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  • 2021-06-16 发布

高中人教a版数学必修4:习题课(三) word版含解析

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习题课(三) 一、选择题 1.给出下列六个命题:①两个向量相等,则它们的起点相同、终点相同;②若|a|=|b|, 则 a=b;③若AB→=DC→ ,则四边形 ABCD 是平行四边形;④平行四边形 ABCD 中,一定有AB→ =DC→ ;⑤若 m=n,n=k,则 m=k;⑥若 a∥b,b∥c,则 a∥c. 其中不正确命题的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案:C 解析:两个向量起点相同、终点相同,则两个向量相等;但两个向量相等,却不一定有 起点相同、终点相同,故①不正确;根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅模相等, 而且方向相同,而②中方向不一定相同,故不正确;③也不正确,因为 A、B、C、D 可能 落在同一条直线上;零向量方向不确定,它与任一向量都平行,故⑥中,若 b=0,则 a 与 c 就不一定平行了,因此⑥也不正确. 2.已知|AB→|=10,|AC→|=7,则|BC→|的取值范围是( ) A.[3,17] B.(3,17) C.(3,10) D.[3,10] 答案:A 解析:利用三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边的性质及AB→与AC→共线时 的情况求解.即|AB→|-|AC→ |≤|BC→|≤|AC→|+|AB→|,故 3≤|BC→|≤17. 3.对于非零向量 a,b,下列说法不正确的是( ) A.若 a=b,则|a|=|b| B.若 a∥b,则 a=b 或 a=-b C.若 a⊥b,则 a·b=0 D.a∥b 与 a,b 共线是等价的 答案:B 解析:根据平面向量的概念和性质,可知 a∥b 只能保证 a 与 b 的方向相同或相反,但 模长不确定,因此 B 错误. 4.设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a·b=( ) A.1 B.2 C.3 D.5 答案:A 解析:将已知两式左右两边分别平方,得 a2+2a·b+b2=10 a2-2a·b+b2=6 ,两式相减并除以 4,可 得 a·b=1. 5.设 x,y∈R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 a⊥c,b∥c,则|a+b|等于 ( ) A. 5 B. 10 C.2 5 D.10 答案:B 解析:∵a⊥c,∴2x-4=0,x=2,又 b∥c,∴2y+4=0,∴y=-2,∴a+b=(x+1,1 +y)=(3,-1). ∴|a+b|= 10. 6.对于非零向量α,β,定义一种向量积:α°β=α·β β·β.已知非零向量 a,b 的夹角θ∈ π 4 ,π 2 , 且 a°b,b°a 都在集合 n 2|n∈N 中,则 a°b=( ) A.5 2 或3 2 B.1 2 或3 2 C.1 D.1 2 答案:D 解析:a°b=a·b b·b =|a|·|b|cosθ |b|2 =|a|cosθ |b| =n 2 ,n∈N①.同理可得 b°a=b·a a·a =|a|·|b|cosθ |a|2 =|b|cosθ |a| =m 2 ,m∈N②.再由 a 与 b 的夹角θ∈ π 4 ,π 2 ,可得 cos2θ∈ 0,1 2 ,①②两式相乘得 cos2θ=mn 4 , m,n∈N,∴m=n=1,∴a°b=n 2 =1 2 ,选 D. 二、填空题 7.若向量OA→ =(1,-3),|OB→ |=|OA→ |,OA→ ·OB→ =0,则|AB→|=________. 答案:2 5 解析:因为|AB→|2=|OB→ -OA→ |2=|OB→ |2+|OA→ |2-2OA→ ·OB→ =10+10-0=20,所以|AB→|= 20 =2 5. 8.已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|= 3,a+b=( 3,1),则向量 a+b 与向量 a-b 的夹 角是________. 答案:2π 3 解析:因为|a-b|2+|a+b|2=2|a|2+2|b|2,所以|a-b|2=2|a|2+2|b|2-|a+b|2=2+6-4=4, 故|a-b|=2,因此 cos〈a-b,a+b〉=a-b·a+b |a-b|·|a+b| =1-3 4 =-1 2 ,故所求夹角是2π 3 . 9.设正三角形 ABC 的面积为 2,边 AB,AC 的中点分别为 D,E,M 为线段 DE 上的 动点,则MB→ ·MC→ +BC→ 2 的最小值为________. 答案:5 3 2 解析:设正三角形 ABC 的边长为 2a,因为正三角形 ABC 的面积为 2,所以 a2=2 3 3 . 设 MD=x(0≤x≤a),则 ME=a-x,MB→ ·MC→ +BC→ 2=(MD→ +DB→ )·(ME→ +EC→)+BC→ 2=MD→ ·ME→ + MD→ ·EC→ +DB→ ·ME→ +DB→ ·EC→ +BC→ 2=-x(a-x)+xacos120°+(a-x)acos120°+a2cos60°+4a2= x2-ax+4a2,当 x=a 2 时,MB→ ·MC→ +BC→ 2 取得最小值 a 2 2-a×a 2 +4a2=15 4 a2=5 3 2 . 三、解答题 10.已知|a|=4,|b|=8,a 与 b 的夹角是 120°. (1)求 a·b 及|a+b|的值; (2)当 k 为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)? 解:(1)a·b=|a||b|cos120°=-16, |a+b|= a+b2 = a2+b2+2a·b =4 3. (2)由题意,知(a+2b)·(ka-b)=ka2+(2k-1)a·b-2b2=0, 即 16k-16(2k-1)-2×64=0,解得 k=-7. 11.如图,在△OAB 中,P 为线段 AB 上一点,且OP→ =xOA→ +yOB→ . (1)若AP→=PB→,求 x,y 的值; (2)若AP→=3PB→,|OA→ |=4,|OB→ |=2,且OA→ 与OB→ 的夹角为 60°,求OP→ ·AB→的值. 解:(1)若AP→=PB→,则OP→ =1 2OA→ +1 2OB→ , 故 x=y=1 2. (2)若AP→=3PB→,则OP→ =1 4OA→ +3 4OB→ , OP→ ·AB→= 1 4OA→ +3 4OB→ ·(OB→ -OA→ ) =-1 4OA→ 2-1 2OA→ ·OB→ +3 4OB→ 2 =-1 4 ×42-1 2 ×4×2×cos60°+3 4 ×22 =-3. 能力提升 12.已知 A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D(4,6),那么四边形 ABCD 为( ) A.正方形 B.菱形 C.梯形 D.矩形 答案:D 解析:AB→=(4,-2),BC→=(3,6). AB→·BC→=4×3+(-2)×6=0,故AB→⊥BC→. 又DC→ =(4,-2),故 AB→=DC→ . 又|AB→|= 20=2 5,|BC→|= 45=3 5,故|AB→|≠|BC→|,所以,四边形 ABCD 为矩形. 13.在平面直角坐标系中,已知三点 A(4,0),B(t,2),C(6,t),t∈R,O 为坐标原点. (1)若△ABC 是直角三角形,求 t 的值; (2)若四边形 ABCD 是平行四边形,求|OD→ |的最小值. 解:(1)由题意得AB→=(t-4,2),AC→=(2,t),BC→=(6-t,t-2), 若∠A=90°,则AB→·AC→=0,即 2(t-4)+2t=0,∴t=2; 若∠B=90°,则AB→·BC→=0,即(t-4)(6-t)+2(t-2)=0, ∴t=6±2 2; 若∠C=90°,则AC→·BC→=0,即 2(6-t)+t(t-2)=0,无解, ∴满足条件的 t 的值为 2 或 6±2 2. (2)若四边形 ABCD 是平行四边形,则AD→ =BC→,设点 D 的坐标为(x,y), 即(x-4,y)=(6-t,t-2),∴ x=10-t y=t-2 ,即 D(10-t,t-2), ∴|OD→ |= 10-t2+t-22 = 2t2-24t+104, ∴当 t=6 时,|OD→ |取得最小值 4 2.