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- 2021-06-16 发布
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四川省各地市 高考数学最新联考试题分类汇编（3）函数与导数
一、选择题:
6. (四川省成都市 2013 届高三第三次诊断理）若，a= 3
1
3
1 2,2log b ，则 c= 2
1
)3
1(
(A)a0 且 a≠1）恰有 3 个不同的 实数根，则的取值范
围是 .
【答案】 3( 4,2)
15、(四川省内江市 2013 届高三第一次模拟文)设函数 ( ) | |f x x x bx c ，则下列命题中
正确命题的序号有＿＿＿
（1）函数 f(x)在 R 上有最小值；
（2）当 b>0 时，函数在 R 上是单调增函数；
（3）函数 f(x)的图象关于点(0,c)对称；
（4）方程 f(x)=0 可能有三个不同实数根。
【答案】②③④
11. (四川省宜宾市高中 2013 届高三二诊考试理)如果 )(xf 是周期为 2 的奇函数，当
10 x 时， )1(2)( xxxf ，那么 )2
9(f ．
【答案】
2
1
13．(四川省宜宾市高中 2013 届高三二诊考试理)已知函数 xxfxf sincos)4()( ' ，
则 )4(f ＝_______.
【答案】1
15. (四川省宜宾市高中2013届高三二诊考试理) 设函数 )(xf 的定义域为D,若存在非零
实数 n 使得对于任意 )( DMMx ,有 Dnx ,且 )()( xfnxf ,则称 )(xf 为 M
上的 n 高调函数,如果定义域为 ),1[ 的函数 2)( xxf 为 ),1[ 上的 k 高调函数,那么
实数 k 的取值范围是_____________.
【答案】 ),2[
15、(四川省眉山市高中 2013 届高三第二次诊断性考试理)如图所示， ( )f x 是定义在区间
[ , ]( 0)c c c 上的奇函数，令 ( ) ( )g x af x b ，并有关于函数
( )g x 的五个论断：
①若 0a ，对于[ 1,1] 内的任意实数 , ( )m n m n ，
( ) ( ) 0g n g m
n m
恒成立；
②若 1, 2 0a b ，则方程 ( )g x =0 有大于 2 的实根
③函数 ( )g x 的极大值为 2a b ，极小值为 2a b ；
④若 1, 0a b ，则方程 ( ) 0g x 必有 3 个实数根；
⑤ a R ， ( )g x 的导函数 ( )g x 有两个零点. 其中所有正确结论的序号是________
【答案】②⑤
15. (四川省成都十二中 2013 届高三 3 月考理)对于函数 ( )y f x ，给出下列命题：
①若函数 ( )f x 严格单调，则 ( )f x 有且仅有一个零点；
②函数 3( ) 2 3 1f x x x 有 3 个零点；
③函数 2( ) 2 1f x ax x 至少有一个负的零点的充要条件是 1a ；
④若 1x 是函数 ( ) lg 3f x x x 的零点， 2x 是函数 ( ) 10 3xg x x 的零点，则
1 2 3x x .
其中正确命题的序号为 ③④ 。
三、解答题:
21. (四川省绵阳市 2013 届高三第三次诊断性考试文) (本小题满分 14 分）
已 知 函 数 f(x)=ex-ax(e 为 自 然 对 数 的 底 数 ).
(I )求函数 f(x)的单调区间；
(II)如果对任意 ],2[ x ，都有不等式f(x)> x + x2 成立，求实数a 的取值范围；
(III)设 *Nn ,证 明 ： n
n)1( + n
n)2( + n
n)3( +…+ n
n
n)( <
1e
e
21．解：（Ⅰ）∵ aexf x )( ，
当 a≤0 时 0)( xf ，得函数 f (x)在(-∞，+∞)上是增函数．
当 a>0 时，
若 x∈(lna，+∞)， 0)( xf ，得函数 ( )f x 在(lna，+∞)上是增函数；
若 x∈(-∞，lna)， 0)( xf ，得函数 ( )f x 在(-∞，lna)上是减函数．
综上所述，当 a≤0 时，函数 f (x)的单调递增区间是(-∞，+∞)；当 a>0 时，函数 f (x)
的单调递增区间是(lna，+∞)，单调递减区间是(-∞，lna)．…5 分
（Ⅱ）由题知：不等式 ex-ax>x+x2 对任意 [2 )x ， 成立，
即不等式
2xe x xa x
对任意 [2 )x ， 成立．
设
2
( )
xe x xg x x
(x≥2)，于是
2
2
( 1)( )
xx e xg x x
．
再设 2( ) ( 1) xh x x e x ，得 ( ) ( 2)xh x x e ．
由 x≥2，得 ( ) 0h x ，即 ( )h x 在[2 ) ， 上单调递增，
∴ h(x)≥h(2)=e2-4>0，进而 2
( )( ) 0h xg x x
，
∴ g(x)在[2 ) ， 上单调递增，
∴
2
min[ ( )] (2) 32
eg x g ，
∴
2
32
ea ，即实数 a 的取值范围是
2
( 3)2
e ， ．………………………10 分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，
当 a=1 时，函数 f (x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增．
∴ f (x)≥f (0)=1，即 ex-x≥1，整理得 1+x≤ex．
令 ix n
(n∈N*，i=1，2，…，n-1)，则 0 1 i
n
≤
i
ne
，即 (1 )ni
n
≤ ie ，
∴ 1( )nn
n
≤ 1e ， 2( )nn
n
≤ 2e ， 3( )nn
n
≤ 3e ，…， 1( )n
n
≤ ( 1)ne ，
显然 ( )nn
n
≤ 0e ，
∴ 1 2 3 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n nn n n n
n n n n n
≤ 0 1 2 3 ( 1)ne e e e e
1
1 (1 )
1 1 1
n ne e e e
e e e
，
故不等式 1 2 3( ) ( ) ( ) + 1
n n n nn e
n n n n e
… （ ） （n∈N*）成立．……………4 分
21. (四川省南充市高 2013 届第三次高考适应性考试理)（本小题满分 14 分）已知函数
3( ) ln , ( ) 2
af x x g x x
（ a 为实数）
（Ⅰ）当 a =1 时，求函数 ( ) ( ) ( )x f x g x 在 x∈[4，+∞）上的最小值；
（Ⅱ）若方程 2 ( ) ( )f xe g x （其中 e=2.71828…）在区间 1 ,12
上有解，求实数 a 的取值范
围；
（Ⅲ）证明：
1
5 1 2 (2 1) ( ) ( 1) 2 14 60
n
k
n f k f k f k n
，n∈N*．（参考数据：
ln2≈0.6931）
21. （本小题满分 14 分）
解：（Ⅰ）当 1a 时， 1 3( ) ( ) ( ) ln 2x f x g x x x
，则 '
2 2
1 1 1( ) xx x x x
∵在区间（0，1]上， ' ( ) 0x ，在区间[1，+∞）上， ' ( ) 0x
∴ ( )x 在区间（0，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增 ……………2 分
∴在 x∈[4，+∞）上，当 x=4 时， ( )x 的最小值为 5(4) ln 4 4
．……………3 分
（Ⅱ）∵方程 2 ( ) ( )f xe g x 在区间 1 ,12
上有解
即 2ln 3
2
x ae x
在区间 1 ,12
上有解即 33
2a x x 在区间 1 ,12
上有解
令 33( ) 2h x x x ，x∈ 1 ,12
∴ ' 23( ) 32h x x
∵在区间 1 2,2 2
上， ' ( ) 0h x ，在区间 2 ,12
上， ' ( ) 0h x
∴ ( )h x 在区间 1 2,2 2
上单调递增，在区间 2 ,12
上单调递减， ………………6 分
又 1 1 5(1) , ( )2 2 8h h ∴ 2(1) ( ) ( )2h h x h
即 1 2( )2 2h x 故 1 2,2 2a
………………8 分
（Ⅲ）设 2 (2 1) ( ) ( 1)ka f k f k f k
24 4 12ln(2 1) ln ln( 1) ln ( 1)
k kk k k k k
由（1）知， ( )x 的最小值为 5(4) ln 4 04
∴ 3 1ln 2x x
（x≥4） ………………9 分
又∵
24 4 1 4( 1)
k k
k k
2
2 2
2
3 ( 1) 3 1 4 4 1 1
2 4 4 1 2 4 4 4 1
5 1 1 5 1 1
4 4 (2 1) 4 4 (2 1)(2 3)
k
k k k ka k k k k
k k k
5 1 1 1( )4 8 2 1 2 3k k
∴
1
5 1 1 1 1 1 1 1( ...... )4 8 3 5 5 7 2 1 2 3
n
k
k
a n n n
5 1 1 1 5 1 1 1 5 1( ) ( )4 8 3 2 3 4 8 3 5 4 60n n nn
………………11 分
构造函数 )4(2ln)( xxxxF ，则 ' 1( ) xF x x
，
∴当 4x 时， 0)(' XF ．
∴ )(' XF 在 ,4 上单调递减，即 0)12(ln224ln)4()( FxF 。
∴当 4x 时， 2ln xx ．
24 4 1 1 1ln 4 2( 1) 1k
k ka k k k k
，即
1
112
kkak
1
12 1 2 11
n
k
k
a n nn
故
1
5 1 2 (2 1) ( ) ( 1) 2 14 60
n
k
n f k f k f k n
， n∈N*． …………14 分
21. ( 四川 省宜宾市 高中 2013 届高 三二诊考 试理)（本小题满分 14 分）已知函数
2
1 1( ) ( )1 (1 )tf x t xx x
，其中t 为正常数．
（Ⅰ）求函数 ( )tf x 在 (0, ) 上的最大值；
（Ⅱ）设数列{ }na 满足： 1
5
3a ， 13 2n na a ，
（1）求数列{ }na 的通项公式 na ；（2）证明：对任意的 0x ， 2
3
1 ( )( *)
nn
f x n Na
；
（Ⅲ）证明：
2
1 2
1 1 1
1n
n
a a a n
．
解：（Ⅰ）由 2
1 1( ) ( )1 (1 )tf x t xx x
，可得 3
2( )( ) ( 0)(1 )t
t xf x xx
，
…………………（2 分）
所以， ( ) 0 0tf x x t ， ( ) 0tf x x t ，…………………（3 分）
则 ( )tf x 在区间 (0, )t 上单调递增，在区间 ( , )t 上单调递减，
所以， max
1( ) ( ) 1t tf x f t t
．…………………（4 分）
（Ⅱ）（1）由 13 2n na a ，得 1
11 ( 1)3n na a ，又 1
21 3a ，
则数列{ 1}na 为等比数列，且 12 1 21 ( )3 3 3
n
n na ，…………………（5 分）
故 2 2 313 3
n
n n na 为所求通项公式．…………………（6 分）
（2）即证，对任意的 0x ， 2 2
3
1 1 1 2( ) ( )1 (1 ) 3n
n
n
f x xa x x
( *)n N
…………………（ 7 分）
证法一：（从已有性质结论出发）
由（Ⅰ）知 2 max 2
3 3
2 1 3 1( ) ( ) 23 3 21 3
n n
n
n n
n
n
f x f a
…………………（9 分）
即有 2
3
1 ( )( *)
nn
f x n Na
对于任意的 0x 恒成立．…………………（10 分）
证法二：（作差比较法）
由 2 1 03n na 及 21 03n na …………………（ 8 分）
2 2 2
3
1 1 1 1 2 1 1 1( ) ( ) ( 1 )1 (1 ) 3 1 (1 )n
nn
n n n
f x x a xa a x x a x x
2
2
1 2 1 01 (1 ) 1
nn
n n
aa
a x x a x
…………………（9 分）
即有 2
3
1 ( )( *)
nn
f x n Na
对于任意的 0x 恒成立．…………………（10 分）
（Ⅲ）证法一：（从已经研究出的性质出发，实现求和结构的放缩）
由（Ⅱ）知，对于任意的 0x 都有 2
1 1 1 2( )1 (1 ) 3n
n
xa x x
，
于是， 2
11 2
1 1 1 1 1 2( )1 (1 ) 3
n
k
kn
xa a a x x
2 2
1 2 2 2( )1 (1 ) 3 3 3 n
n nxx x
…………………（11 分）对于任意的 0x 恒成立
特别地，令 0
11 03n nx ，即 0
1 1(1 ) 03nx n
，…………………（12 分）
有
2 2
1 2 0
1 1 1
1 1 11 11 (1 ) 13 3
n
n n
n n n n
a a a x nnn
，故原不等式成立．
…………………（14 分）
以下证明小组讨论给分
证法二：（应用柯西不等式实现结构放缩）
由柯西不等式： 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )( )n n n nx y x y x y x x x y y y
其中等号当且仅当 ( 1,2, )i ix ky i n 时成立．
令 1
i
i
x
a
， i iy a ，可得
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 1 1 1 1( )( ) ( )n n
n n
a a a a a a na a a a a a
则
2
1 2 1 2
1 1 1
n n
n
a a a a a a
而由 2 13n na ，所以 1 2
1 1(1 ) 13 32 11 31 3
n
n na a a n n
故
2 2
1 2
1 1 1
1 11 3
n
n
n n
a a a nn
，所证不等式成立．
证法三：（应用均值不等式“算术平均数” “几何平均数”）
由均值不等式： 1 2
1 2
n n
n
a a a a a an
，其中 0ia
可得 1 2 1 2
n
n na a a n a a a ，
1 2 1 2
1 1 1 1
n
n n
na a a a a a
两式相乘即得 2
1 2
1 2
1 1 1( )( )n
n
a a a na a a
，以下同证法二．
证法四：（逆向分析所证不等式的结构特征，寻找证明思路）
欲证
2
1 2
1 1 1
1n
n
a a a n
，
注意到 1 3 213 2 3 2
n
n n
na
，而
2 2 1 1 111 1 1 1
n n nn nn n n n
从而所证不等式可以转化为证明
1 2
2 2 2
3 2 3 2 3 2 1n
n
n
在此基础上可以考虑用数学归纳法证明此命题
21．(四川省资阳市 2013 届高三第二次高考模拟考试文)（本小题满分 14 分）设函数
3 2( ) 3f x x x ．
（Ⅰ）求 ( )f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数 ( )y f x m 在[ 1,2] 上有三个零点，求实数 m 的取值范围；
（Ⅲ）设函数 ( ) lnag x x xx
，如果对任意的 1x , 2
1[ ,2]2x ，都有 1 2( ) ( )f x g x 成立，
求实数 a 的取值范围．
21．解析 （Ⅰ） 2( ) 3 2 (3 2)f x x x x x ，
由 ( ) 0f x 时，解得 0x 或 2
3x ；由 ( ) 0f x 时，解得 20 3x ．
故函数 ( )f x 的单调递增区间是 ( ,0) ， 2( , )3
；单调递减区间是 2(0, )3
．·········4 分
（Ⅱ）令 ( ) ( )h x f x m ，则 3 2( ) 3h x x x m ，∴ 2( ) 3 2 (3 2)h x x x x x ，
由（Ⅰ）知，当函数 ( )h x 在 ( ,0) 上单调递增，在 2(0, )3
上单调递减，在 2( , )3
上 单
调递增．
函数 ( )h x 在 0x 处取得极大值 (0) 3h m ，在 2
3x 处取得极小值 2 85( )3 27h m ，
由函数 ( )y f x m 在[ 1,2] 上有三个零点，则有：
( 1) 0,
(0) 0,
2( ) 0,3
(2) 0,
h
h
h
h
即
5 0,
3 0,
85 0,27
1 0,
m
m
m
m
解得 85 327 m ，
故实数 a 的取值范围是 85( , 3)27
．·····························································9 分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，函数 ( )f x 在 1 2( , )2 3
上单调递减，在 2( ,2)3
上单调递增，
而 1 25( )2 8f ， (2) 1f ，
故函数 ( )f x 在区间 1[ ,2]2
上的最大值 max( ) (2) 1f x f ．
∴只需当 1[ ,2]2x 时， ( ) ln 1ag x x xx
恒成立即可，即等价于 2 lna x x x 恒成立，
所以，记 2( ) lnu x x x x ，所以 max( )a u x ， ( ) 1 2 lnu x x x x ，可知 (1) 0u ，
当 1( ,1)2x 时，1 0x ， 2 ln 0x x ，则 ( ) 0u x ，∴ ( )u x 在 1( ,1)2
上单调递增；
当 (1,2)x 时，1 0x ， 2 ln 0x x ，则 ( ) 0u x ，∴ ( )u x 在 (1,2) 上单调递减；
故当 1x 时，函数 ( )u x 在区间 1[ ,1]2
上取得最大值 (1) 1h ，
所以 1a ，故实数 a 的取值范围是[1, ) ．················································· 14
分
21、(四川省眉山市高中 2013 届高三第二次诊断性考试理) （本小题 14 分）函数
,lnln)(,)( axxgaexf x 其中 a 为正常数，且函数 g(x)y)( 和xfy 的图象在
其与坐标轴的交点处的切线互相平行。
（1）求两平行线的距离；
（2）若存在 x 使不等式 xxf
mx
)(
成立，求实 m 的取值范围；
（3）对于函数 g(x)y)( 和xfy 公共定义域中的任意实数x0，我们把 |)()(| 00 xgxf
的值称为两函数在 x0 处的偏差，求证：函数 g(x)y)( 和xfy 在其公共定义域
内的所有偏差都大于 2。
21、（1） ,1)(',)(' xxgaexf x
函数 )(xfy 的图象与坐标轴的交点为（0,a）,
函数 )(xgy 的图象与坐标轴的交点为（a，0），
由题意得
a
1a),(')0(' 即agf ……………………………………………2 分
又 1a0,a
xxgexf x ln)(,)(
∴函数 g(x)y)( 和xfy 的图象在其坐标灿的交点处的切线方程分别为
01,01 yxyx
∴两平行切线间的距离 2 …………………………………………………4 分
（2）由 xe
mxxxf
mx
x 得
)(
故 xexxm 在 [0,x ）上有解
令 xexxxh )( ，则 max)(xhm ……………………………………………………5 分
当 0m0 ，x 时
当 ,)
2
1(1)
x2
1(-1(x)h'0 xxx ex
x
exe，x 时
2)
2
1(
,1,2
2
12
2
1,0
x
x
ex
x
ex
x
x
x
x
故 0)
2
1(1)(' xex
x
xh ，
即 xexxxh )( 在区间 ),0[ 上单调递减，故 0,0)0()( max mhxh
即实数 m 的取值范围 )0,( …………………………………………………8 分
（3）解法一：函数 g(x)y)( 和xfy 的偏差为
),0(,ln|)()(|)( xxexgxfxF x
xexF x 1)('
设 的解为 01e(x)F' x xtx
则当 时),0( tx ， )(t,x;0)(' 当xF 时， ,0)(' xF
)(xF 在（0，t）内单调递减，在 ),( t 上单调递增，
teeetetFxF t
t
tt 1lnln)()( min ………………………………10 分
12
1,02)2
1(',01)1(' teFeF
故
1
2
min
1 1 1( ) 2.72 2.152 2 2
tF x e t e e
即函数 g(x)y)( 和xfy 在其公共定义域内的所有偏差都大 2……………14 分
解法二：由于函数 g(x)y)( 和xfy 的偏差 ),0(,ln|)()(|)( xxexgxfxR x
令 ),0(,ln)(),,0(,)( 21 xxxxFxxexF x
x
x
xxFexF x 111)(,1)( '
2
'
1
)(1 xF 在（0，+ ) 上单调递增， )(2 xF 在（0，1）内单调递减，在（1， ）上单调递
增………………………………………………………………………………10 分
1)1()(,1)0()( 2211 FxFFxF
2)()(ln)( 21 xFxFxexF x
即函数 g(x)y)( 和xfy 在其公共定义域内所有偏差都大 2……………14 分
21．(四川省成都十二中 2013 届高三 3 月考理)（本小题满分 14 分）
已知：函数 ( ) ln 3( )f x a x ax a R 。
（Ⅰ）求函数 ( )f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数在处的切线与直线3 2 1 0x y 平行，且方程 22 ( ) 2 6 0f x x x m 恒
有三个实根，求 m 的取值范围；
（III）求证： ln 2 ln 3 ln 4 ln 1 ( 2, )2 3 4
n n nn n
解:
（Ⅰ）f'(x)=(a/x)－a=[a(1－x)]/(x)
若 a<0，则 f(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增；
若 a=0，则函数无单调性；
若 a>0，则 f(x)在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减。
（Ⅱ）f'(x)=a/x-a f'(2)=-3/2 a=3
原方程可化为 61nx+x^-8x-m=0
记 g(x)=6lnx+x^-8x-m
g'(x)=6/x+2x-8=0
x=1,x=3
g(1)>0 且 g(3)<0
得 m 的范围 (6,15 6ln 3)
（III）
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