【数学】宁夏银川二中2019-2020学年高一下学期期末考试试题（解析版） 13页

宁夏银川二中2019-2020学年高一下学期期末考试试题 一.选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，每题有且只有一个正确选项，请将正确选项涂在答题卡上）‎ ‎1. 分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系不可能是（ ）‎ A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 垂直 ‎【答案】B ‎【解析】因为两个平面平行，所以两个平面没有公共点，‎ 所以分别在两个平行平面内的两条直线没有公共点，不可能相交，故正确，‎ 又分别在两个平行平面内的两条直线可能平行、异面和垂直.‎ 故选：B.‎ ‎2. 如图，四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则　　‎ A. B. C. D. 以上均有可能 ‎【答案】B ‎【解析】四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，‎ 平面，平面平面，‎ 由直线与平面平行性质定理可得：．‎ 故选：B．‎ ‎3. 经过两点、的直线与经过点且斜率为的直线的位置关系为（ ）‎ A. 平行 B. 垂直 C. 重合 D. 无法确定 ‎【答案】A ‎【解析】直线的斜率为，直线的斜率为，‎ 所以，点不在直线上，因此，.‎ 故选：A.‎ ‎4. 若直线经过点且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有（ ）‎ A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 ‎【答案】B ‎【解析】若直线过原点，设直线方程为，因为该直线过点，所以，因此满足题意；‎ 若直线不过原点，因为直线在两坐标轴上的截距相等，设该直线方程为，‎ 又该直线过点，所以，因此满足题意；‎ 故满足条件的直线共2条.‎ 故选：B.‎ ‎5. 圆的圆心到直线的距离为1，则（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由配方得，所以圆心为，‎ 因为圆的圆心到直线的距离为1，‎ 所以，解得，故选A.‎ ‎6. 若为实数，则下列命题错误的是( )‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若,，则 ‎【答案】B ‎【解析】对于A，若，则，，即，故正确；‎ 对于B，根据不等式的性质，若，不妨取，‎ 则，故题中结论错误；‎ 对于C，若，则，即，故正确；‎ 对于D，若,，则，故，，故正确.‎ 故选B.‎ ‎7. 如果关于的不等式的解集是，那么等于（ ）‎ A. -81 B. ‎81 ‎C. -64 D. 64‎ ‎【答案】B ‎【解析】不等式可化为，‎ 其解集是，那么，由根与系数的关系得，‎ 解得，，故选B.‎ ‎8. 如图中,分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有（ ）‎ A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ②③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，可知题图①中，，因此直线与共面；‎ 题图②中，三点共面，但平面，因此直线与异面；‎ 题图③中，连接，则，因此直线与共面；‎ 题图④中，连接，三点共面，但平面，‎ 所以直线与异面.‎ 故选C.‎ ‎9. 如图，一个关于的二元一次不等式组表示的平面区域是及其内部的点组成的集合，则目标函数的最大值为（ ）‎ A. 2 B. C. 7 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为目标函数可化为，‎ 所以表示直线在轴截距的三倍，‎ 由图象可得，当直线过点时，在轴的截距最大，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎10. 已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得，‎ 因此圆心为，半径为，‎ 当且仅当时，半径最小，则面积也最小；此时圆心为，半径为，‎ 因此圆心到坐标原点的距离为，‎ 即原点在圆外，‎ 根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为.‎ 故选：D.‎ ‎11. 已知直线：是圆的对称轴.过点 作圆的一条切线，切点为，则（ ）‎ A. 2 B. C. 6 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】直线l过圆心，所以，所以切线长，选C.‎ ‎12. 已知函数，，，则的最小值等于（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为函数，，,所以 所以，即，‎ 当且仅当，即时等号成立 所以的最下值为 故答案选D 二，填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填在答题纸的相应位置上）‎ ‎13. 若圆与直线相交于两点，则线段的长为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，‎ 即圆心坐标为，半径为，‎ 则圆心到直线的距离为，‎ 所以弦长.‎ 故答案为：.‎ ‎14. 已知直线的倾斜角为，直线经过点，，且，直线与直线平行，则等于________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为直线与直线平行，‎ 所以,因此 故答案为：‎ ‎15. 若直线垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆周上异于的一点，有下列关系：‎ ‎① ②平面 ③ ④，‎ 其中正确的是___________.‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】因为为以为直径的圆上异于的一点，所以，‎ 因为直线垂直于以为直径的圆所在的平面，所以平面，‎ 因此；即①正确；‎ 又，且平面，‎ 所以平面；即②正确；‎ 又平面，所以；即④正确；‎ 因为平面，所以，‎ 即是以为直角的直角三角形，所以与不垂直；‎ 若，根据，，平面，可得平面，则，这与“，不垂直”矛盾，故，不垂直；即③错.‎ 故答案为：①②④.‎ ‎16. 已知圆，直线，若直线上存在点，过点引圆的两条切线，，使得，则直线斜率的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示，过点引圆的两条切线，，切点分别为，，且，‎ 则，‎ 因为圆的圆心为，半径为，所以，‎ 设，则点满足，即，‎ 为使直线上存在点，只需直线与圆有交点即可，‎ 因此只需圆心到直线的距离小于等于半径，‎ 即，即，整理得，解得.‎ 故答案为：.‎ 三．解答题（本大题共6小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置）.‎ ‎17. 若不等式的解集是，求不等式的解集．‎ ‎【解】由已知条件可知，且方程的两根为，；‎ 由根与系数的关系得解得．‎ 所以原不等式化为解得 所以不等式解集为 ‎18. 在中，已知，，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：‎ 顶点C的坐标； ‎ 直线MN的方程．‎ ‎【解】（1）设点C（x，y），∵边AC的中点M在y轴上得=0，‎ ‎∵边BC的中点N在x轴上得=0，解得x=﹣5，y=﹣3．‎ 故所求点C的坐标是（﹣5，﹣3）．‎ ‎（2）点M的坐标是（0，﹣），点N的坐标是（1，0），‎ 直线MN的方程是=，即5x﹣2y﹣5=0．‎ ‎19. 如图，在四棱锥中，侧棱底面，四边形是直角梯形，，，且，，是棱的中点.‎ ‎（1）求证：平面 ；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【解】（1）如下图所示，取的中点，连接、，‎ ‎、分别为、的中点，且，‎ 由已知条件可知且，且，‎ 四边形为平行四边形，，‎ 平面，平面，平面；‎ ‎（2）如下图所示，取的中点，连接、、，‎ ‎、分别为、的中点，且，‎ 平面，平面，‎ ‎，，，的面积为，‎ 因此，三棱锥的体积为.‎ ‎20. 如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°．‎ ‎（Ⅰ）求证：AD⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．‎ ‎【解】（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，‎ 可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．‎ ‎（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．‎ 所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．‎ 在Rt△DAM中，AM=1，故DM=．‎ 因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．‎ 在Rt△DAN中，AN=1，故DN=．‎ 在等腰三角形DMN中，MN=1，可得．‎ 所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为．‎ ‎（Ⅲ）连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=．‎ 又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．‎ 所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．‎ 在Rt△CAD中，CD==4．‎ 在Rt△CMD中，．‎ 所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．‎ ‎21. 近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为‎5G ‎，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且 ‎ ‎，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.‎ ‎（）求出2020年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；‎ ‎2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？‎ ‎【解】（Ⅰ）当时，；‎ 当时，，‎ ‎ .‎ ‎（Ⅱ）若，，‎ 当时，万元 .‎ 若，，‎ 当且仅当时，即时，万元 .‎ ‎2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.‎ ‎22. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴的交点都在圆上.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）若圆与直线交于、两点，且以线段为直径的圆经过原点，求实数的值.‎ ‎【解】（1）曲线与轴的交点坐标为，‎ 解方程，解得，‎ 则曲线与轴的交点为、，‎ 设圆心为，则，解得，‎ 所以，圆的半径为，‎ 因此，圆的方程为；‎ ‎（2）设点、，‎ 联立，消去可得，‎ ‎，‎ 由韦达定理可得，，‎ 由于圆不经过原点，当时，、、三点共线，‎ 此时，以为直径的圆不经过原点.‎ 所以，，由于以为直径的圆经过原点，则，‎ 则，整理得，‎ 即，‎ 解得，此时，‎ 综上所述，.‎