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- 2021-06-16 发布
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专题 1.5 立体几何
总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______
一、选择题(12*5=60 分)
1.如图,四棱锥 P-ABCD 中,M,N 分别为 AC,PC 上的点,且 MN∥平面 PAD,则( )
A. MN∥PD B. MN∥PA C. MN∥AD D. 以上均有可能
【答案】B
【解析】因为 MN∥平面 PAD,平面 PAC∩平面 PAD=PA,MN 平面 PAC,所以 MN∥PA.
故选 B.
2.【2018 届四川省成都市龙泉中学高三 12 月月考】一个棱锥的三视图如图所示,其中侧视图为边长为 1 的正
三角形,则四棱锥侧面中最大侧面的面积是( )
A. 3
4
B. 1 C. 2 D. 7
4
【答案】D
【解析】
3.设 , 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是( )
A. 若 ,l ,则l B. 若 , / /l ,则l
C. 若 / / , / /l ,则l D. 若 / / ,l ,则 l
【答案】B
【解析】若 l⊥α,α⊥β,则 l⊂β或 l∥β,故 A 错误;
若 l⊥α,α∥β,由平面平行的性质,我们可得 l⊥β,故 B 正确;
若 l∥α,α∥β,则 l⊂β或 l∥β,故 C 错误;
若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β或 l∥β,故 D 错误;
故选:C.
4.在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB=4,则点 A1 到平面 AB1D1 的距离是( )
A. 1 B. 4
3
C. 16
9
D. 2
【答案】B
【解析】设点 A1 到平面 AB1D1 的距离为 h,因为 VA1-AB1D1=VA-A1B1D1,所以 1
3
S△AB1D1h= 1
3
S△A1B1D1×AA1,所以 h=
1 1 1
1 1
1
22 2
1 2 2 4 42
1 32 2 4 2 22
A B D
AB D
S AA
S
故选 B.
点睛:点面距离往往转化为对应棱锥的高,通过等体积法求高得点面距离.
5.【2018 届吉林省实验中学高三上学期第五次月考(一模)】四棱锥 PABCD 的三视图如图所示,四棱锥 PABCD
的五个顶点都在一个球面上, E,F 分别是棱 AB,CD 的中点,直线 EF 被球面所截得的线段长为 2 2 ,则该球
的表面积为( )
A. 12π B. 24π C. 36π D. 48π
【答案】A
点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、
切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.
(2)若球面上四点 , , ,P A B C 构成的三条线段 , ,PA PB PC 两两互相垂直,且 , ,PA a PB b PC c ,一般把有
关元素“补形”成为一个球内接长方体,利用 2 2 2 24R a b c 求解.
6.祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意思是两个同高的几何体,
如在等高处截面的面积恒相等,则体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”,则该不
规则几何体的体积为( )
A. 16
5
B. 32
5
C. 3 D. 6
【答案】B
【解析】由祖暅原理可知,该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等,图示几何体是一个三棱锥,其
直观图如下图:
其底面是底和高分别为 5, 12
5
的三角形,高为 2 212 164 5 5
( ) ,则该三棱锥的体积为 V=
1 1 12 16 3253 2 5 5 5
.从而该不规则几何体的体积为 32
5
.
点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系,遵循“长对正,高平齐,宽相等”的基本
原则,其内涵为正视图的高是几何体的高,长是几何体的长;俯视图的长是几何体的长,宽是几何体的宽;侧视
图的高是几何体的高,宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法:1、首先看俯视图,根据俯视图
画出几何体地面的直观图;2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;3、画出整体,然后再根
据三视图进行调整.
7.已知△ABC 的三个顶点在以 O 为球心的球面上,且 AB=2,AC=4,BC=2 ,三棱锥 O-ABC 的体积为 , 则
球 O 的表面积为( )
A. 22π B. C. 24π D. 36π
【答案】D
8.已知在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,则在四棱锥 P-ABCD 的任意两个顶点的连线中,互
相垂直的异面直线共有( )
A. 3 对 B. 4 对 C. 5 对 D. 6 对
【答案】C
【解析】因为 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥BC,PA⊥CD,AB⊥PD,BD⊥PA,AD⊥PB.共 5 对.
9.如图是四棱锥的平面展开图,其中四边形 ABCD 为正方形,E,F,G,H 分别为 PA,PD,PC,PB 的中点,在此几何体中,
给出下面四个结论中错误的是( )
A. 平面 / /EFGH 平面 ABCD
B. 直线 BE,CF 相交于一点
C. EF//平面 BGD
D. / /PA 平面BGD
【答案】C
【解析】把图形还原为一个四棱锥,如图所示,
根据三角形中位线的性质,可得 / / , / /EH AB GH BC ,
平面 / /EFGH 平面 ABCD,A 正确;
在△PAD 中,根据三角形的中位线定理可得 EF∥AD,
又∵AD∥BC,∴EF∥BC, 因此四边形 EFBC 是梯形,故直线 BE 与直线 CF 相交于一点,所以 B 是正确的; 连
接 AC,设 AC 中点为 M,则 M 也是 BD 的中点,因为 MG∥PA,且直线 MG 在平面 BDG 上,所以有 PA∥平面 BDG,所
以 D 是正确的; ∵ EF∥BC,∵EF⊄ 平面 PBC,BC⊂平面 PBC,∴直线 EF∥平面 PBC,再结合图形可得:直线
EF 与平面 BDG 不平行,因此 C 是错误的.
故选 C
10.在四棱锥 P-ABCD 中,四条侧棱长均为 2,底面 ABCD 为正方形,E 为 PC 的中点.若异面直线 PA 与 BE 所成
的角为 45°,则该四棱锥的体积是( )
A. 4 B. 2 3 C. 4
3
D. 2 3
3
【答案】D
【解析】连接 AC 和 BD 相交于点 O,连接 OE,则 OE∥PA,则∠OEB=45°,又∠EOB=90°,则 BO=OE=1,底面
正方体的边长为 ,四棱锥的高为 ,则体积为 ×( )2× = ,故选 D.
11.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,平面α与棱 AB,AC,A1C1,A1B1 分别交于点 E,F,G,H,且直线 AA1∥平面α.有
下列三个命题:①四边形 EFGH 是平行四边形;②平面α∥平面 BCC1B1;③平面α⊥平面 BCFE.其中正确的命题有
( )
A. ①② B. ②③
C. ①③ D. ①②③
【答案】C
【解析】直线 AA1∥平面α,平面α∩平面 AA1B1B=EH,所以 AA1∥EH.同理 AA1∥GF,所以 EH∥GF,又 ABC-A1B1C1
是直三棱柱,易知 EH=GF=AA1,所以四边形 EFGH 是平行四边形,故①正确;若平面α∥平面 BCC1B1,由平面α∩
平面 A1B1C1=GH,平面 BCC1B1∩平面 A1B1C1=B1C1,知 GH∥B1C1,而 GH∥B1C1 不一定成立,故②错误;由 AA1⊥平面
BCFE,结合 AA1∥EH 知 EH⊥平面 BCFE,又 EH⊂平面α,所以平面α⊥平面 BCFE,故③正确.
答案 C.
12.如图,在△ABC 中,AB=BC= 6 ,∠ABC=90°,点 D 为 AC 的中点,将△ABD 沿 BD 折起到△PBD 的位置,
使 PC=PD,连接 PC,得到三棱锥 P-BCD,若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积是( )
A. 7π B. 5π
C. 3π D. π
【答案】A
二、填空题(4*5=20 分)
13. 【2018 届西藏拉萨市高三第一次模拟考试(期末)】中国古代数学瑰宝《九章算术》中有这样一道题:“今
有堑堵(底面为直角三角形的直棱柱)下广二丈,袤一十八丈六尺,高二丈五尺,问积几何?”其意思为:“今
有底面为直角三角形的直棱柱,底面的直角边长宽为 2 丈,长为 18 丈 6 尺,高为 2 丈 5 尺,问它的体积是多少?”
已知 1 丈为 10 尺,则题中的堑堵的外接球的表面积为__________平方尺.
【答案】35621
【解析】根据题意可将此堑堵补成一个长方体,且长、宽、高分别为 186 尺,20 尺,25 尺,则外接球的直径为
2 2 2186 20 25 35621 ,外接球的面积为
2
356214 356212
.
14.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的各条棱长都是 2 ,且顶点 A1 在底面 ABC 上的射影 O 为△ABC 的中心,则三棱锥
A1-ABC 的体积为________.
【答案】 1
3
【解析】 如图, 由题意可知,底面三角形 ABC 为正三角形,
由O 为 ABC 的中心,可知O 为 ABC 的外心,
则O 为底面高的 2
3
,
∵底面三角形的边长为 2,
∴底面三角形的高为
2
2 2 6 62 2 2 3OA
= , ,
在 1Rt A AO 中,由 1
62 3A A OA= , = ,
得
2
2
1
6 2 32 3 3OA
= = ,
∴三棱锥 1A ABC 的体积为 1 1 6 2 3 123 2 2 3 3
= .
故答案为 1
3
15.已知 m,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.给出下列命题:
(1)若 m⊂α,m⊥β,则α⊥β;
(2)若 m⊂α,α∩β=n,α⊥β,则 m⊥n;
(3)若 m∥α,m⊂β,α∩β=n,则 m∥n.
其中真命题是________(填序号).
【答案】(1)(3)
【解析】(2)中,m∥n,m 与 n 相交都有可能.
16.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A BD C , AC BD O 有如下四个结论:
① AC BD ;② ACD 是等边三角形;③ AB 与CD 所成的角为 90 ,④取 BC 中点 E ,则 AEO 为二面角
A BC D 的平面角.
其中正确结论是__________.(写出所有正确结论的序号)
【答案】①②④
在 Rt AEC 中, 2
2AE CE , 1AC ,
∴ 1
2NE .
则 MEN 是正三角形,故 60EMN ,③错误;
如上图所示,由题意可得: AB AC ,则 AE BC ,
由 , ,BE EC BO OD BC CD 可得OE BC ,
据此可知: AEO 为二面角 A BC D 的平面角,
说法④正确.
故答案为:①②④.
三、解答题(共 6 道小题,共 70 分)
17. 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 是 A1D1 的中点,点 F 是 CE 的中点.
(Ⅰ)求证:平面 ACE⊥平面 BDD1B1;
(Ⅱ)求证:AE∥平面 BDF.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】试题分析:(Ⅰ)通过证明 AC⊥平面 BDD1B1,即可证明平面 ACE⊥平面 BDD1B1;
(Ⅱ)通过证明 OF∥AE,即可证明 AE∥平面 BDF.
试题解析:
(Ⅰ)在正方体中,ABCD 是正方形,BB1⊥平面 ABCD,
∴AC⊥BD,AC⊥BB1,
∵BD∩BB1=B,BD,
BB1⊂平面 BDD1B1,
∴AC⊥平面 BDD1B1,
∵AC⊂平面 ACE,∴平面 ACE⊥平面 BDD1B1.6 分
(Ⅱ)连 AC 交 BD 于 G,连 FG,
∵ABCD 是正方形,∴G 是 AC 中点,
∵F 是 CE 是中点,∴AE∥FG,
∵AE⊄ 平面 BDF,FG⊂平面 BDF,
∴AE∥平面 BDF.
点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直,
需转化为证明线面垂直.
18.如图所示,平面 ABCD 平面 BCE ,四边形 ABCD 为矩形, BC CE ,点 F 为CE 的中点.
(1)证明: / /AE 平面 BDF .
(2)点 M 为CD 上任意一点,在线段 AE 上是否存在点 P ,使得 PM BE ?若存在,确定点 P 的位置,并加以
证明;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)中点
【解析】试题分析:
(1)连接 AB 交 BD 于O ,连接 OF ,利用 ABCD 是矩形得到 / /OF AE ,再由线面平行的判定定理可证;
(2)当 P 为 AE 中点时,有 PM BE ;取 BE 中点 H ,连接 , ,DP PH CH ,结合三角形的中位线性质以及面
面平行的性质进行推理得到 BE 平面 DPHC 即可.
试题解析:
(1)证明 连接 AC 交 BD 于 O,连接 OF,如图①.
∵四边形 ABCD 是矩形,∴O 为 AC 的中点,又 F 为 EC 的中点,
∴OF 为△ACE 的中位线,:∴OF∥AE,又 OF⊂平面 BDF,
AE⊄ 平面 BDF,∴AE∥平面 BDF.
(2)当 P 为 AE 中点时,有 PM⊥BE,
证明如下:取 BE 中点 H,连接 DP,PH,CH,
如图
∵P 为 AE 的中点,H 为 BE 的中点,
∴PH∥AB,又 AB∥CD,∴PH∥CD,
∴P,H,C,D 四点共面.
∵平面 ABCD∥平面 BCE,CD⊥BC
∴CD⊥平面 BCE,又 BE⊂平面 BCE,
∴CD⊥BE∵BC=CE,H 为 BE 的中点,
∴CH⊥BE,
∴BE⊥平面 DPHC,又 PM⊂平面 DPHC,
∴BE⊥PM 即 PM⊥BE.
19.用空间向量解决下列问题:如图,在斜三棱柱 1 1 1ABC A B C 中, 1,e 是 AC 的中点, 1AO ⊥平面 ABC ,
90BCA , 1AA AC BC .
(1)求证: 1 1A B AC ;
(2)求二面角 1A BB C 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) 2 7
7
.
试题解析:取 AB 的中点 D ,连结OD ,
1AO ⊥平面 , OD , OC 平面 ,
1AO OC , 1AO OD ,
O 、 D 分别是 AC 、 AB 的中点, / /OD BC ,
又 , OD OC ,
所以,可以以O 为原点,直线OD 、OC 、 1OA 分别为 x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,设 1 2AA AC BC ,
于是 0, 1,0A , 2,1,0B , 0,1,0C ,
1 0,0, 3A , 1 0,2, 3C ,
(1) 1 2,1, 3A B
, 1 0,3, 3AC ,
1 1 2 0 1 3 3 3 0 3 3 0A B AC
1 1A B AC ,即 .
(2)由(1)知 2,2,0AB , 1 0,1, 3AA , 2,0,0CB , 1 0,1, 3CC ,设 1 1 1, ,m x y z 是平
面 1 1ABB A 的一个法向量,由
1 1 1 1 12 2 0 0 0m AB x y z x y ,
1 1 1 1 1 10 3 0 3 0m AA x y z y z ,取 1 1z ,得 1 3y , 1 3x , 3, 3,1m ,
设 2 2 2, ,n x y z 是平面 1 1CBB C 的一个法向量,由 2 22 0 0n CB x x ,
1 2 2 2 2 20 3 0 3 0n CC x y z y z ,取 2 1z ,得 2 3y ,
0, 3,1n , 4 2 7cos , | 72 7
m nm n m n
, 又因为二面角 为锐二面角,所以,二面角
的余弦值为 2 7
7
.
20.【2018 届西藏拉萨市高三第一次模拟考试(期末)】如图,四棱锥 P ABCD 底面为等腰梯形, / /AD BC 且
2 4BC AD ,点 E 为 PC 中点.
(1)证明: / /DE 平面 PAB ;
(2)若 PA 平面 ABCD , 60ABC ,直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正切值为 3
2
,求四棱锥 P ABCD
的体积V .
【答案】(1)见解析;(2)3 3 .
【解析】试题分析:(1)证明线面平行可利用线面平行的判定定理,利用三角形的中位线定理可以得出线线平行,
进而得出线面平行;(2)根据底面 ABCD 为等腰梯形,作 AG 垂直 BC,垂足为 G,求出 BG 和 AG,得出 AB,便可求
出底面的面积,根据 PA 与平面 ABCD 垂直,则 PBA 为直线直线 PB 与平面 ABCD 所成角,利用其正切值求出
PA,再根据锥体体积公式求出体积 .
又 DE 平面 DEF ,所以 / /DE 平面 PAB .
解:(2)作 AG BC 于点 G ,则 1BG .
在 ABG 中, 60ABG , 1BG ,则 3AG , 2AB .
由 PA 平面 ABCD 知,直线 PB 与平面 ABCD 所成角为 PBA ,故 3tan 2PBA ,
即在 PAB 中,有 3
2
PA
AB
,则 3PA .
所以,四棱锥 P ABCD 的体积 1
3 ABCDV S PA 梯形
2 4 31 3 3 33 2
.
21.【2018 届四省名校(南宁二中等)高三上第一次大联考】直角三角形 ABC 中, 90C , 4AC ,
2BC , E 是 AC 的中点, F 是线段 AB 上一个动点,且 0 1AF AB ,如图所示,沿 BE 将 CEB
翻折至 DEB ,使得平面 DEB 平面 ABE .
(1)当 1
3
时,证明: BD 平面 DEF ;
(2)是否存在 ,使得 DF 与平面 ADE 所成的角的正弦值是 2
3
?若存在,求出 的值;若不存在,请说明
理由.
【答案】(1)证明见解析;(2) 存在 1
2
,使得 DF 与平面 ADE 所成的角的正弦值为 2
3
.
【解析】试题分析:
(1)由题意可得 BD DE ,取 BF 的中点 N ,连接CN 交 BE 于 M ,当 1
3
时,由几何关系可证得 EF 平
面 DBE .则 EF BD .利用线面垂直的判断定理可得 BD 平面 DEF .
(2)建立空间直角坐标系,结合直线的方向向量与平面的法向量计算可得存在 1
2
,使得 DF 与平面 ADE 所成
的角的正弦值为 2
3
.
试题解析:
(1)在 ABC 中, 90C ,即 AC BC ,
则 BD DE ,
取 BF 的中点 N ,连接CN 交 BE 于 M ,
当 1
3
时, F 是 AN 的中点,而 E 是 AC 的中点,
∴ EF 是 ANC 的中位线,∴ EF CN .
在 BEF 中, N 是 BF 的中点,
∴ M 是 BE 的中点.
在 Rt BCE 中, 2EC BC ,
∴CM BE ,则 EF BE .
又平面 DBE 平面 ABC ,平面 DBE 平面 ABC BE ,
∴ EF 平面 DBE .
又 BD 平面 BDE ,∴ EF BD .
而 EF DE E ,∴ BD 平面 DEF .
∴ DM 平面 ABC ,
则 1,1, 2D .
假设存在满足题意的 ,则由 AF AB .
可得 4 4 ,2 ,0F ,
则 3 4 ,2 1, 2DF .
设平面 ADE 的一个法向量为 , ,n x y z ,
则 0,{
0,
n AE
n AD
即
2 0,
{
3 2 0,
x
x y z
令 2y ,可得 0x , 1z ,即 0, 2, 1n .
∴ DF 与平面 ADE 所成的角的正弦值
sin cos , DF nDF n
DF n
22 2
2 2 1 2 2
33 3 4 2 1 2
.
解得 1
2
( 3 舍去).
综上,存在 1
2
,使得 DF 与平面 ADE 所成的角的正弦值为 2
3
.
22.如图:设一正方形纸片 ABCD 边长为 2 分米,切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形,剩余为一个正方
形和四个全等的等腰三角形,沿虚线折起,恰好能做成一个正四棱锥(粘接损耗不计),图中 AH PQ ,O 为正
四棱锥底面中心.
(Ⅰ)若正四棱锥的棱长都相等,求这个正四棱锥的体积V;
(Ⅱ)设等腰三角形 APQ 的底角为 x,试把正四棱锥的侧面积 S 表示为 x 的函数,并求 S 的范围.
【答案】(1) 24 3 40
3
立方分米(2) 0 2S 平方分米
【解析】试题分析: (I)若正四棱锥的棱长都相等,则在正方形 ABCD 中,三角形 APQ 为等边三角形,由此先计
算出此正四棱锥的棱长,再利用正棱锥的性质计算其体积即可;
(II)先利用等腰三角形 APQ 的底角为 x 的特点,将侧棱长和底边长分别表示为 x 的函数,再利用棱锥的体积计
算公式将棱锥体积表示为关于 x 的函数,最后可利用均值定理求函数的值域
试题解析:
(Ⅰ)设正四棱锥底面边长为 y 分米,由条件知△APQ 为等边三角形,
又 AH PQ ,∴ 3
2AH y .
∵ 1
2OH y ,∴
2 2
2 2 3 2
2 2 2
yOA AH OH y y
.
由 2AH y AC ,即 3 2 2y y 得 2 2
3 1
y
.
∴
3
2 3
3 3
2 21 1 2 2 16
3 3 2 6 3 1 3 3 1
V y OA y
24 3 40
3
.
答:这个正四棱锥的体积是 24 3 40
3
立方分米
(或者分子、分母同时除以t ,利用“对勾函数”进行说明)
∴ 0 2S 平方分米即为所求侧面积的范围.
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