高考卷 06年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ 6页

‎2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）数学（文）试题 一、 选择题：‎ 1、 已知向量、满足|| = 1，|| = 4，且，则与夹角为 A、 B、 C、 D、‎ 2、 设集合M= {x|},N = { x | |x|},则 A、M∩N=Φ B、M∩N=M、 C 、M∪N=M D、M∪N=R ‎3、已知函数y = ex的图像与函数y = f（x）的图像关于直线 y =x对称，则 A、 B、‎ C、 D、‎ ‎4、双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m = ‎ A、 B、- 4 C、4 D、‎ ‎5、设是等差数列{}的前n项和，若，则 A、8 B、7 C、6 D、5‎ ‎6、函数的单调增区间为 A、 B、‎ C、 D、‎ ‎7、从圆外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为 A、 B、 C、 D、0‎ ‎8、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。若a、b、c成等比数列，且c = 2a，则cosB =‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎9、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A、16π B、20π C、24π D、32π ‎10、在的展开式中，x的系数为 A、- 120 B、120 C、- 15 D、15‎ ‎11、抛物线上的点到直线4x + 3y - 8 =0距离的最小值是 A、 B、 C、 D、3‎ ‎12、用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但是不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 A、 cm2 B、 cm2 C、 cm2 D、20cm2‎ 二、 填空题：‎ ‎13、已知函数，若f（x）为奇函数，则a = ‎ ‎14、已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于 ‎ ‎15、设 z = 2y – x ，式中变量x、y满足条件，则z的最大值为 ‎ ‎16、安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日。不同的安排方法共有 种（用数字作答）‎ 一、 解答题：‎ ‎17、（本题满分12分）已知{}为等比数列，，求{}的通项公式。‎ ‎18、（本题满分12分）△ABC的三个内角A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。‎ ‎19、（本题满分12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为。‎ ‎ （Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；‎ ‎ （Ⅱ）观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率。‎ B M A N C ‎20、（本题满分12分）如图，、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线线段，‎ 点A、B在上，C在上，AM = MB = MN。‎ ‎ （Ⅰ）证明AC⊥NB；‎ ‎ （Ⅱ）若∠ACB = 60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值。‎ ‎21、（本题满分12分）设P是椭圆短轴的一个端点，Q为椭圆上一个动点，求的最大值。‎ ‎22、（本题满分14分）设为实数，函数在和都是增函数，求 的取值范围。‎ 参考答案 一．选择题：‎ ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B D A D C B B C C A B ‎1．向量、满足且设与的夹角为θ，则cosθ==，‎ ‎ ∴ θ=，选C.‎ ‎2．集合∴ ,选B.‎ ‎3．函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以是的反函数，即=，∴ ，选D.‎ ‎4．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为，∴ m=，选A.‎ ‎5．是等差数列的前项和，若 ∴ ，选D.‎ ‎6．函数的单调增区间满足，‎ ‎ ∴ 单调增区间为，选C.‎ ‎7．圆的圆心为M(1，1)，半径为1，从外一点向这个圆作两条切线，则点P到圆心M的距离等于，每条切线与PM的夹角的正切值等于，所以两切线夹角的正切值为，该角的余弦值等于，选B.‎ ‎8．中，a、b、c成等比数列，且，则b=a，‎ ‎=，选B.‎ ‎9．正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，∴ 球的半径为，球的表面积是，选C.‎ ‎10．在的展开式中，x4项是=－15x4，选C.‎ ‎11．设抛物线上一点为(m，－m2)，该点到直线的距离为，当m=时，取得最小值为，选A.‎ ‎12．用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为，选B.‎ 二．填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分，把答案填在横线上。‎ ‎13. 14. 15. 11 16.2400‎ ‎13．函数若为奇函数，则，即，a=.‎ ‎14．正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=, ∴ 二面角等于60°。‎ ‎15．，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A(0，1)，B(7，1)，C(3，7)，在△ABC中满足的最大值是点C，代入得最大值等于11.‎ ‎16．先安排甲、乙两人在后5天值班，有=20种排法，其余5人再进行排列，有=120种排法，所以共有20×120=2400种安排方法。‎ 三．解答题：‎ ‎17.解: 设等比数列{an}的公比为q, 则q≠0, a2= = , a4=a3q=2q 所以 + 2q= , 解得q1= , q2= 3, ‎ 当q1=, a1=18.所以 an=18×()n－1= = 2×33－n. ‎ 当q=3时, a1= , 所以an=×3n－1=2×3n－3.‎ ‎18.解: 由A+B+C=π, 得 = － , 所以有cos =sin .‎ cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin2 + 2sin ‎ ‎=－2(sin － )2+ ‎ 当sin = , 即A=时, cosA+2cos取得最大值为 ‎19. 解: (1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,‎ Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只" , i=0,1,2, ‎ 依题意有: P(A1)=2×× = , P(A2)= × = . P(B0)= × = , ‎ P(B1)=2× × = , 所求概率为: P=P(B0·A1)+P(B0·A2)+P(B1·A2)‎ ‎= × + × + × = ‎ ‎(Ⅱ)所求概率为: P=1－(1－)3= A B M N C l2‎ l1‎ H ‎20.解法一: (Ⅰ)由已知l2⊥MN, l2⊥l1 , MN∩l1 =M, 可得l2⊥平面ABN.由已知MN⊥l1 , AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB. 又AN为AC在平面ABN内的射影.‎ ‎∴AC⊥NB ‎ ‎（Ⅱ）∵Rt△CAN≌Rt△CNB, ∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC为正三角形.‎ ‎∵Rt△ANB≌Rt△CNB, ∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心,连结BH,∠NBH为NB与平面ABC所成的角.‎ A B M N C l2‎ l1‎ H x y z 在Rt△NHB中,cos∠NBH= = = .‎ 解法二: 如图,建立空间直角坐标系M－xyz.令MN=1, 则有A(－1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),‎ ‎(Ⅰ)∵MN是 l1、l2的公垂线, l1⊥l2, ∴l2⊥平面ABN. l2平行于z轴. 故可设C(0,1,m).于是 =(1,1,m), =(1,－1,0). ∴·=1+(－1)+0=0 ∴AC⊥NB.‎ ‎(Ⅱ)∵ =(1,1,m), =(－1,1,m), ∴||=||, 又已知∠ACB=60°,∴△ABC为正三角形,AC=BC=AB=2. 在Rt△CNB中,NB=, 可得NC=,故C(0,1, ).‎ 连结MC,作NH⊥MC于H,设H(0,λ, λ) (λ>0). ∴=(0,1－λ,－λ), ‎ =(0,1, ). · = 1－λ－2λ=0, ∴λ= ,‎ ‎∴H(0, , ), 可得=(0,, － ), 连结BH,则=(－1,, ),‎ ‎∵·=0+ － =0, ∴⊥, 又MC∩BH=H,∴HN⊥平面ABC,‎ ‎∠NBH为NB与平面ABC所成的角.又=(－1,1,0),‎ ‎∴cos∠NBH= = = ‎21. 解: 依题意可设P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|=,又因为Q在椭圆上,‎ 所以,x2=a2(1－y2) , |PQ|2= a2(1－y2)+y2－2y+1=(1－a2)y2－2y+1+a2‎ ‎ =(1－a2)(y－ )2－+1+a2 .‎ 因为|y|≤1,a>1, 若a≥, 则||≤1, 当y=时, |PQ|取最大值;‎ 若10, f(x)在(－∞,+ ∞)为增函数. 所以a=±. ‎ ‎ (ⅱ)若△=12－8a2<0, 恒有f '(x)>0, f(x)在(－∞,+ ∞)为增函数, 所以a2> , ‎ 即 a∈(－∞,－ )∪( , +∞)‎ ‎(ⅲ)若△12－8a2>0,即－ 0, f(x)为增函数; 当x∈(x1,x2)时 , f '(x)<0,f(x)为减函数. 依题意x1≥0且x2≤1. 由x1≥0得a≥,解得 1≤a< 由x2≤1得≤3－a, 解得 －