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- 2021-06-16 发布
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习题课(三)
一、选择题
1.给出下列六个命题:①两个向量相等,则它们的起点相同、终点相同;②若|a|=|b|,
则 a=b;③若AB→=DC→ ,则四边形 ABCD 是平行四边形;④平行四边形 ABCD 中,一定有AB→
=DC→ ;⑤若 m=n,n=k,则 m=k;⑥若 a∥b,b∥c,则 a∥c.
其中不正确命题的个数为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
答案:C
解析:两个向量起点相同、终点相同,则两个向量相等;但两个向量相等,却不一定有
起点相同、终点相同,故①不正确;根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅模相等,
而且方向相同,而②中方向不一定相同,故不正确;③也不正确,因为 A、B、C、D 可能
落在同一条直线上;零向量方向不确定,它与任一向量都平行,故⑥中,若 b=0,则 a 与 c
就不一定平行了,因此⑥也不正确.
2.已知|AB→|=10,|AC→|=7,则|BC→|的取值范围是( )
A.[3,17] B.(3,17)
C.(3,10) D.[3,10]
答案:A
解析:利用三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边的性质及AB→与AC→共线时
的情况求解.即|AB→|-|AC→ |≤|BC→|≤|AC→|+|AB→|,故 3≤|BC→|≤17.
3.对于非零向量 a,b,下列说法不正确的是( )
A.若 a=b,则|a|=|b|
B.若 a∥b,则 a=b 或 a=-b
C.若 a⊥b,则 a·b=0
D.a∥b 与 a,b 共线是等价的
答案:B
解析:根据平面向量的概念和性质,可知 a∥b 只能保证 a 与 b 的方向相同或相反,但
模长不确定,因此 B 错误.
4.设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a·b=( )
A.1 B.2
C.3 D.5
答案:A
解析:将已知两式左右两边分别平方,得 a2+2a·b+b2=10
a2-2a·b+b2=6
,两式相减并除以 4,可
得 a·b=1.
5.设 x,y∈R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 a⊥c,b∥c,则|a+b|等于
( )
A. 5 B. 10
C.2 5 D.10
答案:B
解析:∵a⊥c,∴2x-4=0,x=2,又 b∥c,∴2y+4=0,∴y=-2,∴a+b=(x+1,1
+y)=(3,-1).
∴|a+b|= 10.
6.对于非零向量α,β,定义一种向量积:α°β=α·β
β·β.已知非零向量 a,b 的夹角θ∈
π
4
,π
2 ,
且 a°b,b°a 都在集合
n
2|n∈N 中,则 a°b=( )
A.5
2
或3
2 B.1
2
或3
2
C.1 D.1
2
答案:D
解析:a°b=a·b
b·b
=|a|·|b|cosθ
|b|2
=|a|cosθ
|b|
=n
2
,n∈N①.同理可得 b°a=b·a
a·a
=|a|·|b|cosθ
|a|2
=|b|cosθ
|a|
=m
2
,m∈N②.再由 a 与 b 的夹角θ∈
π
4
,π
2 ,可得 cos2θ∈ 0,1
2 ,①②两式相乘得 cos2θ=mn
4
,
m,n∈N,∴m=n=1,∴a°b=n
2
=1
2
,选 D.
二、填空题
7.若向量OA→ =(1,-3),|OB→ |=|OA→ |,OA→ ·OB→ =0,则|AB→|=________.
答案:2 5
解析:因为|AB→|2=|OB→ -OA→ |2=|OB→ |2+|OA→ |2-2OA→ ·OB→ =10+10-0=20,所以|AB→|= 20
=2 5.
8.已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|= 3,a+b=( 3,1),则向量 a+b 与向量 a-b 的夹
角是________.
答案:2π
3
解析:因为|a-b|2+|a+b|2=2|a|2+2|b|2,所以|a-b|2=2|a|2+2|b|2-|a+b|2=2+6-4=4,
故|a-b|=2,因此 cos〈a-b,a+b〉=a-b·a+b
|a-b|·|a+b|
=1-3
4
=-1
2
,故所求夹角是2π
3 .
9.设正三角形 ABC 的面积为 2,边 AB,AC 的中点分别为 D,E,M 为线段 DE 上的
动点,则MB→ ·MC→ +BC→ 2 的最小值为________.
答案:5 3
2
解析:设正三角形 ABC 的边长为 2a,因为正三角形 ABC 的面积为 2,所以 a2=2 3
3 .
设 MD=x(0≤x≤a),则 ME=a-x,MB→ ·MC→ +BC→ 2=(MD→ +DB→ )·(ME→ +EC→)+BC→ 2=MD→ ·ME→ +
MD→ ·EC→ +DB→ ·ME→ +DB→ ·EC→ +BC→ 2=-x(a-x)+xacos120°+(a-x)acos120°+a2cos60°+4a2=
x2-ax+4a2,当 x=a
2
时,MB→ ·MC→ +BC→ 2 取得最小值
a
2 2-a×a
2
+4a2=15
4 a2=5 3
2 .
三、解答题
10.已知|a|=4,|b|=8,a 与 b 的夹角是 120°.
(1)求 a·b 及|a+b|的值;
(2)当 k 为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)?
解:(1)a·b=|a||b|cos120°=-16,
|a+b|= a+b2
= a2+b2+2a·b
=4 3.
(2)由题意,知(a+2b)·(ka-b)=ka2+(2k-1)a·b-2b2=0,
即 16k-16(2k-1)-2×64=0,解得 k=-7.
11.如图,在△OAB 中,P 为线段 AB 上一点,且OP→ =xOA→ +yOB→ .
(1)若AP→=PB→,求 x,y 的值;
(2)若AP→=3PB→,|OA→ |=4,|OB→ |=2,且OA→ 与OB→ 的夹角为 60°,求OP→ ·AB→的值.
解:(1)若AP→=PB→,则OP→ =1
2OA→ +1
2OB→ ,
故 x=y=1
2.
(2)若AP→=3PB→,则OP→ =1
4OA→ +3
4OB→ ,
OP→ ·AB→=
1
4OA→ +3
4OB→
·(OB→ -OA→ )
=-1
4OA→ 2-1
2OA→ ·OB→ +3
4OB→ 2
=-1
4
×42-1
2
×4×2×cos60°+3
4
×22
=-3.
能力提升
12.已知 A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D(4,6),那么四边形 ABCD 为( )
A.正方形 B.菱形
C.梯形 D.矩形
答案:D
解析:AB→=(4,-2),BC→=(3,6).
AB→·BC→=4×3+(-2)×6=0,故AB→⊥BC→.
又DC→ =(4,-2),故 AB→=DC→ .
又|AB→|= 20=2 5,|BC→|= 45=3 5,故|AB→|≠|BC→|,所以,四边形 ABCD 为矩形.
13.在平面直角坐标系中,已知三点 A(4,0),B(t,2),C(6,t),t∈R,O 为坐标原点.
(1)若△ABC 是直角三角形,求 t 的值;
(2)若四边形 ABCD 是平行四边形,求|OD→ |的最小值.
解:(1)由题意得AB→=(t-4,2),AC→=(2,t),BC→=(6-t,t-2),
若∠A=90°,则AB→·AC→=0,即 2(t-4)+2t=0,∴t=2;
若∠B=90°,则AB→·BC→=0,即(t-4)(6-t)+2(t-2)=0,
∴t=6±2 2;
若∠C=90°,则AC→·BC→=0,即 2(6-t)+t(t-2)=0,无解,
∴满足条件的 t 的值为 2 或 6±2 2.
(2)若四边形 ABCD 是平行四边形,则AD→ =BC→,设点 D 的坐标为(x,y),
即(x-4,y)=(6-t,t-2),∴ x=10-t
y=t-2
,即 D(10-t,t-2),
∴|OD→ |= 10-t2+t-22
= 2t2-24t+104,
∴当 t=6 时,|OD→ |取得最小值 4 2.
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