【数学】湖南省娄底市春元中学2019-2020学年高一上学期期末考试试卷（解析版） 12页

湖南省娄底市春元中学 2019-2020 学年 高一上学期期末考试试卷 一．选择题 1．某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为 6：5：7，防疫站欲对该校学生进 行身体健康调查，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 n 的样本，样 本中高三年级的学生有 21 人，则 n 等于（ ） A．35 B．45 C．54 D．63 【答案】C 【解析】∵某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为 6：5：7， ∴高三年级学生的数量占总数的 ， ∵分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为 n 的样本，若已知高三年级被抽到的 人数为 21 人，∴n＝21 54. 故选：C. 2．2021 年某省新高考将实行“ ”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选 一，政治、地理、化学、生物四选二，共有 12 种选课模式.某同学已选了物理，记事件 ： “他选择生物和地理”，事件 ：“他选择化学和地理”，则事件 与事件 （ ） A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件 C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件 【答案】A 【解析】事件 与事件 不能同时发生，是互斥事件 他还可以选择历史和政治，不是对立事件 故答案选 A 3．设角 的终边经过点 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 7 18 7 18 ÷ = 3 1 2+ + A B A B A B α ( )3, 1P − ( )sin 90 α°+ 3 2 1 2 − 3 2 − 3 4 − 【解析】因为角 的终边经过点 ，则 ， ， 则 .故选：A 4．下列函数中周期为 且为偶函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A：令 ， 则 ， 为奇函数，故可排除 A； ， 其周期 ， ， 是偶函数， 是周期为 的偶函数，故 B 正确； 其周期 ，故可排除 C； ：同理可得 的周期为 ，故可排除 D； 故选：B． 5．已知向量 ，若 ，则 x 的值为（ ） A． B．4 C．2 D． 【答案】B 【解析】向量 则 α ( )3, 1P − 2r = 3cos 2 x r α = = ( ) 3sin 90 cos 2 α α°+ = = π cos(2 )2y x π= − sin(2 2 )y x π= + sin( )2y x π= + cos( )2y x π= − ( ) cos(2 ) sin 22g x x x π= − = ( ) sin( 2 ) sin 2 ( )g x x x g x− = − = − = − ( ) cos(2 )2g x x π∴ = + : ( ) sin(2 ) cos22B y f x x x π= = + = ∴ 2 2T π π= = ( ) cos( 2 ) cos2 ( )f x x x f x− = − = = sin(2 )2y x π∴ = + sin(2 )2y x π∴ = + π : sin( )2C y x π= + 2T π= D cos( )2y x π= − 2π ( ) ( ) ( ),2 4,3 , ,21,1a a b c x+ == =    / /b c  4− 2− ( ) ( ) ( ),2 4,3 , ,21,1a a b c x+ == =    ( ) ( ) ( )2 2 4,3 2,2 2,1a b ab = + − = − =   又 ，且 ,所以 ，则 故选：B 6．已知某 8 个数据的平均数为 5，方差为 3，现又加入一个新数据 5，此时这 9 个数的平均 数为 ，方差为 ，则（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】B 【解析】因为某 8 个数据的平均数为 5，方差为 3，现有加入一个现数据 5， 此时这 9 个数的平均数为 ，方差为 ， 则 ，故选 B. 7．函数 的部分图像如图所示，则该函数的解析式 为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】显然 ， 因为 ，所以 ，所以 ， ( ),2c x= / /b c  2 2 1x× = × 4x = x 2s 5x = 2 3s > 5x = 2 3s < 5x > 2 3s < 5x > 2 3s > x 2s 2 28 5 5 8 3 (5 5) 85, 39 9 3x s × + × + −= = = = < ( )( )sin 0, 0,y A x Aω ϕ ω ϕ π= + > > < 22sin 2 3y x π = +   2sin 2 3y x π = +   2sin 2 3 xy π = −   2sin 2 3y x π = −   2A = 5 2 12 12 2 T π π π= + = T π= 2 2 2T π πω π= = = 由 得 ， 所以 ，即 ， ， 因为 ，所以 ， 所以 .故选：A 8．在 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 ， ， ，则 角 （ ） A． 或 B． C． D． 【答案】B 【解析】由正弦定理 ，得 . 又因为 ，所以 ，即 ，所以 故选：B. 9．已知等差数列 的前 n 项和为 ，且 ，则 ＝（　　） A．0 B．10 C．15 D．30 【答案】C 【解析】由等差数列性质可知： 本题正确选项：C. 10．在 中，若 ，则角 的大小为（ ） A．60° B．120° C．60°或 120° D．30°或 150° 【答案】C 【解析】由余弦定理可得 ,则 , ( ) 212f π− = 2sin[2 ( ) ] 212 π ϕ× − + = 2 ,6 2k π πϕ π− + = + k Z∈ 22 3k πϕ π= + k Z∈ 0 | |ϕ π< < 2 3 ϕ π= 2( ) 2sin(2 )3f x x π= + ABC 6a = 2 3c = 120A = ° C = 30° 150° 30° 45° 60° sin sin a c A C = 32 3sin 12sin 6 2 c AC a × = = = a c> A C> 0 90c° < < ° 30C = ° { }na nS 2 44, 2a a= = 5S 1 5 2 4 4 2 6a a a a+ = + = + = ( )1 5 5 5 5 6 152 2 a aS + ×∴ = = = ABC ( )2 2 2 tan 3a c b B ac+ − = B 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − ⋅ 2 2 2 2 cosa c b ac B+ − = ⋅ 所以 ,所以 , 所以 或 ,故选:C 11．如图，在 三角形中，点 是 边上靠近 的三等分点，则 ( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点 是 边上靠近 的三等分点,所以 , 所以 ,故选:A. 12．雕塑成了大学环境不可分割的一部分，有些甚至能成为这个大学的象征，在中国科学技 术大学校园中就有一座郭沫若的雕像．雕像由像体 和底座 两部分组成．如图，在 中， ，在 中， ，且 米，求像体 的 高 度 （ ）（最 后 结 果 精 确 到 0.1 米 ， 参 考 数 据 ： ， ， ） 2 cos tan 3ac B B ac⋅ = 3sin 2B = 60B °= 120B °= ABC D BC B AD = 2 1 3 3AB AC+  1 2 3 3AB AC+  2 1 3 3AB AC−  1 2 3 3AB AC−  D BC B 1 3BD BC= 1 1 2 1( )3 3 3 3AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC= + = + = + + = +          AD CD Rt ABC 70.5ABC∠ = ° Rt DBC 45DBC∠ = ° 2.3CD = AD sin 70.5 0.943° ≈ cos70.5 0.334° ≈ tan 70.5 2.824° ≈ A．4.0 米 B．4.2 米 C．4.3 米 D．4.4 米 【答案】B 【解析】在 中， （米）， 在 中， （米）， （米）. 故选：B. 二．填空题 13．现有 A、B、C、D、E，5 种在线教学软件，若某学校要从中随机选取 3 种作为教师“停 课不停学”的教学工具，则其中 A，B，C 至少有 2 种被选取的概率为___________． 【答案】 【解析】从 A、B、C、D、E，5 种在线教学软件随机选取 3 种的有： ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE 共有 10 种等可能情况， 其中 A，B，C 至少有 2 种被选取的有:ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,BCD,BCE 共有 7 种， 所以所求概率为 ，故答案为： 14．已知单位向量 ， 满足 ，则 与 的夹角是_________. 【答案】 【解析】设 与 的夹角是 ，由题意 两边平方后， 得： ， 因为 ， 为单位向量， ， . ， .故答案为： . 15．将函数 图象上每一点的横坐标缩短为原来的 Rt BCD 2.3tan CDBC DBC = =∠ Rt ABC tan 2.3 2.824 6.5AC BC ABC= ∠ ≈ × ≈ 6.5 2.3 4.2AD AC CD∴ = − = − = 7 10 7 10 7 10 a b | | 3a b+ = a b 3 π a b θ + 3a b = 2 2 +2 3a b a b+ ⋅ =   a b 1 1+2cos 3θ∴ + = 1cos 2 θ∴ = 0 θ π≤ ≤ 3 πθ∴ = 3 π ( ) sin( ) 0, 2 2f x x π πω ϕ ω ϕ = + > − ≤ <   一半，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度得到 的图象，则 ________． 【答案】 【解析】由题意可得，把 的图象向左平移 个单位长度得到 的图象； 再把所得图象上每一点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，可得 的图 象， 故 ，求得 ， ，即 ． 所以 ．故答案为： 16．如图，已知点 是曲线 上一个动点， 则 的最小值是_________． 【答案】 【 解 析 】 设 ， ， ， 所以当 x= 时，取得最小值 .故答案为： 三、解答题 6 π siny x= 6f π  =   2 2 siny x= 6 π sin( )6y x π= + 1sin( )2 6y x π= + 1( ) sin( ) sin 2 6f x x x πω ϕ  = + = +   1 2 ω = 6 π=ϕ 1( ) sin 2 6f x x π = +   1sin6 2 6 6f π π π   = × +       2sin 4 2 π= = 2 2 (0,0), (2,0),O A P ( )0 1y x x= ≤ ≤ OP AP⋅  1 4 − ( ),P x x ( )0 1x≤ ≤ ( ) ( ) 2 2 1 1, 2, 2 4OP AP x x x x x x x ⋅ = ⋅ − = − = − −     1 2 1 4 − 1 4 − 17．已知向量 ， ，且 与 共线. （1）求 的值； （2）若 与 垂直，求实数 的值. 【解】（1） 因为 与 共线，所以 ， 解得 . （2）由（1）知 ，所以 由 与 垂直，得 ， 所以 ， 解得 . 18．某市环保部门为了让全市居民认识到冬天烧煤取暖对空气 数值的影响，进而唤醒 全市人民的环保节能意识。对该市取暖季烧煤天数 与空气 数值不合格的天数 进行 统计分析，得出下表数据： （天） 9 8 7 5 4 （天） 7 6 5 3 2 （1）以统计数据为依据，求出 关于 的线性回归方程 ； （2）根据（1）求出的线性回归方程，预测该市烧煤取暖的天数为 20 时空气 数值不合 格的天数． 参考公式： ， ． 【解】（1）由表中数据可求得 ， ( )3,2a = − ( )1,b m= b a−  ( )2,1c = m a bλ−  2a b−  λ ( )4, 2b a m− = −  b a−  c ( )4 1 2 2 0m× − − = 4m = ( )1,4b = 13, 17, 3 1 2 4 5a b a b= = ⋅ = − × + × =    a bλ−  2a b−  ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 2 0a b a b a a b bλ λ λ− ⋅ − = − + ⋅ + =        ( )26 5 1 2 17 0λ λ− + + = 3λ = − AQI x AQI y x y y x y bx a= +   AQI 1 22 1 n i i i n i i x y nxy b x nx = = − = − ∑ ∑   a y bx= −  5 1 4 2 5 3 7 5 8 6 9 7 169i i i x y = × + × + × + × + × ==∑ ， ， ， ， ， 所以线性回归方程为 ． （2）根据（1）式求出的线性回归方程， 当 时，代入可得 ， 预测该市烧煤取暖的天数为 20 时空气 数值不合格的天数为 18. 19．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消 毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生 产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产 的口罩中随机抽取了 100 个，将其质量指标值分成以下六组： ， ， ，…， ，得到如下频率分布直方图. （1）求出直方图中 的值； （2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数（同一组 中的数据用该组区间中点值作代表）； （3）现规定：质量指标值小于 70 的口罩为二等品，质量指标值不小于 70 的口罩为一等品. 利用分层抽样的方法从该企业所抽取的 100 个口罩中抽出 5 个口罩，并从中再随机抽取 2 个 作进一步的质量分析，试求这 2 个口罩中恰好有 1 个口罩为一等品的概率. 【解】（1）由 ，得 . 2 2 22 2 5 1 24 5 7 8 9 235i i x = + + + + ==∑ 4 5 7 8 9 6.65x + + =+ += 2 3 5 6 7 4.65y + + =+ += 2 169 5 6 6 4 6 1235 5 6.6b − × ×= =− × ． ．  4 6 6 6 2a = − = −． ．  2y x= − 20x = 20 2 18y = − = AQI [ )40,50 [ )50,60 [ )60,70 [ ]90,100 m ( )10 0.010 0.015 0.015 0.025 0.05 1m× + + + + + = 0.030m = （2）平均数为 ， 故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为 71 （3）由频率分布直方图可知：100 个口罩中一等品、二等品各有 60 个、40 个， 由分层抽样可知，所抽取的 5 个口罩中一等品、二等品各有 3 个、2 个. 记这 3 个一等品为 ， ， ，2 个二等品为 ， ，则从 5 个口罩中抽取 2 个的可能结果 有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 10 种， 其中恰有 1 个口罩为一等品的可能结果有： ， ， ， ， ， .共 6 种. 故这 2 个口罩中恰好有 1 个口罩为一等品的概率为 . 20．锐角 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 . （1）求角 的大小； （2）若 的面积为 ，求 ． 【解】（1） 由题设及正弦定理得： ． 因为 ，所以 ， 又 ，因此 . （2） 的面积为 ， . 又 ， ， 由余弦定理得： ， . 21．已知向量 ，若 , 45 0.1 55 0.15 65 0.15 75 0.3 85 0.25 95 0.05 71x = × + × + × + × + × + × = a b c d e ( ),a b ( ),a c ( ),a d ( ),a e ( ),b c ( ),b d ( ),b e ( ),c d ( ),c e ( ),d e ( ),a d ( ),a e ( ),b d ( ),b e ( ),c d ( ),c e 6 3 10 5P = = ABC A B C a b c 3 2 sina b A= B 13,a c+ = ABC 10 3 b 3 sin 2 sin sinA B A= sin 0A > 3sin 2B = 0 2B π< < 3 =B π  ABC 10 3 1 sin 10 32 ac B∴ =  3B π= 40ac∴ = 2 2 2 22 cosb a c ac B a c ac= + − = + − ( )2 3 169 120 7b a c ac∴ = + − = − = 2( 3sin ,1), (cos ,cos )4 4 4 x x xm n= =  ( )f x m n= ⋅  （1）求 的周期和递增区间； （2） 中，角 的对边分别是 ,且 ，求 的取 值范围． 【解】（1） = ， 周期 由 得： ， 的递增区间为 （2） ，由正弦定理得 ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， 故函数 的取值范围是 ． 22．已知数列 满足： ， . （1）求 及通项 ； （2）设 是数列 的前 项和，则数列 ， ， ，… …中哪一项最小？并求出 这个最小值. （3）求数列 的前 10 项和. ( )f x ABC∆ , ,A B C , ,a b c (2 )cos cosa c B b C− = (A)f ( )f x m n= ⋅  23sin cos cos4 4 4 x x x+ 1 cos3 2sin2 2 2 x x + = + 1sin 2 6 2 x π = + +   π4=T 2 2 ,2 2 6 2 xk k k Z π π ππ π− ≤ + ≤ + ∈ 4 24 4 ,3 3k x k k Z π ππ π− ≤ ≤ + ∈ ( )f x∴ 4 24 ,4 ,3 3k k k Z π ππ π − + ∈   ( )2 cos cosa c B b C− = ( )2sin sin cos sin cosA C B B C− = 2sin cos sin cos sin cosA B C B B C∴ − = ( )2sin cos sinA B B C∴ = + ( ), sin sin 0A B C B C A π+ + = ∴ + = ≠ 1cos 2B∴ = 0 B π< < 2, 03 3B A π π∴ = ∴ < < 6 2 6 2 Aπ π π∴ < + < 1sin ,12 6 2 A π   + ∈       ( ) 1sin 2 6 2 xf x π = + +   ( ) 1sin 2 6 2 Af A π ∴ = + +   ( )f A 31, 2      { }na 3 13a = − ( )1 4 1,n na a n n N−= + > ∈ 1a na nS { }na n 1S 2S 3S nS { }na 【解】（1） ， 当 时， ， ， ， ， 由 知数列为首项是 ，公差为 4 的等差数列， 故 ； （2） ，故 ， ，故 最小， ； （3） 当 时， ；当 时， ， . ( )1 4 2n na a n−= + ≥ ∴ 3n = 3 2 4a a= + 2 17a = − 2 1 4a a= + 1 21a = − 1 4n na a −− = 21− 4 25na n= − 4 25na n= − 6 1 0a = − < 7 3 0a = > 6S ( )6 6 56 21 4 662S ×= × − + × = −  1 6n≤ ≤ 0na < 7n ≥ 0na > ( ) ( )10 1 2 10 1 2 6 7 8 9 10… …T a a a a a a a a a a∴ = + + + = − + + + + + + + ( ) ( ) ( )6 10 6 10 6 10 92 10 21 4 2 66 1022S S S S S ×= − + − = − = × − + × − × − =