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绝密★启用前
2008 年普通高校招生统一考试湖南 (理数)试题与答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
1.复数(1+ 1
i
)3 等于
A.8 B.-8 C.8i D.-8i (D)
2.“|x-1|<2 成立”是“x(x-3)<0 成立”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (B)
3.已知变量 x、y 满足条件
1,
0,
2 9 0,
x
x y
x y
则 x+y 的最大值是
A.2 B.5 C.6 D.8 (C)
4.设随机变量 服从正态分布 N(2,9) ,若 P ( >c+1)=P( <c- 1 ,则 c=
A.1 B.2 C.3 D.4 (B)
5.设有直线 m、n 和平面 、 。下列四个命题中,正确的是
A.若 m∥ ,n∥ ,则 m∥n
B.若 m ,n ,m∥ ,n∥ ,则 ∥
C.若 ,m ,则 m
D.若 ,m ,m ,则 m∥ (D)
6.函数 f(x)=sin2x+ 3sin cosx x 在区间 ,4 2
上的最大值是
A.1 B.1 3
2
C. 3
2
D.1+ 3 (C)
7.设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且 2 ,DC BD
2 ,CE EA
2 ,AF FB 则 AD BE CF 与 BC
A.反向平行 B.同向平行
C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 (A)
8.若双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
(a>0,b>0)上横坐标为 3
2
a 的点到右焦点的距离大于它到左准
线的距离,则双曲线离心率的取值范围是
A.(1,2) B.(2,+ ) C.(1,5) D. (5,+ ) (B)
9.长方体 ABCD-A1B1C1D1 的 8 个顶点在同一球面上,且 AB=2,AD= 3 ,AA1=1,
则顶点 A、B 间的球面距离是
A.2 2 B. 2 C. 2
2
D. 2
4
(C)
10.设[x]表示不超过 x 的最大整数(如[2]=2, [ 5
4
]=1),对于给定的 nN*,定义
2 ( 1) ( 1)
( 1) ( 1)n
n n n xC x x x x
,x 1, ,则当 x 3 ,32
时,函数 2
nC 的值域是
A. 16 ,283
B. 16 ,563
C. 284, 3
28,56 D. 16 284, ,283 3
(D)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在对应题号后的横线上。
11. 21
1lim 3 4x
x
x x
1
5 .
12.已知椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
(a>b>0)的右焦点为 F,右准线为 l,离心率 e= 5 .5
过顶点 A(0,b)
作 AM l,垂足为 M,则直线 FM 的斜率等于 1
2 .
13.设函数 y=f(x)存在反函数 y=f-1(x),且函数 y=x-f(x)的图象过点(1,2).
则函数 y=f-1(x)-x 的图象一定过点 (-1,2) .
14.已知函数 f(x)= 3 ( 1).1
ax aa
(1)若 a>1,则 f(x)的定义域是 3, a
;
(2)若 f(x)在区间 0,1 上是减函数,则实数 a 的取值范围是 ,0 1,3 .
15.对有 n(n≥4)个元素的总体{1,2,3,…,n}进行抽样,先将总体分成两个子总体
{1,2,…,m}和{m+1、m+2,…,n}(m 是给定的正整数,且 2≤m≤n-2),再从每个子总
体中各随机抽取 2 个元素组成样本,用 Pij 表示元素 i 和 f 同时出现在样本中的概率,则 P1m=
4
( )m n m ;所有 Pif(1≤i<j≤ n 的和等于 6 .
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分 12 分)
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试合
格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设每人面试合格
的概率都是 1
2
,且面试是否合格互不影响.求:
(Ⅰ)至少有 1 人面试合格的概率;
(Ⅱ)签约人数 的分布列和数学期望.
解 用 A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A,B,C 相互独立,且
P(A)=P(B)=P(C)= 1
2 .
(Ⅰ)至少有 1 人面试合格的概率是
31 71 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) .2 8P ABC P A P B P C
(Ⅱ) 的可能取值为 0,1,2,3.
( 0) ( ) ( ) ( )P P ABC P ABC P ABC
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P C P A P B P C P A P B P C
= 3 2 31 1 1 3( ) ( ) ( ) .2 2 2 8
( 1) ( ) ( ) ( )P P ABC P ABC P ABC
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P C P A P B P C P A P B P C
= 3 3 31 1 1 3( ) ( ) ( ) .2 2 2 8
1( 2) ( ) ( ) ( ) ( ) .8P P ABC P A P B P C
1( 3) ( ) ( ) ( ) ( ) .8P P ABC P A P B P C
所以, 的分布列是
0 1 2 3
P 3
8
3
8
1
8
1
8
的期望 3 3 1 10 1 2 3 1.8 8 8 8E
17.(本小题满分 12 分)
如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠BCD=60°,E 是 CD
的中点,PA⊥底面 ABCD,PA=2.
(Ⅰ)证明:平面 PBE⊥平面 PAB;
(Ⅱ)求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角(锐角)的大小.
解 解法一(Ⅰ)如图所示,连结 BD,由 ABCD 是菱形且∠BCD=60°知,△BCD 是
等边三角形.因为 E 是 CD 的中点,所以 BE⊥CD,又 AB∥CD,所以 BE⊥AB.又因为 PA⊥平面
ABCD, BE 平面 ABCD,所以 PA⊥BE.而 PAAB=A,因此 BE⊥平面 PAB.
又 BE 平面 PBE,所以平面 PBE⊥平面 PAB.
(Ⅱ)延长 AD、BE 相交于点 F,连结 PF.过点 A 作 AH⊥PB 于 H,由(Ⅰ)知平面 PBE⊥
平面 PAB,所以 AH⊥平面 PBE.
在 Rt△ABF 中,因为∠BAF=60°,所以,
AF=2AB=2=AP.
在等腰 Rt△PAF 中,取 PF 的中点 G,连接 AG.
则 AG⊥PF.连结 HG,由三垂线定理的逆定理得,
PF⊥HG.
所以∠AGH 是平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角的平面角(锐角).
在等腰 Rt△PAF 中, 2 2.2AG PA
在 Rt△PAB 中,
2 2
2 2 5 .55
AP AB AP ABAH PB AP AB
所以,在 Rt△AHG 中,
2 5
105sin .52
AHAGH AG
故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角(锐角)的大小是 10arcsin .5
解法二 如图所示,以 A 为原点,建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是 A(0,0,
0),B(1,0,0), 3 3 1 3( , ,0), ( , ,0),2 2 2 2C D P(0,0,2),
(Ⅰ)因为 3(0, ,0)2BE ,平面 PAB 的一个法向量是 0 (0,1,0)n ,所以 0BE n和 共线.
从而 BE⊥平面 PAB.
又因为 BE 平面 PBE,故平面 PBE⊥平面 PAB.
(Ⅱ)易知 3(1,0, 2), (0, 02PB BE ,), 1 3(0,0, 2), ( , ,0)2 2PA AD
设 1 1 1 1( , , )n x y z 是平面 PBE 的一个法向量,则由 1
1
0,
0
n PB
n BE
得
1 1 1
1 2 2
0 2 0,
30 0 0.2
x y z
x y z
所以 1 1 1 10, 2 . (2,0,1).y x z n 故可取
设 2 2 2 2( , , )n x y z 是平面 PAD 的一个法向量,则由 2
2
0,
0
n PA
n AD
得
2 2 2
2 2 2
0 0 2 0,
1 3 0 0.2 2
x y z
x y z
所以 2 2 20, 3 .z x y 故可取 2 ( 3, 1,0).n
于是, 1 2
1 2
1 2
2 3 15cos , .55 2
n nn n
n n
故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角(锐角)的大小是 15arccos .5
18.(本小题满分 12 分)
数列 2 2
1 2 21, 2, (1 cos ) sin , 1,2,3, .2 2n n n
n na a a a a n
满足
(Ⅰ)求 3 4, ,a a 并求数列 na 的通项公式;
(Ⅱ)设 2 1
1 2
2
, .n
n n n
n
ab S b b ba
证明:当 16 2 .nn S n
时,
解 (Ⅰ)因为 2 2
1 2 3 1 11, 2, (1 cos ) sin 1 2,2 2a a a a a 所以
2 2
2 2(1 cos ) sin 2 4.na a a
一般地,当 *2 1( N )n k k 时, 2 2
2 1 2 1
(2 1) 2 1[1 cos ] sin2 2k k
k ka a
= 2 1 1ka ,即 2 1 2 1 1.k ka a
所以数列 2 1ka 是首项为 1、公差为 1 的等差数列,因此 2 1 .ka k
当 *2 ( N )n k k 时, 2
2 2 2
2(1 cos 2 .2k k
ka a
所以数列 2ka 是首项为 2、公比为 2 的等比数列,因此 2 2 .k
ka
故数列 na 的通项公式为
*
2
*2
1, 2 1( N ,2
2 , 2 ( N .
n
n n k k
a
n k k
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, 2 1
2
2
,2
n
n
n
a nb a
2 3
1 2 3 ,2 2 2 2n n
nS ①
2 2 4 1
1 1 2 3
2 2 2 2 2n n
nS ②
①-②得, 2 3 1
1 1 1 1 1 .2 2 2 2 2 2n n n
nS
2
1 1
1 1[1 ( ) ] 12 2 1 .1 2 2 21 2
n n n
n n
所以 1
1 22 2 .2 2 2n n n n
n nS
要证明当 6n 时, 12nS n
成立,只需证明当 6n 时, ( 2) 12n
n n 成立.
证法一
(1)当 n=6 时, 6
6 (6 2) 48 3 12 64 4
成立.
(2)假设当 ( 6)n k k 时不等式成立,即 ( 2) 1.2k
k k
则当 n=k+1 时, 1
( 1)( 3) ( 2) ( 1)( 3) ( 1)( 3) 1.2 2 2 ( 2) ( 2) 2k k
k k k k k k k k
k k k k
由(1)、(2)所述,当 n≥6 时, 2
( 1) 12
n n ,即当 n≥6 时, 12 .nS n
证法二
令 2
( 2) ( 6)2n
n nc n ,则
2
1 1 2 1
( 1)( 3) ( 2) 3 0.2 2 2n n n n
n n n n nc c
所以当 6n 时, 1n nc c .因此当 6n 时, 6
6 8 3 1.64 4nc c
于是当 6n 时, 2
( 2) 1.2
n n
综上所述,当 6n 时, 12 .nS n
19.(本小题满分 13 分)
在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点 E 正北 55 海里处有
一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45 且与点 A 相距
40 2 海里的位置 B,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东
45 + (其中 sin = 26
26
,0 90 )且与点 A 相距 10 13 海里的位置
C.
(I)求该船的行驶速度(单位:海里/时);
(II)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.
解 (I)如图,AB=40 2 ,AC=10 13 , 26,sin .26BAC
由于 0< < 90 ,所以 cos = 226 5 261 ( ) .26 26
由余弦定理得 BC= 2 2 2 cos 10 5.AB AC AB AC
所以船的行驶速度为10 5 15 52
3
(海里/小时).
(II)解法一 如图所示,以 A 为原点建立平面直角坐标系,设点 B、C 的坐标分别是
B(x1,y2), C(x1,y2),BC 与 x 轴的交点为 D.
由题设有,x1=y1= 2
2 AB=40,
x2=ACcos 10 13cos(45 ) 30CAD ,
y2=ACsin .
所以过点 B、C 的直线 l 的斜率 k= 20 210
,直线 l 的方程为
y=2x-40.
又点 E(0,-55)到直线 l 的距离 d= |0 55 40 | 3 5 7.
1 4
所以船会进入警戒水域.
解法二 如图所示,设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q.在△ABC 中,由余弦定理得,
2 2 2
cos 2 ¡¤
AB BC ACABC AB BC
==
2 2 240 2 10 5 10 13
2 40 2 10 5
= 3 10
10 .
从而 2 9 10sin 1 cos 1 .10 10ABC ABC
在 ABQ 中,由正弦定理得,
AQ=
1040 2sin 10 40.sin(45 ) 2 2 10
2 10
AB ABC
ABC
由于 AE=55>40=AQ,所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间,且 QE=AE-AQ=15.
过点 E 作 EP BC 于点 P,则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离.
在 Rt QPE 中,
PE=QE·sin sin sin(45 )PQE QE AQC QE ABC
= 515 3 5 7.5
所以船会进入警戒水域.
20.(本小题满分 13 分)
若 A、B 是抛物线 y2=4x 上的不同两点,弦 AB(不平行于 y 轴)的垂直平分线与 x 轴相交于
点 P,则称弦 AB 是点 P 的一条“相关弦”.已知当 x>2 时,点 P(x,0)存在无穷多条“相关
弦”.给定 x0>2.
(I)证明:点 P(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同;
(II)试问:点 P(x0,0)的“相关弦”的弦长中是否存在最大值?若存在,求其最大值(用
x0 表示):若不存在,请说明理由.
解:(I)设 AB 为点 P(x0,0)的任意一条“相关弦”,且点 A、B 的坐标分别是
(x1,y1)、(x2,y2)(x1 x2),则 y21=4x1, y22=4x2,
两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).因为 x1 x2,所以 y1+y2 0.
设直线 AB 的斜率是 k,弦 AB 的中点是 M(xm, ym),则
k= 1 2
1 2 1 2
4 2
m
y y
x x y y y
.
从而 AB 的垂直平分线 l 的方程为 ( ).2
m
m m
yy y x x
又点 P(x0,0)在直线 l 上,所以-ym 0( ).2
m
m
y x x
而 0,my 于是 0 2.mx x
故点 P(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标都是 x0-2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,弦 AB 所在直线的方程是 ( )m my y k x x ,代入 2 4y x 中,
整理得 2 2 22[ ( ) 2] ( ) 0.m m m mk x k y kx x y kx (·)
则 1 2x x、 是方程(·)的两个实根,且
2
1 2 2
( ) .m my kxx x k
设点 P 的“相关弦”AB 的弦长为 l,则
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2( ) ( ) (1 )( )l x x y y k x x
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2
2
2
2
2 2 4 2
2 2 2 2 2 2
0 0
(1 )[( ) 4 ] 4(1 )( )
2( )44(1 )[ ]4
(4 )(4 ) 4 ( 1) 16
4( 1) [ 2( 1)] 4( 1) [ 2( 3)] .
m
m m
m
m
m
m
m m m m m m m
m m m m
k x x x x k x x x
y xyxy
y
y x y y y x x
x y x x y x
因为 0< 2
my <4xm=4(xm-2) =4x0-8,于是设 t= 2
my ,则 t(0,4x0-8).
记 l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]2+4(x0-1)2.
若 x0>3,则 2(x0-3) (0, 4x0-8),所以当 t=2(x0-3),即 2
my =2(x0-3)时,
l 有最大值 2(x0-1).
若 23 时,点 P(x0,0)的“相关弦”的弦长中存在最大值,且最大值为 2
(x0-1);当 2< x0 3 时,点 P(x0,0)的“相关弦”的弦长中不存在最大值.
21.(本小题满分 13 分)
已知函数 f(x)=ln2(1+x)-
2
1
x
x .
(I)求函数 f(x) 的单调区间;
(Ⅱ)若不等式 1(1 )a a en
对任意的 N*n 都成立(其中 e 是自然对数的底数).
求 的最大值.
解 (Ⅰ)函数 f(x)的定义域是 ( 1, ) ,
2 2
2 2
2ln(1 ) 2 2(1 )ln(1 ) 2( ) .1 (1 ) (1 )
x x x x x x xf x x x x
′
设 2( ) 2(1 )ln(1 ) 2 ,g x x x x x 则 ( ) 2ln(1 ) 2 .g x x x ′
令 ( ) 2ln(1 ) 2 ,h x x x 则 2 2( ) 2 .1 1
xh x x x
′
当 1 0x 时, ( ) 0, ( )h x h x′ 在(-1,0)上为增函数,
当 x>0 时, ( ) 0, ( )h x h x′ 在 (0, ) 上为减函数.
所以 h(x)在 x=0 处取得极大值,而 h(0)=0,所以 ( ) 0( 0)g x x ′ ,函数 g(x)在 ( 1, ) 上为
减函数.
于是当 1 0x 时, ( ) (0) 0,g x g
当 x>0 时, ( ) (0) 0.g x g
所以,当 1 0x 时, ( ) 0, ( )f x f x′ 在(-1,0)上为增函数.
当 x>0 时, ( ) 0, ( )f x f x′ 在 (0, ) 上为减函数.
故函数 f(x)的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为 (0, ) .
(Ⅱ)不等式 1(1 )n a en
等价于不等式 1( )ln(1 ) 1.n a n
由 11 1n
知,
1 .1ln(1 )
a n
n
设 1 1( ) , 0,1 ,ln(1 )G x xx x
则
2 2
2 2 2 2
1 1 (1 )ln (1 )( ) .(1 )ln (1 ) (1 )ln (1 )
x x xG x x x x x x x
′
由(Ⅰ)知,
2
2ln (1 ) 0,1
xx x
即 2 2(1 )ln (1 ) 0.x x x
所以 ( ) 0, 0,1 ,G x x ′ 于是 G(x)在 0,1 上为减函数.
故函数 G(x)在 0,1 上的最小值为 1(1) 1.ln 2G
所以 a 的最大值为 1 1.ln 2
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