高中数学4_2曲线的极坐标方程课后训练苏教版选修4-41 4页

4.2 曲线的极坐标方程 练习 1．极坐标方程为ρ＝2cos θ的圆的半径为__________． 2．△ABC 中，底边 BC＝10，∠A＝ 1 2 ∠B，以 B 为极点，BC 为极轴，求顶点 A 的轨迹的 极坐标方程为__________． 3．曲线的极坐标方程为ρ＝cos θ－sin θ，则其直角坐标方程为__________，轨迹 为__________． 4．已知一条直线的极坐标方程为 π 2sin 4 2       ，则极点到该直线的距离是 __________． 5．过 π2, 4A     且平行于极轴的直线的极坐标方程是__________． 6．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0 为直角坐标方程为__________． 7．圆心在点(－1,1)处，且过原点的圆的极坐标方程为__________． 8．求圆心在 3π2, 2A     ，并且过极点的圆的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程． 9．已知双曲线的极坐标方程为 3 1 2cos    ，过极点作直线与它交于 A，B 两点，且 |AB|＝6，求直线 AB 的极坐标方程． 10．已知在△ABC 中，AB＝6，AC＝4，当∠A 变化时，求∠A 的平分线与 BC 的中垂线的 交点 P 的轨迹的极坐标方程． 参考答案 1. 答案：1 解析：∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，即 x2＋y2＝2x. 化简，得(x－1)2＋y2＝1.∴圆的半径为 1. 2. 答案：ρ＝10＋20cos θ 解析：如图，令 A(ρ，θ)． 在△ABC 中，有∠B＝θ， 2A   ，又|BC|＝10，|AB|＝ρ.于是由正弦定理，得 10 3 sinsin π 22        ，化简，得 A 点轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cos θ. 3. 答案： 2 21 1 1 2 2 2x y             以 1 1,2 2     为圆心， 2 2 为半径的圆 解析：由ρ＝cos θ－sin θ，得ρ2＝ρcos θ－ρsin θ， 即 x2＋y2＝x－y. 整理，得 2 21 1 1 2 2 2x y             ， 其轨迹为以 1 1,2 2     为圆心， 2 2 为半径的圆． 4. 答案： 2 2 解析：∵ π π πsin sin cos cos sin4 4 4          ＝ ＋ 2 2 2sin cos2 2 2    ＝ ＋ ＝ ， ∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，即 x＋y＝1. 则极点到该直线的距离 | 0 0 1| 2 22 d    . 5. 答案：ρsin θ＝ 2 解析：如图所示，设 M(ρ，θ)(ρ≥0)是直线上任意一点，连接 OM，并过 M 作 MH⊥x 轴于 H， ∵ π2, 4A     ，∴ π2sin 24MH   . 在 Rt△OMH 中，|MH|＝|OM|sin θ， 即ρsin θ＝ 2 ， ∴过 π2, 4A     且平行于极轴的直线方程为ρsin θ＝ 2 . 6. 答案：x2＋y2＝0 或 x＝1 解析：ρ2cos θ－ρ＝0 ρ(ρcos θ－1)＝0， 得ρ＝0 或ρcos θ－1＝0， 即 x2＋y2＝0 或 x＝1. 7. 解析：如图所示，圆的半径为  2 21 1 2   ， ∴圆的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2， 即 x2＋y2＝－2(x－y)， 化为极坐标方程，得ρ2＝－2(ρcos θ－ρsin θ)， 即ρ＝2(sin θ－cos θ)． 答案：ρ＝2(sin θ－cos θ) 8. 解：如图，设 M(ρ，θ)为圆上除 O，B 外的任意一点，连接 OM，MB，则有 OB＝4， OM＝ρ，∠MOB＝θ－ 3π 2 ， π 2BMO  ，从而△BOM 为直角三角形，所以有|OM|＝ |OB|cos∠MOB，即 3π4cos 4sin 2          ，故所求圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ， 所以 x2＋y2＝－4y，即 x2＋(y＋2)2＝4 为所求圆的直角坐标方程． 9. 解：设直线 AB 的极坐标方程为θ＝θ1 ，A(ρ1 ，θ1)，B(ρ2 ，θ1 ＋π)．则 1 1 3 1 2cos    ， 2 1 1 3 3 1 2cos( π) 1 2cos       . 1 2 1 1 3 3| | 1 2cos 1 2cosAB      ＝ ＋ ＝ ＝ 2 1 6 1 4cos  ＝6， ∴ 2 1 1 11 4cos   ＝ .∴cos θ1＝0 或 1 2cos 2    . 故直线 AB 的极坐标方程为 π 2   或 π 4   或 3π 4   10. 解：如图，取 A 为极点，AB 所在射线为极轴，建立极坐标系， ∵AP 平分∠BAC，MP 为 BC 的中垂线，∴PB＝PC. 设 π π( ) 0, 2 2P             ， 且 0 ， 则 PC2＝AP2＋AC2－2AP·AC·cos θ＝ρ2＋16－8ρcos θ， PB2＝AP2＋AB2－2AP·ABcos θ＝ρ2＋36－12ρcos θ， ∴ρ2＋16－8ρcos θ＝ρ2＋36－12ρcos θ， 即 π πcos 5 0, 2 2              且 0 . ∴点 P 的轨迹的极坐标方程为 π πcos 5 0, 2 2              且 0 .