. 【解析】 数列的通项公式 an=10n+(2n-1). 所以 Sn=(10+1)+(102+3)+…+(10n+2n-1)=(10+102+…+10n)+[1+ 3+…+(2n-1)]=101-10n 1-10 +n1+2n-1 2 =10 9 (10n-1)+n2. 【答案】 10 9 (10n-1)+n2 8.如果 lg x+lg x2+…+lg x10=110,那么 lg x+lg2x+…+lg10x=________. 【解析】 由已知(1+2+…+10)lg x=110, ∴55lg x=110.∴lg x=2. ∴lg x+lg2x+…+lg10x=2+22+…+210=211-2=2 046. 【答案】 2 046 三、解答题 9.在等比数列{an}中,已知 S30=13S10,S10+S30=140,求 S20 的值. 【导学 号:05920073】 【解】 ∵S30≠3S10,∴q≠1. 由 S30=13S10, S10+S30=140, 得 S10=10, S30=130. ∴ a11-q10 1-q =10, a11-q30 1-q =130. ∴q20+q10-12=0,∴q10=3, ∴S20=a11-q20 1-q =S10(1+q10)=10×(1+3)=40. 10.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,求 数列 1 an 的前 5 项和. 【解】 若 q=1,则由 9S3=S6 得 9×3a1=6a1,则 a1=0,不满足题意,故 q≠1. 由 9S3=S6 得 9×a11-q3 1-q =a11-q6 1-q ,解得 q=2.故 an=a1qn-1=2n-1,1 an = 1 2 n -1. 所以数列 1 an 是以 1 为首项,1 2 为公比的等比数列,其前 5 项和为 S5= 1× 1- 1 2 5 1-1 2 =31 16. [能力提升] 1.(2015·广州六月月考)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S10∶S5=1∶2, 则 S15∶S5=( ) A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3 【解析】 在等比数列{an}中,S5,S10-S5,S15-S10,…成等比数列,因为 S10∶S5=1∶2,所以 S5=2S10,S15=3 4S5,得 S15∶S5=3∶4,故选 A. 【答案】 A 2.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,称 Tn=S1+S2+…+Sn n 为数列 a1,a2,a3,…, an 的“理想数”,已知数列 a1,a2,a3,a4,a5 的理想数为 2 014,则数列 2,a1, a2,…,a5 的“理想数”为( ) A.1 673 B.1 675 C.5 035 3 D.5 041 3 【 解析 】 因 为 数 列 a1 , a2 , … , a5 的 “ 理 想 数 ” 为 2 014 , 所 以 S1+S2+S3+S4+S5 5 =2 014,即 S1+S2+S3+S4+S5=5×2 014,所以数列 2,a1, a2,…,a5 的“理想数”为2+2+S1+2+S2+…+2+S5 6 =6×2+5×2 014 6 = 5 041 3 . 【答案】 D 3.已知首项为3 2 的等比数列{an}不是递减数列,其前 n 项和为 Sn(n∈N*),且 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列,则 an=________. 【解析】 设等比数列{an}的公比为 q,由 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数 列,所以 S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即 4a5=a3,于是 q2=a5 a3 =1 4. 又{an}不是递减数列且 a1=3 2 ,所以 q=-1 2. 故等比数列{an}的通项公式为 an=3 2 ×-1 2 n-1 =(-1)n-1× 3 2n. 【答案】 (-1)n-1× 3 2n 4.(2015·重庆高考)已知等差数列{an}满足 a3=2,前 3 项和 S3=9 2. (1)求{an}的通项公式; (2)设等比数列{bn}满足 b1=a1,b4=a15,求{bn}的前 n 项和 Tn. 【解】 (1)设{an}的公差为 d,则由已知条件得 a1+2d=2,3a1+3×2 2 d=9 2 , 化简得 a1+2d=2,a1+d=3 2 , 解得 a1=1,d=1 2 , 故{an}的通项公式 an=1+n-1 2 ,即 an=n+1 2 . (2)由(1)得 b1=1,b4=a15=15+1 2 =8. 设{bn}的公比为 q,则 q3=b4 b1 =8,从而 q=2, 故{bn}的前 n 项和 Tn=b11-qn 1-q =1×1-2n 1-2 =2n-1.