高考数学黄金考点精析精训考点13解三角形文 20页

考点 13 解三角形 【考点剖析】 1.最新考试说明： (1)考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容. (2)考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． (3)考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法． 2.命题方向预测： (1)利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点． (2)常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等. 3.课本结论总结： （1）正弦定理： a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C （2）余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC． 余弦定理可以变形为：cos A＝b2＋c2－a2 2bc ，cos B＝a2＋c2－b2 2ac ，cos C＝a2＋b2－c2 2ab . （3）S△ABC＝1 2 absin C＝1 2 bcsin A＝1 2 acsin B （4）已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知 a，b，A，则 A 为锐角 A 为钝角或直 角 图形 关系 式 a＜bsin A a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的 个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 （5）常见题型： 在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边 的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分． 余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 4.名师二级结论： （1）在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A＞B  a＞b  sin A＞sin B. （2）正弦定理的变形： a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2R，其中 R 是三角形外接圆的半径． ①a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； ②a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ③sin A＝ a 2R ，sin B＝ b 2R ，sin C＝ c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题． （4）三角形的面积公式：S△ABC＝1 2 absin C＝1 2 bcsin A＝1 2 acsin B＝abc 4R ＝1 2 (a＋b＋c)·r(R 是三角形外接 圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r. （5）解三角形的常用途径： ①化边为角；②化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 5.课本经典习题： (1)新课标 A 版第 10 页，第 B2 题（例题）在 ABC 中，如果有性质 BbAa coscos  ，试问这个三角 形的形状具有什么特点． 【经典理由】一题多解，既可利用正弦定理进行求解，也可利用余弦定理进行求解。 新课标 A 版第 25 页，第 B3 题（例题）研究一下，一个三角形能否同时具有一下两个性质： （1）三边是连续的三个自然数；（2）最大角是最小角的 2 倍. 【解析】设三角形的三边长依次为 1,,1  nnn ，对应角依次为 ABA 2,, ;由正弦定理，得 1 1 sin 2sin   n n A A ， 则 1 1cos2   n nA ，又由余弦定理得 1 1 )1( )1()1( 222    n n nn nnn ，化简得 2)1()1)(4(  nnn ， 解得 5n ，即存在这样的三角形，边长依次为 4,5,6. 【经典理由】综合考查解三角形与二倍角公式. 6.考点交汇展示： (1) 与三角函数的图像与性质的交汇 【2018 届辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上第一次联考】已知函数   sin ( 0)f x x   在区间 0, 3      上单调递增，在区间 2,3 3       上单调递减．如图，四边形OACB 中， , ,a b c 为 ABC 的 内角 , ,A B C 的对边，且满足 4 cos cossin sin 3 sin cos B CB C A A     ． （1）证明： 2b c a  ； （2）若b c ，设 AOB   ， (0 )   ， 2 2OA OB  ，求四边形OACB 面积的最大值． 【答案】（1）见解析;（2） 5 32 4  . 【解析】试题分析:（1）由题意知 2 4 3     ，解得 3 2   ，代入已知条件化简可得: sin sin 2sinC B A  , 再由正弦定理可得 2b c a  ；(2)由条件和(1)的结论可得 ABC 为等边三角形，可得 OACB OAB ABCS S S    21 3•2 4OA OBsin AB  ,化简为 5 32sin 3 4      ，由  0,  求得最 大值. （2）因为 2b c a  ， b c ，所以 a b c  ，所以 ABC 为等边三角形， OACB OAB ABCS S S    21 3•2 4OA OBsin AB  3sin 4    2 2 2 •OA OB OA OBcos  5 33 4sin cos    5 32sin 3 4       ， ∵  0,  ，∴ 2,3 3 3          ， 当且仅当 3 2     ，即 5 6   时取最大值， OACBS 的最大值为 5 32 4  . （2）与平面向量的交汇 【2017 浙江，14】已知向量 a，b 满足 1, 2, a b 则   a b a b 的最小值是________，最大值是 _______． 【答案】4， 2 5 【解析】 (3)与实际问题的交汇 【全国百强校】2018 届江苏省泰州中学高三 10 月月考】如图所示，某工厂要设计一个三角形原料，其中 3AB AC . （1）若 2BC  ，求 ABC 的面积的最大值； （2）若 ABC 的面积为1，问 BAC   为何值时 BC 取得最小值. 【答案】（1） 3 ；（2） 6   时，  f  有最小值，即 BC 最小. 【解析】试题分析：（1）建系设点，根据条件求出 A 的轨迹方程，则三角形的高为圆上动点到直线的距 离，数形结合可求三角形面积的最大值．（2）设 , ,AB c BC a AC b   ，表示出三角形面积，求出 BC=    8 3 4cos , 0,3sin sinf       ，利用导数求其最值即可. （2）设 , ,AB c BC a AC b   ，由 3AB AC 得 3c b . 2 2 21 1 2 3 2 3sin 3 sin , sin2 2 3 3sinS bc A b A b b        2 2 2 2 2 8 3 4cos2 cos 4 2 3 cos 3sin sina b c bc A b b A          令    8 3 4cos , 0,3sin sinf       ，   2 2 2 8 3cos 4 8 3cos 12 3sin sin 3sinf           令   0f   得 3cos ,2 6    ，列表：略.  f  在 0, 6      上单调递减， 在 ,6       上单调递增，当 6   时，  f  有最小值，即 BC 最小. 【考点分类】 热点一 利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长 1.【2017 课标 1，文 11】△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c．已知sin sin (sin cos ) 0B A C C   ， a=2，c= 2 ，则 C= A． π 12 B． π 6 C． π 4 D． π 3 【答案】B 【解析】 2.【2017 山东，文 17】在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=3, 6AB AC    ,S△ABC=3,求 A 和 a. 【答案】 3= π, = 29.4A a 【解析】 试题分析：先由数量积公式及三角形面积公式得, 3 cos 6 1 3 sin 32 c A c A     ,由此求 A,再利用余弦定理求 a. 试题解析：因为 6AB AC    ， 所以 cos 6bc A   ， 又 3ABCS  ， 所以 sin 6bc A  ， 因此 tan 1A   ，又 0 A   ， 所以 3 4A  ， 又 3b  ，所以 2 2c  ， 由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A   ， 得 2 29 8 2 3 2 2 ( ) 292a         ， 所以 29a  . 【方法规律】 (1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． (2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难 点，应引起注意． （3）已知三边，解三角形，利用余弦定理； （4）已知两边与夹角解三角形，利用余弦定理； 【解题技巧】 在处理解三角形过程中，要注意“整体思想”的运用，可起到事半功倍的效果。 如：在△ABC 中，BC＝a，AC＝b，a，b 是方程 02322  xx 的两个根，且   1cos2  BA 。求： (1) 角 C 的度数； (2)AB 的长度。 【解析}（1）      2 1coscoscos  BABAC  C＝120° （2）由题设：      32 2 ba ab  120cos2cos2 22222 abbaCBCACBCACAB     10232 2222  abbaabba 10 AB 【易错点睛】 已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点， 应引起注意． 如：在△ABC 中，a＝ 32 ，b＝ 22 ，B＝45°，则 A 等于（ ） A．30° B．60° C．60°或 120° D． 30°或 150° 【解析】由正弦定理，可得 045sin 22 sin 32  A ，解得 2 3sin A ; 因为 2 3 2 2a b   ， 4  BA ,所以 00 12060 或A ，故选 C. 热点二 利用正余弦定理判断三角形形状 1.若 3a b c b c a bc    （ ）（ ） ，且 2sinA sinBcosC ，那么 ABC 是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C.等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】∵    bcacbcba 3 ，∴      bcacbacb 3 ，∴   bcacb 322  ， 222 acbcb  ，根据余弦定理有 Abccba cos2222  ，∴ Abccbacbcb cos222222  ， 即 Abcbc cos2 ，即 2 1cos A ，∴ 60A ，又由 CBA cossin2sin  ，则 AB A cos2sin sin  ，即        bc acb b a 22 222 ，化简可得， 22 cb  ，即 cb  ，∴ ABC 是等边三角形，故选 B． 2. ABC 中，若 2lgsinlglglg  Bca 且 )2,0( B ，则 ABC 的形状是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 【答案】C 【方法规律】 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法： 1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断 三角形的形状； 2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的 关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 A＋B＋C＝π这个结论． 【解题技巧】 熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用 如：在 ABC 中，已知 bccba  222 ，则角 A 为（ ） A. 3  B. 6  C. 3 2 D. 3  或 3 2 【解析】考虑余弦定理的公式特点，则： bccba  222 ， bcacb  222 ， 则 2 1 22cos 222  bc bc bc acbA ，又  A0 ， 3 2 A ,故选 C. 【易错点睛】 在利用正弦定理或余弦定理判定三角形的形状时，在化简过程中，要保证等价变形，一定不要漏解。如： (1)新课标 A 版第 10 页，第 B2 题（例题）在 ABC 中，如果有性质 BbAa coscos  ，试问这个三角 形的形状具有什么特点． 热点三 利用正余弦定理求三角形面积 1.在 ABC 中， 60 , 4, 2 3A AC BC    ,则 ABC 的面积等于_________. 【答案】 2 3 【解析】由正弦定理可得 0sin 1, 90B B   .所以 ABC 的面积等于 2 3 . 2.【2017 北京，理 15】在△ABC 中， A =60°，c= 3 7 a. （Ⅰ）求 sinC 的值； （Ⅱ）若 a=7，求△ABC 的面积. 【答案】（Ⅰ） 3 3 14 ；（Ⅱ） 9 34 . 【解析】 【方法规律】 常用三角形的面积公式 ① ahS 2 1 ② BacAbcCabS sin2 1sin2 1sin2 1  ③ ( )( )( )S p p a p b p c p r    ＝ (p 是周长的一半，即 2 a b cp  ＝ ，r 为内切圆半径)； ④ 4 abcS R ＝ (R 为外接圆半径)． 【解题技巧】 在解三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的综合使用. 如： ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，且 2 cos + 2bc C c a ． （1）求角 B 的大小； （2）若 BD 为 AC 边上的中线， 1cos 7A  ， 129 2BD  ，求 ABC 的面积． 【答案】（1） 3B  ．（2）10 3 ． 【解析】（1） acCb 2cos2  ，由正弦定理，得 ACCB sin2sincossin2  ， ∵ A B C    ，∴sin sin( ) sin cos cos sinA B C B C B C    ， ∴ 2sin cos sin 2(sin cos cos sin )B C C B C B C   ，∴ CBC sincos2sin  ∵  C0 ，∴以 0sin C ，∴ 2 1cos B ． 又∵  B0 ，∴ 3B  ． （2）在 ABD 中，由余弦定理得 2 2 2129( ) ( ) 2 cos2 2 2 b bc c A    ，∴ 2 2129 1 4 4 7 bc bc   …①， 在 ABC 中，由正弦定理得 sin sin c b C B  ，由已知得 4 3sin 7A  . ∴sin sin( )C A B  sin cos cos sinA B A B  5 3 14  ，∴ 5 7c b ……②， 由①，②解得 7 5 b c    ，∴ 1 sin 10 32ABCS bc A  ． 【易错点睛】 在利用面积公式解三角形时，要注意不要漏解.如： 已知△ABC 的面积为 2 3 ，且 3,2  cb ，则∠A 等于 （ ） A．30° B．30°或 150° C．60° D．60°或 120° 【解析】由三角形的面积公式 AbcS sin2 1 ,得 2 3sin322 1  A ,解得： 2 3sin A ; 00 1800  A ,所以 A 60°或 120°. 【热点预测】 1.【2018 届福建省三明市第一中学高三上第一次月考】在 中，角 的对边分别为 ， 且 ， ，则角 等于( ) A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】在 中，由余弦定理，得 ，即 ， ，又 ， ， ， ，故选 D. 2.【2017 山东，理 9】在 C 中，角  ， ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．若 C 为锐角三角形， 且满足  sin 1 2cosC 2sin cosC cos sinC      ，则下列等式成立的是 （A） 2a b （B） 2b a （C） 2   （D） 2   【答案】A 【解析】sin( ) 2sin cos 2sin cos cos sinA C B C A C A C    所以 2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a     ，选 A. 3.【2018 届福建省数学基地校】如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔 18km， 速度为 1 000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为 30°，经过 1min 后又看到山顶的俯角为 75°，则山顶的 海拔高度为(精确到 0.1km) ( ) A. 11.4 B. 6.6 C. 6.5 D. 5.6 【答案】B 【解析】AB＝1 000× 1 50 60 3  (km)，∴BC＝ 0sin45 AB ·sin30°＝ 50 3 2 (km)． ∴航线离山顶 h＝ 50 3 2 ×sin75°≈11.4(km)．∴山高为 18－11.4＝6.6(km)．选 B. 4.【2017 浙江，11】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算 到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多 年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 6S ， 6S ． 【答案】 3 3 2 5.【2018 届广东省揭阳市惠来县第一中学高三上第一次月考】已知 a，b，c 分别是△ABC 的三个内角 A， B，C 所对的边，若 3b  ，三内角 A，B，C 成等差数列，则该三角形的外接圆半径等于______________； 【答案】1 【解析】A，B，C 成等差数列，所以 32 2 13 sin sin 3 bB R RB         . 6.【2018 届河北省大名县第一中学高三上第一次月考】设△ 的内角 , , 所对的边长分别为 , 若 ,则 的值为____. 【答案】4 【解析】由正弦定理可得 = ,又因为 = = ,所 以 = ,即 , 所以 . 7.【2018 届湖北省武汉市部分学校新高三起点调研】 在钝角 中，内角 的对边分别为 ，若 ， ，则 的取值范围是__________. 【答案】 8.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30 的方向 上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75 的方向上，仰角为 30 ，则此山的高度CD  m. 【答案】 6100 【解析】依题意， 30BAC ， 105ABC ，在 ABC 中，由 180 ACBBACABC ， 所以 45ACB ，因为 600AB ，由正弦定理可得  30sin45sin 600 BC ，即 2300BC m， 在 BCDRt 中，因为 30CBD ， 2300BC ，所以 2300 30tan CD BC CD  ，所以 6100CD m. 9.【2018 届河北省衡水中学高三上学期二调】如图，在 ABC 中， 3B   ， D 为边 BC 上的点， E 为 AD 上的点，且 8AE  ， 4 10AC  ， 4CED   ． （1）求CE 的长； （2）若 5CD  ，求 cos DAB 的值． 【答案】（1） 4 2CE  （2） 2 1 【解析】试题分析：本题是正弦定理、余弦定理的应用。（1）中，在 AEC 中可得 AEC 的大小，运用 余弦定理得到关于CE 的一元二次方程，通过解方程可得CE 的值；（2）中先在 CDE 中由正弦定理得 4sin 5CDE  ，并根据题意判断出 CDE 为钝角，根据 3DAB CDE     求出 cos DAB 。 试题解析：（1）由题意可得 3 4 4AEC      ， 在 AEC 中，由余弦定理得 2 2 2 2 cosAC AE CE AE CE AEC     ， 所以 2160 64 8 2CE CE   ， 整理得 2 8 2 96 0CE CE   ， 解得： 4 2CE  ． 故CE 的长为 4 2 。 （2）在 CDE 中，由正弦定理得 sin sin CE CD CDE CED   ， 即 4 2 5 sin sin 4 CDE  所以 25sin 4 2 4 2 44 2CDE sin      ， 所以 4sin 5CDE  ． 因为点 D 在边 BC 上，所以 3CDE B     ， 而 4 3 5 2  ， 所以 CDE 只能为钝角， 所以 3cos 5CDE   ， 所以 cos cos cos cos sin sin3 3 3DAB CDE CDE CDE             3 1 4 3 4 3 3 5 2 5 2 10       ． 10. C 的内角  ，  ， C 所对的边分别为 a ，b ， c ．向量  , 3m a b 与  cos ,sinn    平 行． （I）求  ； （II）若 7a  ， 2b  求 C 的面积． 【答案】（I） 3  ；（II） 3 3 2 ． 【解析】（I）因为 //m n  ，所以 sin 3 cos 0a B b A- = ， 由正弦定理，得sinAsinB 3sinBcosA 0- = 又sin 0  ，从而 tan 3A = ， 由于 0 A   ，所以 3A  解法二：由正弦定理，得 7 2 sinsin 3    ， 从而 21sin 7B = ， 又由 a b> ，知 A B> ，所以 2 7cos 7B = . 故   3 21sinC sin A B sin sin cos cos sin3 3 3 14B B             所以 C 的面积为 1 3 3bcsinA2 2 = . 11. ABC 中， a b c、、 分别为角 A B C、、 的对边，满足 2 2 2b c a bc   . （Ⅰ）求角 A 的值；（Ⅱ）若 3a  ，设角 B 的大小为 ,x ABC 的周长为 y ，求 ( )y f x 的最大值. 【答案】（Ⅰ） 3A  ;（Ⅱ） max 3 3y  . 【解析】（Ⅰ）在 ABC 中，由 2 2 2b c a bc   及余弦定理得 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc    而 0 A   ，则 3A  ； （Ⅱ）由 3, 3a A   及正弦定理得 3 2sin sin sin 3 2 b c a B C A     ， 同理 )3 2sin(sinsin xCA ac   ∴ 3)6sin(323)3 2sin(2sin2   xxxy ∵ 3 20,3   xA ∴ )6 5,6(6  x ， ∴ 6 2x    即 3x  时， max 3 3y  ． 12. 【百强校】2017 届黑龙江双鸭山一中高三上学期质检一】 ABC 的内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，已知向量    cos , , sin ,m A b n A a   ，若 ,m n  共线，且 B 为钝角. （1）证明： 2B A   ； （2）若 2 3, 2b a  ，求 ABC 的面积. 【答案】（1）证明见解析；（2） 3 . （2）∵ 2, 2 3a b  ，∴ 2cos 2 3sin 0A A  ，∴ 3tan 3A  ，∴ 6A  ， 又 2 2 3B A     ，∴ 6C  ， ∴ 1 1 1sin 2 2 3 32 2 2ABCS ab C       ． 13.【2018 届黑龙江省大庆实验中学高三上学期第一次月考】已知 为 的内角 的对边， 满足 ，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减. （1）证明： ； （2）若 ，证明 为等边三角形． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】试题分析：（1）通过已知表达式，去分母化简，利用两角和与差的三角函数，化简表达式通过 正弦定理直接推出 （2）利用函数的周期求出 ，通过 求出的值，利用余弦定理说明三角形是正三角形，即 可． 试题解析： , ,所以 14. 【2017 天津，文 15】在 ABC△ 中，内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c .已知 sin 4 sina A b B ， 2 2 25( )ac a b c   . （I）求 cos A的值； （II）求sin(2 )B A 的值. 【答案】(Ⅰ) 5 5  ；(Ⅱ) 2 5 5  . 【解析】 试题解析：（Ⅰ）解：由 sin 4 sina A b B ，及 sin sin a b A B  ，得 2a b . 由 2 2 25( )ac a b c   ，及余弦定理，得 2 2 2 5 55cos 2 5 acb c aA bc ac      .