高考数学总复习第八章立体几何课时规范练42空间向量及其运算理新人教A版 7页

课时规范练 42 空间向量及其运算 一、基础巩固组 1.已知空间四边形 OABC 中, =a, =b, =c,点 M 在 OA 上,且 OM=2MA,N 为 BC 中点,则 =( ) A. a- b+ c B.- a+ b+ c C. a+ b- c D. a+ b- c 2.设一地 球仪的球心为空间直角坐标系的原点 O,球面上的两个点 A,B 的坐标分别为 A(1,2,2),B(2,-2,1),则|AB|等于( ) A.18 B.12 C.3 D.2 3.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 为上底面 A 1C1 的中心,若 +x +y ,则 x,y 的值分别 为( ) A.x=1,y=1 B.x=1,y= C.x= ,y= D.x= ,y=1 4.向量 a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),下列结论正确的是( ) A.a∥b,a∥c B.a∥b,a⊥c C.a∥c,a⊥b D.以上都不对 5.A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足 =0, =0, =0,M 为 BC 中点,则△AMD 是 ( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 6.(2017 浙江舟山模拟)平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量 两两的夹角均为 60°,且 | |=1,| |=2,| |=3,则| |等于( ) A.5 B.6 C.4 D.8 7.已知空间向量 a,b,满足|a|=|b|=1,且 a,b 的夹角为 ,O 为空间直角坐标系的原点,点 A,B 满足 =2a+b, =3a-b,则△OAB 的面积为 . 8.在空间直角坐标系中,以点 A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)为顶点的△ABC 是以 BC 为斜边的等 腰直角三角形,则实数 x 的值为 . 9.(2017 宁夏银川模拟)已知点 A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若 =2 ,则| |的值 是 . 10. 如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,G 为△BC1D 的重心, 求证:(1)A1,G,C 三点共线; (2)A1C⊥平面 BC1D. 〚导学号 21500751〛 二、综合提升组 11.已知 =(2,2,-2), =(1,y,z),若 =(x-1,y,1),且 BP⊥AB,则实数 x,y,z 分别为 ( ) A.5,-1,1 B.1,1,-1 C.-3,1,1 D.4,1,-2 12.(2017 安徽合肥质检)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=1,BC=2,AA1=3,点 M 是 BC 的中点,点 P∈AC1,Q ∈MD,则 PQ 长度的最小值为( ) A.1 B. C. D.2 13.(2017 内蒙古包头模拟)如图所示,PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面,AB=2,E 为 PB 的中 点,cos< >= ,若以 DA,DC,DP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则点 E 的坐标 为 . 〚导学号 21500752〛 14.在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,PD=DC,E,F 分别是 AB,PB 的中点. (1)求证:EF⊥CD. (2)在平面 PAD 内是否存在一点 G,使 GF⊥平面 PCB.若存在,求出点 G 坐标;若不存在,试说明理由. 三、创新应用组 15.如图,四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点 M 在线段 PQ 上,E,F 分别 为 AB,BC 的中点.设异面直线 EM 与 AF 所成的角为θ,则 cos θ的最大值为 . 16.如图所示的直三棱柱 ABC-A1B1C1,在其底面三角形 ABC 中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱 AA1=2,M,N 分 别是 A1B1,A1A 的中点. (1)求 的模; (2)求 cos< >的值; (3)求证:A1B⊥C1M. 〚导学号 21500753〛 课时规范练 42 空间向量及其运算 1.B )- =- a+ b+ c. 2.C |AB|= =3 3.C 如图, )= 4.C 因为 c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1)=2a,所以 a∥c.又 a·b=(-2)×2+(-3)×0+1×4=0,所以 a⊥b. 5.C ∵M 为 BC 中点, ). ) =0. ∴AM⊥AD,△AMD 为直角三角形. 6.A 设 =a, =b, =c,则 =a+b+c,| |2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=25,因此| |=5. 7 由 =2a+b, =3a-b,得 | |= ,| |= =(2a+b)·(3a-b)= ∴cos∠BOA= , ∴sin∠BOA= ∴S△OAB= || |sin∠BOA= 8.2 由题意知 =0,| |=| | =(6,-2,-3), =(x-4,3,-6), 解得 x=2. 9 设 P(x,y,z),则 =(x-1,y-2,z-1), =(-1-x,3-y,4-z).由 =2 ,得点 P 坐标为 又 D(1,1,1),∴| |= 10.证明 (1) )= ) = )= , ,即 A1,G,C 三点共线. (2)设 =a, =b, =c, 则|a|=|b|=|c|=a, 且 a·b=b·c=c·a=0. =a+b+c, =c-a, =(a+b+c)·(c-a) =c2-a2=0. 因此 , 即 CA1⊥BC1. 同理 CA1⊥BD . 又 BD与 BC1 是平面 BC1D 内的两条相交直线,故 A1C⊥平面 BC1D. 11.B , =- ,解得 y=1,z=-1. ∵BP⊥AB,∴2(x-1)+2y-2=0,解得 x=1. 12.C 根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,设 P(x0,2x0,3-3x0),Q(x1,2-x1,3),x0∈[0,1],x1∈ [0, 1],所以 PQ= , 当且仅当 x0= ,x1= 时,PQ 取得最小值,即 PQmin= 13.(1,1,1) 由已知得 D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0), 设 P(0,0,a)(a>0),则 E ,所以 =(0,0,a), ,| |=a,| |= 又 cos< >= ,所以 ,解得 a2=4,即 a=2,所以 E(1,1,1). 14.(1)证明 如图,以 DA,DC,DP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设 AD=a,则 D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E ,P(0,0,a),F =(0,a,0). =0, , 即 EF⊥CD. (2)解 假设存在满足条件的点 G,设 G(x,0,z), 则 ,若使 GF⊥平面 PCB, 则由 x- ,- ,z- (a,0,0)=a =0,得 x= 由 x- ,- ,z- (0,-a,a)= +a =0,得 z=0. ∴点 G 坐标为 ,即存在满足条件的点 G,且点 G 为 AD 的中点. 15 以 A 为坐标原点,射线 AB,AD,AQ 分别为 x,y,z 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方形 ABCD 和 ADPQ 的边长为 2,则 E(1,0,0),F(2,1,0),M(0,y,2)(0≤y≤2). 所以 =(2,1,0), =(-1,y,2). 所以 =-2+y,| |= ,| |= 所以 cos θ= = 令 2-y=t, 则 y=2-t,且 t∈[0,2]. 所以 cos θ= = 当 t=0 时,cos θ=0. 当 t≠0 时, cos θ= = , 由 t∈(0,2],得 , 所以 所以 0= = (3)证明 依题意,得 C1(0,0,2),M =(-1,1,-2), , =- +0=0. ,∴A1B⊥C1M.