高中数学人教a版选修2-3第二章随机变量及其分布2-2-2-2-3学业分层测评word版含答案 6页

学业分层测评 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．一头病猪服用某药品后被治愈的概率是 90%，则服用这种药的 5 头病猪中 恰有 3 头猪被治愈的概率为( ) A．0.93 B．1－(1－0.9)3 C．C35×0.93×0.12 D．C35×0.13×0.92 【解析】 由独立重复试验恰好发生 k 次的概率公式知，该事件的概率为 C35×0.93×(1－0.9)2. 【答案】 C 2．假设流星穿过大气层落在地面上的概率为1 4 ，现有流星数量为 5 的流星群 穿过大气层有 2 个落在地面上的概率为( ) A. 1 16 B.135 512 C. 45 512 D. 27 1 024 【解析】 此问题相当于一个试验独立重复 5 次，有 2 次发生的概率，所以 P ＝C25· 1 4 2· 3 4 3＝135 512. 【答案】 B 3．在 4 次独立重复试验中事件出现的概率相同．若事件 A 至少发生 1 次的概 率为65 81 ，则事件 A 在 1 次试验中出现的概率为( ) A.1 3 B.2 5 C.5 6 D.3 4 【解析】 设所求概率为 p，则 1－(1－p)4＝65 81 ，得 p＝1 3. 【答案】 A 4．位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移 动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是1 2 ，质点 P 移动五次后位 于点(2,3)的概率是( ) 【导学号：97270045】 A. 1 2 5 B．C25× 1 2 5 C．C35× 1 2 3 D．C25×C35× 1 2 5 【解析】 如图，由题可知，质点 P 必须向右移动 2 次，向上移动 3 次才能位于点(2,3)， 问题相当于 5 次独立重复试验向右恰好发生 2 次的概率．所以概率为 P＝C25× 1 2 2× 1 2 3＝C25 1 2 5.故选 B. 【答案】 B 5．若随机变量ξ～B 5，1 3 ，则 P(ξ＝k)最大时，k 的值为( ) A．1 或 2 B．2 或 3 C．3 或 4 D．5 【解析】 依题意 P(ξ＝k)＝Ck5× 1 3 k× 2 3 5－k，k＝0,1,2,3,4,5. 可以求得 P(ξ＝0)＝ 32 243 ，P(ξ＝1)＝ 80 243 ，P(ξ＝2)＝ 80 243 ，P(ξ＝3)＝ 40 243 ，P(ξ＝ 4)＝ 10 243 ，P(ξ＝5)＝ 1 243.故当 k＝2 或 1 时，P(ξ＝k)最大． 【答案】 A 二、填空题 6．已知汽车在公路上行驶时发生车祸的概率为 0.001，如果公路上每天有 1 000 辆汽车通过，则公路上发生车祸的概率为________；恰好发生一起车祸的概率为 ________．(已知 0.9991 000≈0.367 70,0.999999≈0.368 06，精确到 0.000 1) 【解析】 设发生车祸的车辆数为 X，则 X～B(1 000，0.001)． (1)记事件 A：“公路上发生车祸”，则 P(A)＝1－P(X＝0)＝1－0.9991 000≈1 －0.367 70＝0.632 3. (2)恰好发生一次车祸的概率为 P(X＝1)＝C11 000×0.001×0.999999≈0.368 06≈0.368 1. 【答案】 0.632 3 0.368 1 7．在等差数列{an}中，a4＝2，a7＝－4，现从{an}的前 10 项中随机取数，每 次取出一个数，取后放回，连续抽取 3 次，假定每次取数互不影响，那么在这三 次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为______．(用数字作答) 【解析】 由已知可求通项公式为 an＝10－2n(n＝1,2,3，…)，其中 a1，a2， a3，a4 为正数，a5＝0，a6，a7，a8，a9，a10 为负数，∴从中取一个数为正数的概率 为 4 10 ＝2 5 ，取得负数的概率为1 2. ∴取出的数恰为两个正数和一个负数的概率为 C23× 2 5 2× 1 2 1＝ 6 25. 【答案】 6 25 8．下列说法正确的是________．(填序号) ①某同学投篮的命中率为 0.6，他 10 次投篮中命中的次数 X 是一个随机变量， 且 X～B(10,0.6)； ②某福彩的中奖概率为 p，某人一次买了 8 张，中奖张数 X 是一个随机变量， 且 X～B(8，p)； ③从装有 5 个红球、5 个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则 摸球次数 X 是随机变量，且 X～B n，1 2 . 【解析】 ①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球， 但随机变量 X 的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最 后一次是白球，不符合二项分布的定义． 【答案】 ①② 三、解答题 9．(2016·滨州高二检测)某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医， 方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区 医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁 4 名参加保险人员所在地区有 A， B，C 三家社区医院，并且他们的选择相互独立．设 4 名参加保险人员选择 A 社区 医院的人数为 X，求 X 的分布列． 【解】 由已知每位参加保险人员选择 A 社区的概率为1 3 ，4 名人员选择 A 社 区即 4 次独立重复试验， 即 X～B 4，1 3 ，所以 P(X＝k)＝Ck4· 1 3 k· 2 3 4－k(k＝0,1,2,3,4)，所以 X 的分布列 为 X 0 1 2 3 4 P 16 81 32 81 24 81 8 81 1 81 10.(2016·柳州高二检测)甲、乙两队在进行一场五局三胜制的排球比赛中，规 定先赢三局的队获胜，并且比赛就此结束，现已知甲、乙两队每比赛一局，甲队 获胜的概率为3 5 ，乙队获胜的概率为2 5 ，且每局比赛的胜负是相互独立的． (1)求甲队以 3∶2 获胜的概率； (2)求乙队获胜的概率． 【解】 (1)设甲队以 3∶2 获胜的概率为 P1，则 P1＝C24 3 5 2· 2 5 2·3 5 ＝ 648 3 125. (2)设乙队获胜的概率为 P2，则 P2＝ 2 5 3＋C23 2 5 2·3 5·2 5 ＋C24 2 5 2· 3 5 2·2 5 ＝ 992 3 125. [能力提升] 1．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3 局 2 胜”，即以先赢 2 局者 为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为 0.6，则本次比赛甲获胜的概率是 ( ) A．0.216 B．0.36 C．0.432 D．0.648 【解析】 甲获胜有两种情况，一是甲以 2∶0 获胜，此时 p1＝0.62＝0.36；二 是甲以 2∶1 获胜，此时 p2＝C12×0.6×0.4×0.6＝0.288，故甲获胜的概率 p＝p1＋ p2＝0.648. 【答案】 D 2．(2016·孝感高级中学期中)掷一枚质地均匀的骰子 n 次，设出现 k 次点数为 1 的概率为 Pn(k)，若 n＝20，则当 Pn(k)取最大值时，k 为( ) A．3 B．4 C．8 D．10 【解析】 掷一枚质地均匀的骰子 20 次，其中出现点数为 1 的次数为 X，X～ B 20，1 6 ，Pn(k)＝Ck20· 5 6 20－k· 1 6 k. Pnk Pnk－1 ＝1 5 21 k －1 . 当 1≤k≤3 时，1 5 21 k －1 >1，Pn(k)>Pn(k－1)．当 k≥4 时，1 5 21 k －1 <1，Pn(k)