【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第九章　第6讲　抛物线作业 6页

第6讲　抛物线 ‎[基础题组练]‎ ‎1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为(　　)‎ A．(－1，0) B．(1，0) ‎ C．(0，－1) D．(0，1)‎ 解析：选B.抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－且过点(－1，1)，故－＝－1，解得p＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1，0)．‎ ‎2．(2020·河南省六校联考)抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P(m，－3)到焦点的距离为4，则抛物线方程为(　　)‎ A．x2＝8y B．x2＝4y ‎ C．x2＝－4y D．x2＝－8y 解析：选C.依题意，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则＋3＝4，所以p＝2，所以抛物线的方程为x2＝－4y，故选C.‎ ‎3．若点A，B在抛物线y2＝2px(p>0)上，O是坐标原点，若正三角形OAB的面积为4，则该抛物线方程是(　　)‎ A．y2＝x B．y2＝x ‎ C．y2＝2x D．y2＝x 解析：选A.根据对称性，AB⊥x轴，由于正三角形的面积是4，故AB2＝4，故AB＝4，正三角形的高为2，故可设点A的坐标为(2，2)，代入抛物线方程得4＝4p，解得p＝，故所求抛物线的方程为y2＝x.故选A.‎ ‎4．(2020·甘肃张掖第一次联考)已知抛物线C1：x2＝2py(y>0)的焦点为F1，抛物线C2：y2＝(4p＋2)x的焦点为F2，点P在C1上，且|PF1|＝，则直线F1F2的斜率为(　　)‎ A．－ B．－ ‎ C．－ D．－ 解析：选B.因为|PF1|＝，所以＋＝，‎ 解得p＝.‎ 所以C1：x2＝y，C2：y2＝4x，F1，F2(1，0)，‎ 所以直线F1F2的斜率为＝－.故选B.‎ ‎5．(2020·吉林第三次调研测试)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(4，3)，P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则△PAF周长取最小值时，线段PF的长为(　　)‎ A．1 B. ‎ C．5 D． 解析：选B.求△PAF周长的最小值，即求|PA|＋|PF|的最小值，‎ 设点P在准线上的射影为D，‎ 根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|，‎ 因此，|PA|＋|PF|的最小值，‎ 即|PA|＋|PD|的最小值，‎ 根据平面几何知识，可得当D，P，A三点共线时|PA|＋|PD| 最小，‎ 此时P，PF的长为＋1＝，故选B.‎ ‎6．在直角坐标系xOy中，有一定点M(－1，2)，若线段OM的垂直平分线过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是 ．‎ 解析：依题意可得线段OM的垂直平分线的方程为2x－4y＋5＝0，把焦点坐标代入可求得p＝，所以准线方程为y＝－.‎ 答案：y＝－ ‎7．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝ .　‎ 解析：在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，＝p，所以B.‎ 又因为点B在双曲线上，故－＝1，解得p＝6.‎ 答案：6‎ ‎8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(2，0)，则抛物线C的方程是 ；若M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则|FN|＝ ．‎ 解析：抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(2，0)，可得p＝4，则抛物线C的方程是y2＝8x.‎ 由M为FN的中点，得M的横坐标为1，代入抛物线方程得y＝±2，则M(1，±2)，则点N的坐标为(0，±4)，所以|FN|＝＝6.‎ 答案：y2＝8x　6‎ ‎9．顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x－4所得的弦长|AB|＝3，求此抛物线的方程．‎ 解：设所求的抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线y＝2x－4代入y2＝ax，‎ 得4x2－(a＋16)x＋16＝0，‎ 由Δ＝(a＋16)2－256>0，得a>0或a<－32.‎ 又x1＋x2＝，x1x2＝4，‎ 所以|AB|＝ ‎＝ ＝3，‎ 所以5＝45，‎ 所以a＝4或a＝－36.‎ 故所求的抛物线的方程为y2＝4x或y2＝－36x.‎ ‎10．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．‎ 解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，‎ 于是4＋＝5，所以p＝2.‎ 所以抛物线的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)因为点A的坐标是(4，4)，‎ 由题意得B(0，4)，M(0，2)．‎ 又因为F(1，0)，所以kFA＝，‎ 因为MN⊥FA，所以kMN＝－.‎ 所以FA的方程为y＝(x－1)，①‎ MN的方程为y－2＝－x，②‎ 联立①②，‎ 解得x＝，y＝，‎ 所以点N的坐标为.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则下列说法正确的是(　　)‎ ‎①△ABF是等边三角形；②|BF|＝3；③点F到准线的距离为3；④抛物线C的方程为y2＝6x.‎ A．①②③ B．②④ ‎ C．①③④ D．②③④‎ 解析：选C.因为以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，∠ABD＝90°，由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，所以△ABF是等边三角形，所以∠FBD＝30°.因为△ABF的面积为|BF|2＝9，所以|BF|＝6.又点F到准线的距离为|BF|sin 30°＝3＝p，则该抛物线的方程为y2＝6x.‎ ‎2．(2020·武汉市调研测试)已知过点M(1，0)的直线AB与抛物线y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若OA，OB的斜率之和为1，则直线AB的方程为 ．‎ 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线AB过点M(1，0)，所以可设直线AB的方程为x＝ty＋1.‎ 联立得，‎ 得y2－2ty－2＝0，y1＋y2＝2t，y1y2＝－2.‎ 又kOA＝，kOB＝，‎ 所以＋＝1，‎ 于是x2y1＋x1y2＝x1x2.‎ 又x1＝ty1＋1，x2＝ty2＋1，‎ 所以(ty2＋1)y1＋(ty1＋1)y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)，‎ 所以2ty1y2＋(y1＋y2)＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1，‎ 所以(t2－2t)y1y2＋(t－1)(y1＋y2)＋1＝0，‎ 所以(t2－2t)(－2)＋(t－1)·2t＋1＝0，‎ 所以2t＝－1，t＝－.‎ 故直线AB的方程为2x＋y－2＝0.‎ 答案：2x＋y－2＝0‎ ‎3．设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为2.‎ ‎(1)求直线AB的斜率；‎ ‎(2)设M为曲线C上一点，曲线C在点M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．‎ 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝2，‎ 故直线AB的斜率k＝＝＝1.‎ ‎(2)由y＝，得y′＝x.‎ 设M(x3，y3)，由题设知x3＝1，于是M.‎ 设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(1，1＋m)，|MN|＝.‎ 将y＝x＋m代入y＝，得x2－2x－2m＝0.‎ 由Δ＝4＋8m＞0，得m＞－，x1，2＝1±.‎ 从而|AB|＝|x1－x2|＝2.‎ 由题设知|AB|＝2|MN|，‎ 即＝，‎ 解得m＝或m＝－(舍)．‎ 所以直线AB的方程为y＝x＋.‎ ‎4．已知抛物线C：y2＝ax(a>0)上一点P到焦点F的距离为2t.‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)抛物线上一点A的纵坐标为1，过点Q(3，－1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值．‎ 解：(1)由抛物线的定义可知|PF|＝t＋＝2t，则a＝4t，‎ 由点P在抛物线上，则at＝.‎ 所以a×＝，则a2＝1，‎ 由a>0，则a＝1，故抛物线的方程为y2＝x.‎ ‎(2)证明：因为A点在抛物线上，且yA＝1.‎ 所以xA＝1，‎ 所以A(1，1)，设过点Q(3，－1)的直线l的方程为x－3＝m(y＋1)．即x＝my＋m＋3，‎ 代入y2＝x得y2－my－m－3＝0.‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝m，y1y2＝－m－3，‎ 所以k1·k2＝· ‎＝ ‎＝＝－，为定值．‎