人教新课标A版数学高三高考卷 17届 海南高考数学卷（文科）（全国新课标ⅱ） 54页

2017 年海南高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅱ） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5 分）设集合 A={1，2，3}，B={2，3，4}，则 A∪B=（ ） A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{2，3，4} D．{1，3，4} 2．（5 分）（1+i）（2+i）=（ ） A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i 3．（5 分）函数 f（x）=sin（2x+ ）的最小正周期为（ ） A．4π B．2π C．π D． 4．（5 分）设非零向量 ， 满足| + |=| ﹣ |则（ ） A． ⊥ B．| |=| | C． ∥ D．| |＞| | 5．（5 分）若 a＞1，则双曲线 ﹣y2=1 的离心率的取值范围是（ ） A．（ ，+∞） B．（ ，2） C．（1， ） D．（1，2） 6．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三 视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 （ ） A．90π B．63π C．42π D．36π 7．（5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最小值是（ ） A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9 8．（5 分）函数 f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（ ） A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（4，+∞） 9．（5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说， 你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成 绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息， 则（ ） A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可能知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 10．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 a=﹣1，则输出的 S=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．（5 分）从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再 随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 （ ） A． B． C． D． 12．（5 分）过抛物线 C：y2=4x 的焦点 F，且斜率为 的直线交 C 于点 M（M 在 x 轴上方），l 为 C 的准线，点 N 在 l 上，且 MN⊥l，则 M 到直线 NF 的距离为 （ ） A． B．2 C．2 D．3 二、填空题，本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13．（5 分）函数 f（x）=2cosx+sinx 的最大值为 ． 14．（5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x ∈ （﹣∞，0）时，f（x） =2x3+x2，则 f（2）= ． 15．（5 分）长方体的长、宽、高分别为 3，2，1，其顶点都在球 O 的球面上， 则球 O 的表面积为 ． 16．（5 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcosB=acosC+ccosA， 则 B= ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第 17 至 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要 求作答．（一）必考题：共 60 分． 17．（12 分）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn， a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2． （1）若 a3+b3=5，求{bn}的通项公式； （2）若 T3=21，求 S3． 18．（12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°． （1）证明：直线 BC∥平面 PAD； （2）若△PCD 面积为 2 ，求四棱锥 P﹣ABCD 的体积． 19．（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获 时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布 直方图如下： （1）记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg”，估计 A 的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖 方法有关： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较． 附： P（K2≥K） 0.050 0.010 0.001 K 3.841 6.635 10.828 K2= ． 20．（12 分）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： +y2=1 上，过 M 作 x 轴的 垂线，垂足为 N，点 P 满足 = ． （1）求点 P 的轨迹方程； （2）设点 Q 在直线 x=﹣3 上，且 • =1．证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F． 21．（12 分）设函数 f（x）=（1﹣x2）ex． （1）讨论 f（x）的单调性； （2）当 x≥0 时，f（x）≤ax+1，求 a 的取值范围． 选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所 做的第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为ρcosθ=4． （1）M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|•|OP|=16，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程； （2）设点 A 的极坐标为（2， ），点 B 在曲线 C2 上，求△OAB 面积的最大值． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知 a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明： （1）（a+b）（a5+b5）≥4； （2）a+b≤2． 2017 年海南高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅱ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）设集合 A={1，2，3}，B={2，3，4}，则 A∪B= （ ） A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{2，3，4} D．{1，3，4} 【考点】1D：并集及其运算．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；49 ：综合法． 【分析】集合 A={1，2，3}，B={2，3，4}，求 A∪B，可并集的定义直接求出两 集合的并集． 【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，3，4}， ∴A∪B={1，2，3，4} 故选 A． 【点评】本题考查并集及其运算，解题的关系是正确理解并集的定义及求并集的 运算规则，是集合中的基本概念型题． 2．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）（1+i）（2+i）=（ ） A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．菁优网版 权所有 【专题】35 ：转化思想；5N ：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的运算法则即可得出． 【解答】解：原式=2﹣1+3i=1+3i． 故选：B． 【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）函数 f（x）=sin（2x+ ）的最小正周期为（ ） A．4π B．2π C．π D． 【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．菁优网版 权所有 【专题】38 ：对应思想；48 ：分析法；57 ：三角函数的图像与性质． 【分析】利用三角函数周期公式，直接求解即可． 【解答】解：函数 f（x）=sin（2x+ ）的最小正周期为： =π． 故选：C． 【点评】本题考查三角函数的周期的求法，是基础题． 4．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）设非零向量 ， 满足| + |=| ﹣ |则（ ） A． ⊥ B．| |=| | C． ∥ D．| |＞| | 【考点】93：向量的模．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；5A ：平面向量及应用． 【分析】由已知得 ，从而 =0，由此得到 ． 【解答】解：∵非零向量 ， 满足| + |=| ﹣ |， ∴ ， 解得 =0， ∴ ． 故选：A． 【点评】本题考查两个向量的关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意 向量的模的性质的合理运用． 5．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）若 a＞1，则双曲线 ﹣y2=1 的离心率的取值范围 是（ ） A．（ ，+∞） B．（ ，2） C．（1， ） D．（1，2） 【考点】KC：双曲线的简单性质．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用双曲线方程，求出 a，c 然后求解双曲线的离心率的范围即可． 【解答】解：a＞1，则双曲线 ﹣y2=1 的离心率为： = = ∈ （1， ）． 故选：C． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 6．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出 的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几 何体的体积为（ ） A．90π B．63π C．42π D．36π 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；44 ：数形结合法；5Q ：立体几何． 【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半， 即可求出几何体的体积． 【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的 一半， V=π•32×10﹣ •π•32×6=63π， 故选：B． 【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的 最小值是（ ） A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；35 ：转化思想；5T ：不等式． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值 即可． 【解答】解：x、y 满足约束条件 的可行域如图： z=2x+y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最小值， 由 解得 A（﹣6，﹣3）， 则 z=2x+y 的最小值是：﹣15． 故选：A． 【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力． 8．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）函数 f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是 （ ） A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（4，+∞） 【考点】3G：复合函数的单调性．菁优网版 权所有 【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用． 【分析】由 x2﹣2x﹣8＞0 得：x ∈ （﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），令 t=x2﹣2x﹣8， 则 y=lnt，结合复合函数单调性“同增异减”的原则，可得答案． 【解答】解：由 x2﹣2x﹣8＞0 得：x ∈ （﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）， 令 t=x2﹣2x﹣8，则 y=lnt， ∵x ∈ （﹣∞，﹣2）时，t=x2﹣2x﹣8 为减函数； x ∈ （4，+∞）时，t=x2﹣2x﹣8 为增函数； y=lnt 为增函数， 故函数 f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞）， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，对数函数的图象和性质，二次 数函数的图象和性质，难度中档． 9．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞 赛的成绩，老师说，你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的 成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的 成绩，根据以上信息，则（ ） A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可能知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版 权所有 【专题】2A ：探究型；35 ：转化思想；48 ：分析法；5M ：推理和证明． 【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正 确答案 【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话， 甲不知自己的成绩 →乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知 道自己的成绩） →乙看到了丙的成绩，知自己的成绩 →丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩， 故选：D． 【点评】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所 说及最后甲说话，属于中档题 10．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）执行如图的程序框图，如果输入的 a=﹣1，则输出 的 S=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】EF：程序框图．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；5K ：算法和程序框图． 【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S，K 值，当 k=7 时，程序终 止即可得到结论． 【解答】解：执行程序框图，有 S=0，K=1，a=﹣1，代入循环， 第一次满足循环，S=﹣1，a=1，K=2； 满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，K=3； 满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，K=4； 满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，K=5； 满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，K=6； 满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，K=7； 7≤6 不成立，退出循环输出，S=3； 故选：B． 【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础． 11．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽 取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上 的数的概率为（ ） A． B． C． D． 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；37 ：集合思想；4O：定义法；5I ：概率与统计． 【分析】先求出基本事件总数 n=5×5=25，再用列举法求出抽得的第一张卡片上 的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片 上的数大于第二张卡片上的数的概率． 【解答】解：从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再 随机抽取 1 张， 基本事件总数 n=5×5=25， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有： （2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5， 3），（5，4）， 共有 m=10 个基本事件， ∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率 p= = ． 故选：D． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合 理运用． 12．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）过抛物线 C：y2=4x 的焦点 F，且斜率为 的直线 交 C 于点 M（M 在 x 轴上方），l 为 C 的准线，点 N 在 l 上，且 MN⊥l，则 M 到 直线 NF 的距离为（ ） A． B．2 C．2 D．3 【考点】KN：直线与抛物线的位置关系；K8：抛物线的简单性质．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、 性质与方程． 【分析】利用已知条件求出 M 的坐标，求出 N 的坐标，利用点到直线的距离公 式求解即可． 【解答】解：抛物线 C：y2=4x 的焦点 F（1，0），且斜率为 的直线：y= （x ﹣1）， 过抛物线 C：y2=4x 的焦点 F，且斜率为 的直线交 C 于点 M（M 在 x 轴上方）， l 可知： ，解得 M（3，2 ）． 可得 N（﹣1，2 ），NF 的方程为：y=﹣ （x﹣1），即 ， 则 M 到直线 NF 的距离为： =2 ． 故选：C． 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力． 二、填空题，本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）函数 f（x）=2cosx+sinx 的最大值为 ． 【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；56 ：三角函数的求值；57 ：三角函数 的图像与性质． 【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可． 【解答】解：函数 f（x）=2cosx+sinx= （ cosx+ sinx）= sin（x+θ），其 中 tanθ=2， 可知函数的最大值为： ． 故答案为： ． 【点评】本题考查三角函数的化简求值，正弦函数的有界性的应用，考查计算能 力． 14．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x ∈ （﹣ ∞，0）时，f（x）=2x3+x2，则 f（2）= 12 ． 【考点】3P：抽象函数及其应用；3L：函数奇偶性的性质．菁优网版 权所有 【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用． 【分析】由已知中当 x ∈ （﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，先求出 f（﹣2），进而 根据奇函数的性质，可得答案． 【解答】解：∵当 x ∈ （﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2， ∴f（﹣2）=﹣12， 又∵函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数， ∴f（2）=12， 故答案为：12 【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度不大，属于基 础题． 15．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）长方体的长、宽、高分别为 3，2，1，其顶点都在 球 O 的球面上，则球 O 的表面积为 14π ． 【考点】LR：球内接多面体；LG：球的体积和表面积．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；5F ：空间位置关系与距离． 【分析】求出球的半径，然后求解球的表面积． 【解答】解：长方体的长、宽、高分别为 3，2，1，其顶点都在球 O 的球面上， 可知长方体的对角线的长就是球的直径， 所以球的半径为： = ． 则球 O 的表面积为：4× =14π． 故答案为：14π． 【点评】本题考查长方体的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算 能力． 16．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcosB=acosC+ccosA，则 B= ． 【考点】HP：正弦定理；GL：三角函数中的恒等变换应用．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；56 ：三角函数的求值； 58 ：解三角形． 【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式计算即可 【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得， 2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB， ∵sinB≠0， ∴cosB= ， ∵0＜B＜π， ∴B= ， 故答案为： 【点评】本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，属于基础题 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第 17 至 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要 求作答．（一）必考题：共 60 分． 17．（12 分）（2017•新课标Ⅱ）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，等比数列{bn} 的前 n 项和为 Tn，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2． （1）若 a3+b3=5，求{bn}的通项公式； （2）若 T3=21，求 S3． 【考点】8M：等差数列与等比数列的综合；8E：数列的求和．菁优网版 权所有 【专题】34 ：方程思想；48 ：分析法；54 ：等差数列与等比数列． 【分析】（1）设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q，运用等差 数列和等比数列的通项公式，列方程解方程可得 d，q，即可得到所求通项公式； （2）运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，再由等差数列的通项公式和 求和，计算即可得到所求和． 【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q， a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5， 可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5， 解得 d=1，q=2 或 d=3，q=0（舍去）， 则{bn}的通项公式为 bn=2n﹣1，n ∈ N*； （2）b1=1，T3=21， 可得 1+q+q2=21， 解得 q=4 或﹣5， 当 q=4 时，b2=4，a2=2﹣4=﹣2， d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6； 当 q=﹣5 时，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7， d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21． 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，求出公差 和公比是解题的关键，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于基础题． 18．（12 分）（2017•新课标Ⅱ）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，侧面 PAD 为等边三 角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°． （1）证明：直线 BC∥平面 PAD； （2）若△PCD 面积为 2 ，求四棱锥 P﹣ABCD 的体积． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5F ：空间位置关系与距 离． 【分析】（1）利用直线与平面平行的判定定理证明即可． （2）利用已知条件转化求解几何体的线段长，然后求解几何体的体积即可． 【解答】（1）证明：四棱锥 P﹣ABCD 中，∵∠BAD=∠ABC=90°．∴BC∥AD，∵ AD ⊂ 平面 PAD，BC ⊄ 平面 PAD， ∴直线 BC∥平面 PAD； （2）解：四棱锥 P﹣ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD， AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°．设 AD=2x， 则 AB=BC=x，CD= ，O 是 AD 的中点， 连接 PO，OC，CD 的中点为：E，连接 OE， 则 OE= ，PO= ，PE= = ， △PCD 面积为 2 ，可得： =2 ， 即： ，解得 x=2，PE=2 ． 则 V P﹣ABCD= × （BC+AD）×AB×PO= =4 ． 【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考 查空间想象能力以及计算能力． 19．（12 分）（2017•新课标Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法 的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位： kg），其频率分布直方图如下： （1）记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg”，估计 A 的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖 方法有关： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较． 附： P（K2≥K） 0.050 0.010 0.001 K 3.841 6.635 10.828 K2= ． 【考点】BO：独立性检验的应用；B8：频率分布直方图；BL：独立性检验．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；48 ：分析法；5I ：概率与统计． 【分析】（1）根据题意，由旧养殖法的频率分布直方图计算可得答案； （ 2 ） 由 频 率 分 布 直 方 图 可 以 将 列 联 表 补 全 ， 进 而 计 算 可 得 K2= ≈15.705＞6.635，与附表比较即可得答案； （3）由频率分布直方图计算新旧养殖法产量的平均数，比较即可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，由旧养殖法的频率分布直方图可得： P（A）=（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62； （2）根据题意，补全列联表可得： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 总计 旧养殖法 62 38 100 新养殖法 34 66 100 总计 96 104 200 则有 K2= ≈15.705＞6.635， 故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关； （3）由频率分布直方图可得： 旧养殖 法 100 个 网 箱 产 量 的 平 均 数 1= （ 27.5 × 0.012+32.5 × 0.014+37.5× 0.024+42.5×0.034+47.5×0.040+52.5×0.032+57.5×0.032+62.5×0.012+67.5× 0.012）×5=5×9.42=47.1； 新养殖 法 100 个 网 箱 产 量 的 平 均 数 2= （ 37.5 × 0.004+42.5 × 0.020+47.5× 0.044+52.5×0.054+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008）×5=5×10.47=52.35； 比较可得： 1＜ 2， 故新养殖法更加优于旧养殖法． 【点评】本题考查频率分布直方图、独立性检验的应用，涉及数据平均数、方差 的计算，关键认真分析频率分布直方图． 20．（12 分）（2017•新课标Ⅱ）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： +y2=1 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 = ． （1）求点 P 的轨迹方程； （2）设点 Q 在直线 x=﹣3 上，且 • =1．证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F． 【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；J3：轨迹方程．菁优网版 权所有 【专题】34 ：方程思想；48 ：分析法；5A ：平面向量及应用；5B ：直线与 圆． 【分析】（1）设 M（x0，y0），由题意可得 N（x0，0），设 P（x，y），运用向量的 坐标运算，结合 M 满足椭圆方程，化简整理可得 P 的轨迹方程； （2）设 Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积 的坐标表示，可得 m，即有 Q 的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得 OQ，PF 的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证． 【解答】解：（1）设 M（x0，y0），由题意可得 N（x0，0）， 设 P（x，y），由点 P 满足 = ． 可得（x﹣x0，y）= （0，y0）， 可得 x﹣x0=0，y= y0， 即有 x0=x，y0= ， 代入椭圆方程 +y2=1，可得 + =1， 即有点 P 的轨迹方程为圆 x2+y2=2； （2）证明：设 Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π）， • =1，可得（ cosα， sinα）•（﹣3﹣ cosα，m﹣ sinα）=1， 即为﹣3 cosα﹣2cos2α+ msinα﹣2sin2α=1， 解得 m= ， 即有 Q（﹣3， ）， 椭圆 +y2=1 的左焦点 F（﹣1，0）， 由 kOQ=﹣ ， kPF= ， 由 kOQ•kPF=﹣1， 可得过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F． 【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考 查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示和两直 线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 21．（12 分）（2017•新课标Ⅱ）设函数 f（x）=（1﹣x2）ex． （1）讨论 f（x）的单调性； （2）当 x≥0 时，f（x）≤ax+1，求 a 的取值范围． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；53 ：导数的综合应用． 【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单 调性即可． （2）化简 f（x）=（1﹣x）（1+x）ex．f（x）≤ax+1，下面对 a 的范围进行讨论： ①当 a≥1 时，②当 0＜a＜1 时，设函数 g（x）=ex﹣x﹣1，则 g′（x）=ex﹣1＞0 （x＞0），推出结论；③当 a≤0 时，推出结果，然后得到 a 的取值范围． 【解答】解：（1）因为 f（x）=（1﹣x2）ex，x ∈ R， 所以 f′（x）=（1﹣2x﹣x2）ex， 令 f′（x）=0 可知 x=﹣1± ， 当 x＜﹣1﹣ 或 x＞﹣1+ 时 f′（x）＜0，当﹣1﹣ ＜x＜﹣1+ 时 f′（x）＞ 0， 所以 f（x）在（﹣∞，﹣1﹣ ），（﹣1+ ，+∞）上单调递减，在（﹣1﹣ ， ﹣1+ ）上单调递增； （2）由题可知 f（x）=（1﹣x）（1+x）ex．下面对 a 的范围进行讨论： ①当 a≥1 时，设函数 h（x）=（1﹣x）ex，则 h′（x）=﹣xex＜0（x＞0）， 因此 h（x）在[0，+∞）上单调递减， 又因为 h（0）=1，所以 h（x）≤1， 所以 f（x）=（1﹣x）h（x）≤x+1≤ax+1； ②当 0＜a＜1 时，设函数 g（x）=ex﹣x﹣1，则 g′（x）=ex﹣1＞0（x＞0）， 所以 g（x）在[0，+∞）上单调递增， 又 g（0）=1﹣0﹣1=0， 所以 ex≥x+1． 因为当 0＜x＜1 时 f（x）＞（1﹣x）（1+x）2， 所以（1﹣x）（1+x）2﹣ax﹣1=x（1﹣a﹣x﹣x2）， 取 x0= ∈ （0，1），则（1﹣x0）（1+x0）2﹣ax0﹣1=0， 所以 f（x0）＞ax0+1，矛盾； ③当 a≤0 时，取 x0= ∈ （0，1），则 f（x0）＞（1﹣x0）（1+x0）2=1≥ax0+1， 矛盾； 综上所述，a 的取值范围是[1，+∞）． 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考 查转化思想以及计算能力． 选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所 做的第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．（10 分）（2017•新课标Ⅱ）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为ρcosθ=4． （1）M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|•|OP|=16，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程； （2）设点 A 的极坐标为（2， ），点 B 在曲线 C2 上，求△OAB 面积的最大值． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版 权所有 【专题】38 ：对应思想；49 ：综合法；5S ：坐标系和参数方程． 【分析】（1）设 P（x，y），利用相似得出 M 点坐标，根据|OM|•|OP|=16 列方 程化简即可； （2）求出曲线 C2 的圆心和半径，得出 B 到 OA 的最大距离，即可得出最大面积． 【解答】解：（1）曲线 C1 的直角坐标方程为：x=4， 设 P（x，y），M（4，y0），则 ，∴y0= ， ∵|OM||OP|=16， ∴ =16， 即（x2+y2）（1+ ）=16， ∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2， 两边开方得：x2+y2=4x， 整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）， ∴点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）． （2）点 A 的直角坐标为 A（1， ），显然点 A 在曲线 C2 上，|OA|=2， ∴曲线 C2 的圆心（2，0）到弦 OA 的距离 d= = ， ∴△AOB 的最大面积 S= |OA|•（2+ ）=2+ ． 【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直线 与圆的位置关系，属于中档题． [选修 4-5：不等式选讲] 23．（2017•新课标Ⅱ）已知 a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明： （1）（a+b）（a5+b5）≥4； （2）a+b≤2． 【考点】R6：不等式的证明．菁优网版 权所有 【专题】14 ：证明题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5T ：不等式． 【分析】（1）由柯西不等式即可证明， （2）由 a3+b3=2 转化为 =ab，再由均值不等式可得： =ab≤ （ ）2，即可得到 （a+b）3≤2，问题得以证明． 【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（ + ）2= （a3+b3）2≥4， 当且仅当 = ，即 a=b=1 时取等号， （2）∵a3+b3=2， ∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2， ∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2， ∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2， ∴ =ab， 由均值不等式可得： =ab≤（ ）2， ∴（a+b）3﹣2≤ ， ∴ （a+b）3≤2， ∴a+b≤2，当且仅当 a=b=1 时等号成立． 【点评】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于 中档题 参与本试卷答题和审题的老师有：xintrl；沂蒙松；qiss；zlzhan；whgcn；豫汝王 世崇；双曲线；danbo7801；zhczcb（排名不分先后） 菁优网 2017 年 8 月 1 日 考点卡片 1．并集及其运算 【知识点的认识】 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素的组成的集合叫做 A 与 B 的并集，记作 A ∪B． 符号语言：A∪B={x|x ∈ A 或 x ∈ B}． 图形语言： ． A∪B 实际理解为：①x 仅是 A 中元素；②x 仅是 B 中的元素；③x 是 A 且是 B 中 的元素． 运算形状： ①A∪B=B∪A．②A∪ ∅ =A．③A∪A=A．④A∪B ⊇ A，A∪B ⊇ B．⑤A∪B=B ⇔ A ⊆ B．⑥ A∪B= ∅ ，两个集合都是空集．⑦A∪（CUA）=U．⑧CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）． 【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能 把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复． 【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填 空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题． 2．复合函数的单调性 【知识点的认识】 所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考 虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的 为主． 【解题方法点拨】 求复合函数 y=f（g（x））的单调区间的步骤： （1）确定定义域； （2）将复合函数分解成两个基本初等函数； （3）分别确定两基本初等函数的单调性； （4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间． 【命题方向】 理解复合函数的概念，会求复合函数的区间并判断函数的单调性． 3．函数奇偶性的性质 【知识点的认识】 ①如果函数 f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个 x，都有 f（﹣x） =﹣f（x），那么函数 f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．② 如果函数 f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个 x，都有 f（﹣x） =f（x），那么函数 f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于 y 轴对称． 【解题方法点拨】 ①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用 f（0）=0 解相关的未知量； ②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用 f（x）=﹣f（﹣x）解相关参数； ③偶函数：在定义域内一般是用 f（x）=f（﹣x）这个去求解； ④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相 反． 例题：函数 y=x|x|+px，x ∈ R 是（ ） A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与 p 有关 解：由题设知 f（x）的定义域为 R，关于原点对称． 因为 f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣px=﹣x|x|﹣px=﹣f（x）， 所以 f（x）是奇函数． 故选 B． 【命题方向】函数奇偶性的应用． 本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其 图象一起分析，确保答题的正确率． 4．抽象函数及其应用 【知识点的认识】 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征 的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内 容的难点之一． 【解题方法点拨】 ①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如 f（x+y）=f（x）+f（y）， 它的原型就是 y=kx； ②可通过赋特殊值法使问题得以解决 例：f（xy）=f（x）+f（y），求证 f（1）=f（﹣1）=0 令 x=y=1，则 f（1）=2f（1） ⇒ f（1）=0 令 x=y=﹣1，同理可推出 f（﹣1）=0 ③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性； 【命题方向】抽象函数及其应用． 抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到 的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视． 5．利用导数研究函数的单调性 【知识点的知识】 1、导数和函数的单调性的关系： （1）若 f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则 f（x）在（a，b）上是增函数，f′ （x）＞0 的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若 f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则 f（x）在（a，b）上是减函数，f′ （x）＜0 的解集与定义域的交集的对应区间为减区间． 2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤： （1）确定 f（x）的定义域； （2）计算导数 f′（x）； （3）求出 f′（x）=0 的根； （4）用 f′（x）=0 的根将 f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区 间内 f′（x）的符号，进而确定 f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则 f（x）在对应 区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则 f（x）在对应区间上是减 函数，对应区间为减区间． 【典型例题分析】 题型一：导数和函数单调性的关系 典例 1：已知函数 f（x）的定义域为 R，f（﹣1）=2，对任意 x ∈ R，f′（x）＞2， 则 f（x）＞2x+4 的解集为（ ） A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞） 解：设 g（x）=f（x）﹣2x﹣4， 则 g′（x）=f′（x）﹣2， ∵对任意 x ∈ R，f′（x）＞2， ∴对任意 x ∈ R，g′（x）＞0， 即函数 g（x）单调递增， ∵f（﹣1）=2， ∴g（﹣1）=f（﹣1）+2﹣4=4﹣4=0， 则由 g（x）＞g（﹣1）=0 得 x＞﹣1， 即 f（x）＞2x+4 的解集为（﹣1，+∞）， 故选：B 题型二：导数很函数单调性的综合应用 典例 2：已知函数 f（x）=alnx﹣ax﹣3（a ∈ R）． （Ⅰ）求函数 f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数 y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为 45°，对于 任意的 t ∈ [1，2]，函数 在区间（t，3）上总不是单调 函数，求 m 的取值范围； （Ⅲ）求证： ． 解：（Ⅰ） （2 分） 当 a＞0 时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）； 当 a＜0 时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]； 当 a=0 时，f（x）不是单调函数（4 分） （Ⅱ） 得 a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3 ∴ ， ∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2（6 分） ∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且 g′（0）=﹣2 ∴ 由题意知：对于任意的 t ∈ [1，2]，g′（t）＜0 恒成立， 所以有： ，∴ （10 分） （Ⅲ）令 a=﹣1 此时 f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以 f（1）=﹣2， 由（Ⅰ）知 f（x）=﹣lnx+x﹣3 在（1，+∞）上单调递增， ∴当 x ∈ （1，+∞）时 f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0， ∴lnx＜x﹣1 对一切 x ∈ （1，+∞）成立，（12 分） ∵n≥2，n ∈ N*，则有 0＜lnn＜n﹣1， ∴ ∴ 【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使 f′（x）=0，在其余的点恒有 f′（x）＞0，则 f（x） 仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内 f′（x）＞0 是 f（x）在此区 间上为增函数的充分条件，而不是必要条件． 6．简单线性规划 【概念】 线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问 题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的 线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三 个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者 是斜率的最值． 【例题解析】 例：若目标函数 z=x+y 中变量 x，y 满足约束条件 ． （1）试确定可行域的面积； （2）求出该线性规划问题中所有的最优解． 解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形 ABC， 其中 B（4，3），A（2，3），C（4，2）， 则可行域的面积 S= = ． （2）由 z=x+y，得 y=﹣x+z，则平移直线 y=﹣x+z， 则由图象可知当直线经过点 A（2，3）时，直线 y=﹣x+z 得截距最小， 此时 z 最小为 z=2+3=5， 当直线经过点 B（4，3）时，直线 y=﹣x+z 得截距最大， 此时 z 最大为 z=4+3=7， 故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3） 这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条 直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通 过目标函数的平移去找到它的最值． 【考点预测】 线性规划在实际中应用广泛，因此具有很高的实用价值，所以也成为了高考 的一个热点．大家在备考的时候，需要学会准确的画出可行域，然后会平移目标 曲线． 7．数列的求和 【知识点的知识】 就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、 等差等比数列等等，常用的方法包括： （1）公式法： ①等差数列前 n 项和公式：Sn=na1+ n（n﹣1）d 或 Sn= ②等比数列前 n 项和公式： ③几个常用数列的求和公式： （2）错位相减法： 适用于求数列{an×bn}的前 n 项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列． （3）裂项相消法： 适用于求数列{ }的前 n 项和，其中{an}为各项不为 0 的等差数列，即 = （ ）． （4）倒序相加法： 推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列 （反序），再把它与原数列相加，就可以得到 n 个（a1+an）． （5）分组求和法： 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开， 可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可． 【典型例题分析】 典例 1：已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前 n 项和为 Sn． （Ⅰ）求 an 及 Sn； （Ⅱ）令 bn= （n ∈ N*），求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 分 析 ： 形 如 的 求 和 ， 可 使 用 裂 项 相 消 法 如 ： ． 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为 d， ∵a3=7，a5+a7=26， ∴ ，解得 a1=3，d=2， ∴an=3+2（n﹣1）=2n+1； Sn= =n2+2n． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 an=2n+1， ∴bn= = = = ， ∴Tn= = = ， 即数列{bn}的前 n 项和 Tn= ． 点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的 方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求 和． 【解题方法点拨】 数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便 是放缩也要往这里面考． 8．等差数列与等比数列的综合 【知识点的知识】 1、等差数列的性质 （1）若公差 d＞0，则为递增等差数列；若公差 d＜0，则为递减等差数列；若公 差 d=0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项 之和； （3）m，n ∈ N+，则 am=an+（m﹣n）d； （4）若 s，t，p，q ∈ N*，且 s+t=p+q，则 as+at=ap+aq，其中 as，at，ap，aq 是数 列中的项，特别地，当 s+t=2p 时，有 as+at=2ap； （5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中 m， k 均为常数． （6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1 仍为等差数列，公差为﹣d． （7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的 前后两项的等差中项，即 2an+1=an+an+2， 2an=an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m ∈ N+） （8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为 kd（首项不一定选 a1）． 2、等比数列的性质． （1）通项公式的推广：an=am•qn﹣m，（n，m ∈ N*）． （2）若{an}为等比数列，且 k+l=m+n，（k，l，m，n ∈ N*），则 ak•al=am•an （3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}， 仍是等比数列． （4）单调性： 或 ⇔ {an}是递增数列； 或 ⇔ {an} 是递减数列；q=1 ⇔ {an}是常数列；q＜0 ⇔ {an}是摆动数列． 9．向量的模 【知识点的知识】 1、向量的模： 的大小，也就是 的长度（或称模），记作| |． 2、零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作 ，零向量的长度为 0，方向不确 定． 3、单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 （与 共线的单位向 量是 ）． 4、相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性． 10．复数代数形式的乘除运算 【知识点的知识】 1、复数的加、减、乘、除运算法则 2、复数加法、乘法的运算律 11．频率分布直方图 【知识点的认识】 1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组 距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由 此画成的统计图叫做频率分布直方图． 2．频率分布直方图的特征 ①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为 1． ②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势． ③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具 体数据信息被抹掉． 3．频率分布直方图求数据 ①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标． ②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和． ③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于 y 轴的直线横坐 标． 【解题方法点拨】 绘制频率分布直方图的步骤： 12．独立性检验 【知识点的知识】 1、分类变量： 如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类 变量． 2、原理：假设性检验（类似反证法原理）． 一般情况下：假设分类变量 X 和 Y 之间没有关系，通过计算 K2 值，然后查表对 照相应的概率 P，发现这种假设正确的概率 P 很小，从而推翻假设，最后得出 X 和 Y 之间有关系的可能性为（1﹣P），也就是“X 和 Y 有关系”．（表中的 k 就是 K2 的观测值，即 k=K2）． 其中 n=a+b+c+d（考试给出） 3、2×2 列联表： 4、范围：K2 ∈ （0，+∞）；性质：K2 越大，说明变量间越有关系． 5、解题步骤： （1）认真读题，取出相关数据，作出 2×2 列联表； （2）根据 2×2 列联表中的数据，计算 K2 的观测值 k； （3）通过观测值 k 与临界值 k0 比较，得出事件有关的可能性大小． 13．独立性检验的应用 【知识点的知识】 1、分类变量： 如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类 变量． 2、原理：假设性检验（类似反证法原理）． 一般情况下：假设分类变量 X 和 Y 之间没有关系，通过计算 K2 值，然后查表对 照相应的概率 P，发现这种假设正确的概率 P 很小，从而推翻假设，最后得出 X 和 Y 之间有关系的可能性为（1﹣P），也就是“X 和 Y 有关系”．（表中的 k 就是 K2 的观测值，即 k=K2）． 其中 n=a+b+c+d（考试给出） 3、2×2 列联表： 4、范围：K2 ∈ （0，+∞）；性质：K2 越大，说明变量间越有关系． 5、解题步骤： （1）认真读题，取出相关数据，作出 2×2 列联表； （2）根据 2×2 列联表中的数据，计算 K2 的观测值 k； （3）通过观测值 k 与临界值 k0 比较，得出事件有关的可能性大小． 14．古典概型及其概率计算公式 【考点归纳】 1．定义：如果一个试验具有下列特征： （1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个； （2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的． 则称这种随机试验的概率模型为古典概型． *古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特 征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中 可能出现的结果进行分析和计算即可． 2．古典概率的计算公式 如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那 么每一个基本事件的概率都是 ； 如 果 某 个 事 件 A 包 含 的 结 果 有 m 个 ， 那 么 事 件 A 的 概 率 为 P （ A ） = = ． 【解题技巧】 1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数 n 与事件 A 中 所包含的基本事件数． 因此要注意清楚以下三个方面： （1）本试验是否具有等可能性； （2）本试验的基本事件有多少个； （3）事件 A 是什么． 2．解题实现步骤： （1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意； （2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件 A； （3）分别求出基本事件的个数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m； （4）利用公式 P（A）= 求出事件 A 的概率． 3．解题方法技巧： （1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率 （2）利用分析法求解古典概型． 15．程序框图 【知识点的知识】 1．程序框图 （1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及 文字说明来准确、直观地表示算法的图形； （2）构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 功能 起止 框 表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少 的． 输入、 输出 框 表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输 入、输出的位置． 处理 框 赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别 写在不同的用以处理数据的处理框内． 判断 框 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成 立时在出口处标明则标明“否”或“N”． 流程 线 算法进行的前进方向以及先后顺序 连结 点 连接另一页或另一部分的框图 注释 框 帮助编者或阅读者理解框图 （3）程序框图的构成． 一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的 流程线；程序框内必要的说明文字． 16．进行简单的合情推理 【知识点的知识】 1．推理 根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理．推理 一般分为合情推理与演绎推理两类． 2．合情推理 归纳推理 类比推理 定 义 由某类事物的部分对象具有某 些特征，推出该类事物的全部对 象都具有这些特征的推理，或者 由个别事实概括出一般结论的 推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一 类对象的某些已知特征，推出另一类对象 也具有这些特征的推理 特 点 由部分到整体、由个别到一般的 推理 由特殊到特殊的推理 一 般 （1）通过观察个别情况发现某 些相同性质； （1）找出两类事物之间相似性或一致性； （2）用一类事物的性质去推测另一类事 步 骤 （2）从已知的相同性质中推出 一个明确的一般性命题（猜想） 物的性质，得出一个明确的命题（猜想） 3．演绎推理 （1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推 理称为演绎推理； （2）特点：演绎推理是由一般到特殊的推理； （3）模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： “三段论”的结 构 ①大前提﹣﹣已知的一般原理； ②小前提﹣﹣所研究的特殊情况； ③结论﹣﹣根据一般原理，对特殊情况做出的 判断． “三段论”的表 示 ①大前提﹣﹣M 是 P． ②小前提﹣﹣S 是 M． ③结论﹣﹣S 是 P． 17．三角函数中的恒等变换应用 【知识点的认识】 1．同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：sin2α+cos2α=1． （2）商数关系： =tanα． 2．诱导公式 公式一：sin（α+2kπ）=sin α，cos（α+2kπ）=cosα，tan（α+2kπ）=tanα，其中 k ∈ Z． 公式二：sin（π+α）=﹣sinα，cos（π+α）=﹣cosα，tan（π+α）=tan α． 公式三：sin（﹣α）=﹣sinα，cos（﹣α）=cosα，tan（﹣α）=﹣tanα． 公式四：sin（π﹣α）=sin α，cos（π﹣α）=﹣cosα，tan（π﹣α）=﹣tanα． 公式五：sin（ ﹣α）=cosα，cos（ ﹣α）=sin α，tan（ ﹣α）=cotα． 公式六：sin（ +α）=cosα，cos（ +α）=﹣sinα，tan（ +α）=﹣cotα． 3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ； （2）C（α+β）：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ； （3）S（α+β）：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ； （4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ； （5）T（α+β）：tan（α+β）= ． （6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）= ． 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）S2α：sin 2α=2sinαcosα； （2）C2α：cos 2α=cos2α﹣sin2α=2cos2α﹣1=1﹣2sin2α； （3）T2α：tan 2α= ． 18．三角函数的周期性及其求法 【知识点的认识】 周期性 ①一般地，对于函数 f（x），如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的 每一个值时，都有 f（x+T）=f（x），那么函数 f（x）就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期． ②对于一个周期函数 f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么 这个最小正数就叫做 f（x）的最小正周期． ③函数 y=Asin（ωx+φ），x ∈ R 及函数 y=Acos（ωx+φ）；x ∈ R（其中 A、ω、φ为常 数，且 A≠0，ω＞0）的周期 T= ． 【解题方法点拨】 1．一点提醒 求函数 y=Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0 时，才能 把ωx+φ看作一个整体，代入 y=sin t 的相应单调区间求解，否则将出现错误． 2．两类点 y=sin x，x ∈ [0，2π]，y=cos x，x ∈ [0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）． 3．求周期的三种方法 ①利用周期函数的定义．f（x+T）=f（x） ②利用公式：y=Asin（ωx+φ）和 y=Acos（ωx+φ）的最小正周期为 ，y=tan （ωx+φ）的最小正周期为 ． ③利用图象．图象重复的 x 的长度． 19．正弦定理 【知识点的知识】 1．正弦定理和余弦定理 定 理 正弦定理 余弦定理 内 容 =2R （ R 是△ABC 外接圆半径） a2=b2+c2﹣2bccos A， b2=a2+c2﹣2accos B， c2=a2+b2﹣2abcos C 变 形 形 式 ①a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C； ②sin A= ，sin B= ，sin C= ； ③a：b：c=sinA：sinB：sinC； ④asin B=bsin A，bsin C=csin B，asin C=csin A cos A= ， cos B= ， cos C= 解 决 三 角 形 的 问 题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他 两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一 边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三 边和其他两角 在△ABC 中，已知 a，b 和角 A 时，解的情况 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin A＜ a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 由上表可知，当 A 为锐角时，a＜bsin A，无解．当 A 为钝角或直角时，a≤b， 无解． 2、三角形常用面积公式 1．S= a•ha（ha 表示边 a 上的高）； 2．S= absin C= acsin B= bcsin A． 3．S= r（a+b+c）（r 为内切圆半径）． 20．三角函数的最值 【三角函数的最值】 三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到 三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手 法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角 函数的一元函数． 【例题解析】 例 1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x= + cos（2x+ ） ． 解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x= ﹣ +2• = + （cos2x﹣ sin2x） = + cos（2x+ ）． 故答案为： + cos（2x+ ）． 这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函 数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结 果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换． 例 2：函数 y=sin2x﹣sinx+3 的最大值是 ． 解：令 sinx=t，可得 y=t2﹣t+3，其中 t ∈ [﹣1，1] ∵二次函数 y=t2﹣t+3 的图象开口向上，对称轴是 t= ∴当 t= 时函数有最小值， 而函数的最大值为 t=﹣1 时或 t=1 时函数值中的较大的那个 ∵t=﹣1 时，y=（﹣1）2﹣（﹣1）+3=5，当 t=1 时，y=12﹣1+3=3 ∴函数的最大值为 t=﹣1 时 y 的值 即 sinx=﹣1 时，函数的最大值为 5． 这个题就是典型的换元，把 sinx 看成是自变量 t，最后三角函数看成是一个 一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域． 【考点点评】 求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家 要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应 的值域． 21．轨迹方程 【知识点的认识】 1．曲线的方程和方程的曲线 在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y） 表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y） 中的变量 x、y 存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变 量 x、y 的方程． 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹） 上的点与一个二元方程 f（x，y）=0 的实数解建立了如下的关系： （1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线． 2．求曲线方程的一般步骤（直接法） （1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点 M 的坐 标； （2）列式：写出适合条件 p 的点 M 的集合{M|p（M）}； （3）代入：用坐标表示出条件 p（M），列出方程 f（x，y）=0； （4）化简：化方程 f（x，y）=0 为最简形式； （5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点 【常用解法】 （1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有 关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、 化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧． （2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、 抛物线、圆等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨 迹的定义条件． （3）相关点法：用所求动点 P 的坐标（x，y）表示已知动点 M 的坐标（x0，y0）， 即得到 x0=f（x，y），y0=g（x，y），再将 x0，y0 代入 M 满足的条件 F（x0，y0）=0 中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法 的一般步骤是：设点→转换→代入→化简． （4）待定系数法 （5）参数法 （6）交轨法． 22．抛物线的简单性质 【知识点的知识】 抛物线的简单性质： 23．双曲线的简单性质 【知识点的知识】 双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0） 图形 性 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|=2c a2+b2=c2 范围 |x|≥a，y ∈ R |y|≥a，x ∈ R 对称 关于 x 轴，y 轴和原点对称 顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a） 轴 实轴长 2a，虚轴长 2b 离心率 e= （e＞1） 准线 x=± y=± 质 渐近线 ± =0 ± =0 24．直线与椭圆的位置关系 v． 25．直线与抛物线的位置关系 v． 26．由三视图求面积、体积 【知识点的认识】 1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形， 包括： （1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度； （2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度； （3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度． 2．三视图的画图规则： （1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐； （2）长对正：主视图和俯视图的长相对应； （3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等． 3．常见空间几何体表面积、体积公式 （1）表面积公式： （2）体积公式： 【解题思路点拨】 1．解题步骤： （1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球） （2）选对应公式 （3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高） （4）代公式计算 2．求面积、体积常用思想方法： （1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进 行分析求解； （2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法； （3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活 求解三棱锥的体积； （4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法． 【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解 答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、 俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正 俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟 记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算． 例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A.8﹣2π B.8﹣π C.8﹣ D.8﹣ 分析：几何体是正方体切去两个 圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的 圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算． 解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个 圆柱， 正方体的棱长为 2，切去的圆柱的底面半径为 1，高为 2， ∴几何体的体积 V=23﹣2× ×π×12×2=8﹣π． 故选：B． 点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数 据所对应的几何量是解题的关键． 27．棱柱、棱锥、棱台的体积 【知识点的知识】 柱体、锥体、台体的体积公式： V 柱=sh，V 锥= Sh． 28．球的体积和表面积 【知识点的认识】 1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称 球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面． 2．球体的体积公式 设球体的半径为 R， V 球体= 3．球体的表面积公式 设球体的半径为 R， S 球体=4πR2． 【命题方向】 考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增 加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键． 29．球内接多面体 【知识点的知识】 1、球内接多面体的定义：多面体的顶点都在球面上，且球心到各顶点的距离都 是半径．球内接多面体也叫做多面体外接球． 球外切多面体的定义：球面和多面体的各个面都相切，球心到各面的距离都 是球的半径．球外切多面体也叫做多面体内切球 2、研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题： （1）球心与多面体中心的位置关系； （2）球的半径与多面体的棱长的关系； （3）球自身的对称性与多面体的对称性； （4）能否做出轴截面． 3、球与多面体的接、切中有关量的分析： （1）球内接正方体：球和正方体都是中心对称和轴对称图形，设球的半径为 r， 正方体的棱长为 a，则： ①球心就是正方体的中心，球心在正方体的体对角线的中点处； ②正方体的四个顶点都在球面上； ③轴截面就是正方体的对角面； ④在轴截面上，含有一个球的大圆和正方体的棱、面对角线、体对角线，且构造 一个直角三角形； ⑤球半径和正方体棱长的关系：r= a． 30．直线与平面平行的判定 【知识点的知识】 1、直线与平面平行的判定定理： 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平 行． 用符号表示为：若 a ⊄ α，b ⊂ α，a∥b，则 a∥α． 2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面 内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线 线平行得到线面平行． 31．简单曲线的极坐标方程 【知识点的认识】 一、曲线的极坐标方程 定义：如果曲线 C 上的点与方程 f（ρ，θ）=0 有如下关系 （1）曲线 C 上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程 f（ρ，θ）=0； （2）以方程 f（ρ，θ）=0 的所有解为坐标的点都在曲线 C 上． 则曲线 C 的方程是 f（ρ，θ）=0． 二、求曲线的极坐标方程的步骤： 与直角坐标系里的情况一样 ①建系 （适当的极坐标系） ②设点 （设 M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点） ③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于 M 的等式） ④将等式坐标化 ⑤化简 （此方程 f（ρ，θ）=0 即为曲线的方程） 三、圆的极坐标方程 （1）圆心在极点，半径为 r，ρ=r． （2）中心在 C（ρ0，θ0），半径为 r． ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）=r2． 四、直线的极坐标方程 （1）过极点，θ=θ0（ρ ∈ R） （2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ=a （3）过某个定点平行于极轴，rsinθ=a （4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）=ρ1sin（α﹣θ1） 五、直线的极坐标方程步骤 1、据题意画出草图； 2、设点 M（ρ，θ）是直线上任意一点； 3、连接 MO； 4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求． 32．不等式的证明 【知识点的知识】 证明不等式的基本方法： 1、比较法： （1）作差比较法 ①理论依据：a＞b ⇔ a﹣b＞0；a＜b ⇔ a﹣b＜0． ②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论． 注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子） 与 0 的大小关系． （2）作商比较法 ①理论依据：b＞0， ＞1 ⇒ a＞b；b＜0， ＜1 ⇒ a＜b； ②证明步骤：作商→变形→判断与 1 的大小关系→得出结论． 2、综合法 （1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的 推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫做推证法或 由因导果法． （2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等 式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式． 3、分析法 （1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件 为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从 而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法． （2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地 用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止． 注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、 条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法 寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程． 4、放缩法 （1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化 不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法． （2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键． 常用的放缩技巧有：