高一数学知识点汇总讲解大全 29页

真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 1 高中数学知识点汇总（高一） 高中数学知识点汇总（高一）.....................................................................................................................1 一、集合和命题.............................................................................................................................................2 二、不等式.....................................................................................................................................................4 三、函数的基本性质.....................................................................................................................................6 四、幂函数、指数函数和对数函数...........................................................................................................12 （一）幂函数...............................................................................................................................................12 （二）指数&指数函数................................................................................................................................13 （三）反函数的概念及其性质...................................................................................................................14 （四）对数&对数函数................................................................................................................................15 五、三角比...................................................................................................................................................17 六、三角函数...............................................................................................................................................24 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 2 一、集合和命题 一、集合： （1）集合的元素的性质： 确定性、互异性和无序性； （2）元素与集合的关系： ① a A  a 属于集合 A ； ② a A  a 不属于集合 A ． （3）常用的数集： N 自然数集； *N 正整数集； Z  整数集； Q 有理数集； R 实数集； 空集；C  复数集；        负整数集 正整数集 Z Z ；        负有理数集 正有理数集 Q Q ；        负实数集 正实数集 R R ． （4）集合的表示方法： 集合      描述法无限集 列举法有限集 ； 例如：①列举法：{ , , , , }z h a n g ；②描述法：{ 1}x x  ． （5）集合之间的关系： ① BA  集合 A 是集合 B 的子集；特别地， A A ； A B A CB C     ． ② BA  或 A B A B    集合 A 与集合 B 相等； ③ A B 集合 A 是集合 B 的真子集． 例： N Z Q R   C ； N Z Q R C       ． ④空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （6）集合的运算： ①交集： }{ BxAxxBA  且 集合 A 与集合 B 的交集； ②并集： }{ BxAxxBA  或 集合 A 与集合 B 的并集； ③补集：设U 为全集，集合 A 是U 的子集，则由U 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫 做集合 A 在全集U 中的补集，记作 ACU ． ④得摩根定律： ( )U U UC A B C A C B  ； ( )U U UC A B C A C B  真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 3 （7）集合的子集个数： 若集合 A 有 *( )n n N 个元素，那么该集合有2n 个子集； 2 1n  个真子集； 2 1n  个非空子集； 2 2n  个非空真子集． 二、四种命题的形式： （1）命题：能判断真假的语句． （2）四种命题：如果用 和  分别表示原命题的条件和结论，用 和  分别表示 和  的否定， 那么四种命题形式就是： 命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 表示形式 若 ，则  若  ，则 ； 若 ，则  ； 若  ，则 ． 逆命题关系 原命题 逆命题 逆否命题  否命题 否命题关系 原命题 否命题 逆否命题  逆命题 逆否命题关系 原命题 逆否命题 逆命题  否命题同真同假关系 （3）充分条件，必要条件，充要条件： ①若   ，那么 叫做  的充分条件，  叫做 的必要条件； ②若   且   ，即   ，那么 既是  的充分条件，又是  的必要条件，也就是 说， 是  的充分必要条件，简称充要条件． ③欲证明条件 是结论  的充分必要条件，可分两步来证： 第一步：证明充分性：条件  结论  ； 第二步：证明必要性：结论  条件 ． （4）子集与推出关系： 设 A 、 B 是非空集合， }{ 具有性质xxA  ， }{ 具有性质yyB  ， 则 BA  与   等价． 结论：小范围 大范围；例如：小明是上海人 小明是中国人． 小范围是大范围的充分非必要条件； 大范围是小范围的必要非充分条件． 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 4 二、不等式 一、不等式的性质： 不等式的性质 1、 cacbba  , ； 2、 cbcaba  ； 3、 bcaccba  0, ； 4、 dbcadcba  , ； 5、 bdacdcba  0,0 ； 6、 baba 1100  ； 7、 )(0 *Nnbaba nn  ； 8、 )1,(0 *  nNnbaba nn ． 二、一元一次不等式： 一元一次不等式 bax  0a 0a 0a 0b 0b 解集 a bx  a bx   R 三、一元二次不等式： )0(02  acbxax 的根的判别式 042  acb△ 042  acb△ 042  acb△ )0(2  acbxaxy )0(02  acbxax },{ 21 xx ， 21 xx  }{ 0x  )0(02  acbxax 1 2( , ) ( , )x x  ),(),( 00  xx  R )0(02  acbxax ),( 21 xx   )0(02  acbxax 1 2( , ] [ , )x x  R R )0(02  acbxax ],[ 21 xx }{ 0x  真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 5 四、含有绝对值不等式的性质： （1） bababa  ； （2） nn aaaaaa   2121 ． 五、分式不等式： （1） 0))((0   dcxbaxdcx bax ； （2） 0))((0   dcxbaxdcx bax ． 六、含绝对值的不等式： ax  ax  ax  ax  0a 0a 0a 0a 0a 0a 0a 0a 0a 0a axa   axax  或 R axa  0x  axax  或 R 七、指数不等式： （1） )()()1()()( xxfaaa xxf   ； （2） )()()10()()( xxfaaa xxf   ． 八、对数不等式： （1）      )()( 0)()1)((log)(log xxf xaxxf aa   ； （2）      )()( 0)()10)((log)(log xxf xfaxxf aa  ． 九、不等式的证明： （1）常用的基本不等式： ① Rbaabba  、(222 ，当且仅当 ba  时取“”号) ； ②  Rbaabba 、(2 ，当且仅当 ba  时取“ ”号) ； 补充公式： 2 2 2 a b  2 a b ab  2 1 1 a b   ． ③  Rcbaabccba 、、(3333 ，当且仅当 cba  时取“ ”号) ； ④  Rcbaabccba 、、(3 3 ，当且仅当 cba  时取“”号) ； ⑤ naaan aaa n n n (21 21   为大于 1 的自然数，  Raaa n,,, 21  ，当且仅当 naaa  21 时取“ ”号) ； （2）证明不等式的常用方法： ①比较法； ②分析法； ③综合法． 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 6 三、函数的基本性质 一、函数的概念： （1）若自变量   fx 对应法则 因变量 y ，则 y 就是 x 的函数，记作 Dxxfy  ),( ； x 的取值范围 D  函数的定义域； y 的取值范围 函数的值域． 求定义域一般需要注意： ① 1 ( )y f x  ， ( ) 0f x  ； ② ( )ny f x ， ( ) 0f x  ； ③ 0( ( ))y f x ， ( ) 0f x  ； ④ log ( )ay f x ， ( ) 0f x  ； ⑤ ( )log f xy N ， ( ) 0f x  且 ( ) 1f x  ． （2）判断是否函数图像的方法：任取平行于 y 轴的直线，与图像最多只有一个公共点； （3）判断两个函数是否同一个函数的方法：①定义域是否相同；②对应法则是否相同． 二、函数的基本性质： （1）奇偶性： 函数 Dxxfy  ),( 前提条件 “定义域 D 关于 0 对称”成立 ①“定义域 D 关于 0 对称”； ②“ )()( xfxf  ”；③ “ ( ) ( )f x f x   ” ①不成立或者    ①成立 ②、③都不成立 )()( xfxf  成立 ( ) ( )f x f x   成立 奇偶性 偶函数 奇函数 非奇非偶函数奇偶函数 图像性质 关于 y 轴对称 关于 )0,0(O 对称 注意：定义域包括 0 的奇函数必过原点 (0,0)O ． （2）单调性和最值： 前提条件 Dxxfy  ),( ， DI  ，任取 1 2,x x I区间 单调增函数      )()( 21 21 xfxf xx 或      )()( 21 21 xfxf xx 单调减函数      )()( 21 21 xfxf xx 或      )()( 21 21 xfxf xx 最小值 )( 0min xfy  任取 0 0, , ( ) ( )x D x D f x f x  存在 最大值 )( 0max xfy  0 0, , ( ) ( )x D x D f x f x  任取 存在 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 7 注意： ①复合函数的单调性： 函数 单调性 外函数 ( )y f x     内函数 ( )y g x     复合函数 [ ( )]y f g x     ②如果函数 )(xfy  在某个区间 I 上是增（减）函数，那么函数 )(xfy  在区间 I 上是单调函 数，区间 I 叫做函数 )(xfy  的单调区间． （3）零点：若 Dxxfy  ),( ， Dc 且 0)( cf ，则 cx  叫做函数 )(xfy  的零点． 零点定理：      0)()( ],[),( bfaf baxxfy  0 0 ( , ) ( ) 0 x a b f x    存在 ；特别地，当 ( ), [ , ]y f x x a b  是单调函数， 且 ( ) ( ) 0f a f b  ，则该函数在区间[ , ]a b 上有且仅有一个零点，即存在唯一 0 ( , )x a b ，使得 0( ) 0f x  ． （4）平移的规律：“左加右减，下加上减”． 函数 向左平移 k 向右平移 k 向上平移 h 向下平移 h 备注 )(xfy  )( kxfy  )( kxfy  )(xfhy  )(xfhy  0, hk （5）对称性： ①轴对称的两个函数： 函数 )(xfy  对称轴 x 轴 y 轴 xy  xy  mx  ny  函数 )(xfy  )( xfy  )(yfx  )( yfx  )2( xmfy  )(2 xfyn  ②中心对称的两个函数： 函数 对称中心 函数 )(xfy  ),( nm )2(2 xmfyn  ③轴对称的函数： 函数 )(xfy  对称轴 y 轴 mx  条件 ( ) ( )f x f x  ( ) (2 )f x f m x  真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 8 注意： ( ) ( )f a x f b x    ( )f x 关于 2 a bx  对称； ( ) ( )f a x f a x    ( )f x 关于 x a 对称； ( ) ( )f x f x   ( )f x 关于 0x  对称，即 ( )f x 是偶函数． ④中心对称的函数： 函数 )(xfy  对称中心 ( , )m n 条件 ( ) 2 (2 )f x n f m x   注意： ( ) ( )f a x f b x c     ( )f x 关于点( , )2 2 a b c 对称； ( ) ( ) 0f a x f b x     ( )f x 关于点( ,0)2 a b 对称； ( ) ( ) 2f a x f a x b     ( )f x 关于点( , )a b 对称； ( ) ( ) 0f x f x    ( )f x 关于点(0,0) 对称，即 ( )f x 是奇函数． （6）凹凸性： 设函数 ( ),y f x x D  ，如果对任意 1 2,x x D ，且 1 2x x ，都有 1 2 1 2( ) ( ) 2 2 x x f x f xf       ，则称 函数 ( )y f x 在 D 上是凹函数；例如： 2y x ． 进一步，如果对任意 1 2, , nx x x D ，都有 1 2 1 2( ) ( ) ( )n nx x x f x f x f xf n n            ，则称函 数 ( )y f x 在 D 上是凹函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式； 设函数 ( ),y f x x D  ，如果对任意 1 2,x x D ，且 1 2x x ，都有 1 2 1 2( ) ( ) 2 2 x x f x f xf       ，则称 函数 ( )y f x 在 D 上是凸函数．例如： lgy x ． 进一步，如果对任意 1 2, , nx x x D ，都有 1 2 1 2( ) ( ) ( )n nx x x f x f x f xf n n            ，则称函 数 ( )y f x 在 D 上是凸函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式． 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 9 （7）翻折： 函数 翻折后 翻折过程 ( )y f x ( )y f x 将 ( )y f x 在 y 轴右边的图像不变，并将其翻折到 y 轴左边，并覆盖． ( )y f x 将 ( )y f x 在 x 轴上边的图像不变，并将其翻折到 x 轴下边，并覆盖． ( )y f x 第一步：将 ( )y f x 在 y 轴右边的图像不变，并将其翻折到左边，并覆盖； 第二步：将 x 轴上边的图像不变，并将其翻折到 x 轴下边，并覆盖． ( )y f x 将 ( )y f x 在 x 轴上边的图像保持不变，并将 x 轴下边的图像翻折到 x 轴上 边，不覆盖． （8）周期性： 若 Rxxfy  ),( ， 0T ， x R任取 ，恒有 )()( xfTxf  ，则称T 为这个函数的周期． 注意：若T 是 )(xfy  的周期，那么 )0,(  kZkkT 也是这个函数的周期； 周期函数的周期有无穷多个，但不一定有最小正周期． ① ( ) ( )f x a f x b   ， a b  ( )f x 是周期函数，且其中一个周期T a b  ； （阴影部分下略） ② ( ) ( )f x f x p   ， 0p   2T p ； ③ ( ) ( )f x a f x b    ， a b  2T a b  ； ④ 1( ) ( )f x f x p   或 1( ) ( )f x f x p    ， 0p   2T p ； ⑤ 1 ( )( ) 1 ( ) f x pf x f x p     或 ( ) 1( ) ( ) 1 f x pf x f x p     ， 0p   2T p ； ⑥ 1 ( )( ) 1 ( ) f x pf x f x p     或 ( ) 1( ) ( ) 1 f x pf x f x p     ， 0p   4T p ； ⑦ ( )f x 关于直线 x a ， x b ， a b 都对称 2T a b  ； ⑧ ( )f x 关于两点( , )a c ，( , )b c ， a b 都成中心对称 2T a b  ； ⑨ ( )f x 关于点( , )a c ， 0a  成中心对称，且关于直线 x b ， a b 对称 4T a b  ； ⑩若 ( ) ( ) ( 2 ) ( )f x f x a f x a f x na m        （ m 为常数， *n N ），则 ( )f x 是以( 1)n a 为周期的周期函数； 若 ( ) ( ) ( 2 ) ( )f x f x a f x a f x na m        （ m 为常数， n 为正偶数），则 ( )f x 是以 2( 1)n a 为周期的周期函数． 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 10 三、V 函数： 定义 形如 ( 0)y a x m h a    的函数，称作 V 函数． 分类 , 0y a x m h a    , 0y a x m h a    图像 定义域 R 值域 [ , )h  ( , ]h 对称轴 x m  开口 向上 向下 顶点 ( , )m h 单调性 在( , ]m  上单调递减； 在[ , )m  上单调递增． 在( , ]m  上单调递增； 在[ , )m  上单调递减． 注意 当 0m  时，该函数为偶函数 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 11 四、分式函数： 定义 形如 ( 0)ay x ax    的函数，称作分式函数． 分类 , 0ay x ax    （耐克函数） , 0ay x ax    图像 定义域 ( ,0) (0, )  值域 ( , 2 ] [2 , )a a   R 渐近线 0x  ， y x 单调性 在( , ]a  ，[ , )a  上单调递增； 在[ ,0)a ，(0, ]a 上单调递减． 在( ,0) ，(0, ) 上单调递增； 五、曼哈顿距离： 在平面上， 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y ，则称 1 2 1 2d x x y y    为 MN 的曼哈顿距离． 六、某类带有绝对值的函数： 1、对于函数 y x m  ，在 x m 时取最小值； 2、对于函数 y x m x n    ，m n ，在 [ , ]x m n 时取最小值； 3、对于函数 y x m x n x p      ， m n p  ，在 x n 时取最小值； 4、对于函数 y x m x n x p x q        ， m n p q   ，在 [ , ]x n p 时取最小值； 5、推广到 1 2 2 ny x x x x x x       ， 1 2 2 nx x x   ，在 1[ , ]n nx x x  时取最小值； 1 2 2 1ny x x x x x x        ， 1 2 2 1nx x x    ，在 nx x 时取最小值． 思考：对于函数 1 2 3 2y x x x     ，在 x _________时取最小值． 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 12 四、幂函数、指数函数和对数函数 （一）幂函数 （1）幂函数的定义： 形如 )( Raxy a  的函数称作幂函数，定义域因a 而异． （2）当 1,0a 时，幂函数 )( Raxy a  在区间 ),0[  上的图像分三类，如图所示． （3）作幂函数 )1,0(  axy a 的草图，可分两步： ①根据 a 的大小，作出该函数在区间 ),0[  上的图像； ②根据该函数的定义域及其奇偶性，补全该函数在 ]0,( 上的图像． （4）判断幂函数 )( Raxy a  的a 的大小比较： 方法一： )( Raxy a  与直线 ( 1)x m m  的交点越靠上， a 越大； 方法二： )( Raxy a  与直线 (0 1)x m m   的交点越靠下，a 越大 （5）关于形如 ( )ax by ccx d   0 的变形幂函数的作图： ①作渐近线（用虚线）： dx c   、 ay c  ； ②选取特殊点：任取该函数图像上一点，建议取(0, )b d ； ③画出大致图像：结合渐近线和特殊点，判断图像的方位（右上左下、左上右下）． 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 13 （二）指数&指数函数 1、指数运算法则： ① yxyx aaa  ；② xyyx aa )( ；③ xxx baba  )( ；④( ) x x x a a b b  ，其中 ),0,( Ryxba  、 ． 2、指数函数图像及其性质： / )1(  aay x )10(  aay x 图像 定义域 R 值域 ),0(  奇偶性 非奇非偶函数 渐近线 x 轴 单调性 在( , )  上单调递增； 在( , )  上单调递减； 性质 ①指数函数 xay  的函数值恒大于零； ②指数函数 xay  的图像经过点 )1,0( ； ③当 0x 时， 1y ； 当 0x 时， 10  y ． ③当 0x 时， 10  y ； 当 0x 时， 1y ． 3、判断指数函数 xy a 中参数 a 的大小： 方法一： xy a 与直线 ( 0)x m m  的交点越靠上， a 越大； 方法二： xy a 与直线 ( 0)x m m  的交点越靠下， a 越大． 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 14 （三）反函数的概念及其性质 1、反函数的概念： 对于函数 ( )y f x ，设它的定义域为 D ，值域为 A ，如果对于 A 中任意一个值 y ，在 D 中总有唯 一确定的 x 值与它对应，且满足 ( )y f x ，这样得到的 x 关于 y 的函数叫做 ( )y f x 的反函数，记作 1( )x f y ．在习惯上，自变量常用 x 表示，而函数用 y 表示，所以把它改写为 1( )( )y f x x A  ． 2、求反函数的步骤：（“解”“换”“求”） ①将 ( )y f x 看作方程，解出 ( )x f y ； ②将 x 、 y 互换，得到 1( )y f x ； ③标出反函数的定义域（原函数的值域）． 3、反函数的条件： 定义域与值域中的元素一一对应． 4、反函数的性质： ①原函数 )(xfy  过点 ),( nm ，则反函数 )(1 xfy  过点 ),( mn ； ②原函数 )(xfy  与反函数 )(1 xfy  关于 xy  对称，且单调性相同； ③奇函数的反函数必为奇函数． 5、原函数与反函数的关系： / 函数 )(xfy  )(1 xfy  定义域 D A 值域 A D 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 15 （四）对数&对数函数 1、指数与对数的关系： a b N Na b  底数 指数 幂 bNa log 对数 真数 2、对数的运算法则： ① 01log a ， 1log aa ， Na Na log ；②常用对数 NN 10loglg  ，自然对数 NN elogln  ； ③ NMMN aaa loglog)(log  ， NMN M aaa logloglog  ， MnM a n a loglog  ； ④ b NN a a b log loglog  ， ab b a log 1log  ， bn mb a m an loglog  ， bb a c ac loglog  ， log logN Nb aa b ． 3、对数函数图像及其性质： / )1(log  axy a )10(log  axy a 图像 定义域 ),0(  值域 R 奇偶性 非奇非偶函数 渐近线 y 轴 单调性 在 ),0(  上单调递增； 在 ),0(  上单调递减； 性质 ①对数函数 xy alog 的图像在 y 轴的右方； ②对数函数 xy alog 的图像经过点 )0,1( ； ③当 1x 时， 0y ； 当 10  x 时， 0y ． ③当 1x 时， 0y ； 当 10  x 时， 0y  ． 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 16 4、判断对数函数 log , 0ay x x  中参数a 的大小： 方法一： log , 0ay x x  与直线 ( 0)y m m  的交点越靠右，a 越大； 方法二： log , 0ay x x  与直线 ( 0)y m m  的交点越靠左， a 越大． 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 17 五、三角比 1、角的定义： （1）终边相同的角： ① 与 2 ,k k Z   表示终边相同的角度； ②终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； ③ 与 ,k k Z   表示终边共线的角（同向或反向）． （2）特殊位置的角的集合的表示： 位置 角的集合 在 x 轴正半轴上 { 2 , }k k Z    在 x 轴负半轴上 { 2 , }k k Z      在 x 轴上 { , }k k Z    在 y 轴正半轴上 { 2 , }2k k Z     在 y 轴负半轴上 3{ 2 , }2k k Z     在 y 轴上 { , }2k k Z     在坐标轴上 { , }2 k k Z    在第一象限内 { 2 2 , }2k k k Z       在第二象限内 { 2 2 , }2k k k Z         在第三象限内 3{ 2 2 , }2k k k Z         在第四象限内 3{ 2 2 2 , }2k k k Z         （3）弧度制与角度制互化： ① 180rad   ； ② 1801rad   ； ③1 180 rad  ． 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 18 （4）扇形有关公式： ① r l ； ②弧长公式： rl  ； ③扇形面积公式： 21 1 2 2S lr r  （想象三角形面积公式）． （5）集合中常见角的合并： 2 2 2 22 22 2 ,2 44 5 42 4 2 432 4 42 4 x k x kx k kxx k x k x k kx k Zx k x k x k kx x k x k x k                                                                          （6）三角比公式及其在各象限的正负情况： 以角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，在 的终边上任取一个异 于原点的点 ( , )P x y ，点 P 到原点的距离记为 r ，则 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 19 （7）特殊角的三角比：  角度制 0 30 45 60 90 180 270 360 弧度制 0 6  4  3  2   2 3 2 sin 0 2 1 2 2 2 3 1 0 1 0 cos 1 2 3 2 2 2 1 0 1 0 1 tan 0 3 3 1 3 无 0 无 0 （8）一些重要的结论：（注意，如果没有特别指明， k 的取值范围是 k Z ） ①角 和角  的终边： 角 和角  的终边 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 关于原点对称 sin sin cos cos tan tan              sin sin cos cos tan tan              sin sin cos cos tan tan              ② 的终边与 2  的终边的关系．  的终边在第一象限  (2 ,2 )2k k      ( , )2 4k k    ；  的终边在第二象限  (2 ,2 )2k k       ( , )2 4 2k k      ；  的终边在第三象限  3(2 ,2 )2k k        3( , )2 2 4k k      ；  的终边在第四象限  3(2 ,2 2 )2k k       3( , )2 4k k      ． ③sin 与cos 的大小关系： sin cos   3(2 ,2 )4 4k k        的终边在直线 y x 右边（ 0x y  ）； sin cos   5(2 ,2 )4 4k k        的终边在直线 y x 左边（ 0x y  ）； 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 20 sin cos   5{2 2 }4 4k k     ，   的终边在直线 y x 上（ 0x y  ）． ④ sin 与 cos 的大小关系： sin cos   ( , )4 4k k        的终边在 0 0 x y x y      或 0 0 x y x y      ； sin cos   3( , )4 4k k        的终边在 0 0 x y x y      或 0 0 x y x y      ； sin cos   3{ }4 4k k     , ， k Z   的终边在 y x  ． 2、三角比公式： （1）诱导公式：（诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限） 第一组诱导公式： 第二组诱导公式： 第三组诱导公式： （周期性） （奇偶性） （中心对称性）               cot)2cot( tan)2tan( cos)2cos( sin)2sin( k k k k               cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin(               cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin( 第四组诱导公式： 第五组诱导公式： 第六组诱导公式： （轴对称） （互余性）               cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin(                    tan)2cot( cot)2tan( sin)2cos( cos)2sin(                    tan)2cot( cot)2tan( sin)2cos( cos)2sin( （2）同角三角比的关系： 倒数关系： 商数关系： 平方关系：       1cottan 1seccos 1cscsin           )0(sinsin coscot )0(coscos sintan                22 22 22 csccot1 sectan1 1cossin （3）两角和差的正弦公式：  sincoscossin)sin(  ； 两角和差的余弦公式：  sinsincoscos)cos(  ； 两角和差的正切公式：   tantan1 tantan)tan(   ． 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 21 （4）二倍角的正弦公式：  cossin22sin  ； 二倍角的余弦公式： 1cos2sin21sincos2cos 2222   ； 二倍角的正切公式：   2tan1 tan22tan   ； 降次公式： 万能置换公式： 2 2 2 2 2 2 2 1 cos 2sin 21 cos2sin 2 1 cos 2cos 21 cos2cos 2 1 sin sin cos2 21 cos2tan 1 cos2 1 sin sin cos2 2                                         ；                      2 2 2 2 tan1 tan22tan tan1 tan12cos tan1 tan22sin 半角公式：     sin cos1 cos1 sin 2tan  ； （5）辅助角公式： ①版本一： )sin(cossin 22   baba ，其中            22 22 cos sin ,20 ba a ba b    ． ②版本二： 2 2sin cos sin( )a b a b       ，其中 , 0,0 ,tan2 ba b a      ． 3、正余弦函数的五点法作图： 以 sin( )y x   为例，令 x  依次为 30, , , ,22 2    ，求出对应的 x 与 y 值，描点( , )x y 作图． 4、正弦定理和余弦定理： （1）正弦定理： RRC c B b A a (2sinsinsin  为外接圆半径) ； 其中常见的结论有： ① ARa sin2 ， BRb sin2 ， CRc sin2 ； ② R aA 2sin  ， R bB 2sin  ， R cC 2sin  ； ③ cbaCBA ::sin:sin:sin  ； ④ 22 sin sin sinABCS R A B C△ ； sin sin sin sin sin sin ABC aR B C S bR A C cR A B     △ ； 4ABC abcS R △ ． 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 22 （2）余弦定理：版本一：         Cabbac Baccab Abccba cos2 cos2 cos2 222 222 222 ；版本二：             ab cabC ac bcaB bc acbA 2cos 2cos 2cos 222 222 222 ； （3）任意三角形射影定理（第一余弦定理）： cos cos cos cos cos cos a b C c B b c A a C c a B b A         ． 5、与三角形有关的三角比： （1）三角形的面积： ① 1 2ABCS dh△ ； ② 1 1 1sin sin sin2 2 2ABCS ab C bc A ac B  △ ； ③ 2 2 2 2ABC l l l lS a b c             △ ，l 为 ABC△ 的周长． （2）在 ABC△ 中， ① sin sin cos cos cot cota b A B A B A B A B         ； ②若 ABC△ 是锐角三角形，则sin cosA B ； ③ sin( ) sin sin( ) sin sin( ) sin A B C B C A A C B         ； cos( ) cos cos( ) cos cos( ) cos A B C B C A A C B            ； tan( ) tan tan( ) tan tan( ) tan A B C B C A A C B            ； ④ sin cos2 2 sin cos2 2 sin cos2 2 A B C B A C C A B         ； tan cot2 2 tan cot2 2 tan cot2 2 A B C B A C C A B         ； ⑤ sin cos2 2 sin cos2 2 A B A C     ； sin cos2 2 sin cos2 2 B A B C     ； sin cos2 2 sin cos2 2 C A C B     ；  sin sin cos cos2 2 2 2 sin sin cos cos2 2 2 2 sin sin cos cos2 2 2 2 A B A B A C A C B C B C         sin sin sin cos cos cos2 2 2 2 2 2 A B C A B C ； 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 23 ⑥ sin sin sin 4cos cos cos2 2 2 cos cos cos 1 4sin sin sin2 2 2 sin sin sin 4sin sin cos2 2 2 A B CA B C A B CA B C A B CA B C               ； sin 2 sin 2 sin 2 4sin sin sin cos2 cos2 cos2 4cos cos cos 1 A B C A B C A B C A B C          ； ⑦ 3 3sin sin sin (0, ]2 3cos cos cos (1, ]2 A B C A B C         ； 3 3sin sin sin (0, ]8 sin sin sin cos cos cos 1cos cos cos ( 1, ]8 A B C A B C A B C A B C          ． 其中，第一组可以利用琴生不等式来证明；第二组可以结合第一组及基本不等式证明． （3）在 ABC△ 中，角 A 、 B 、C 成等差数列  3B  ． （4） ABC△ 的内切圆半径为 2Sr a b c    ． 6、仰角、俯角、方位角： 略 7、和差化积与积化和差公式（理科）： （1）积化和差公式： 1sin cos [sin( ) sin( )]2 1cos sin [sin( ) sin( )]2 1cos cos [cos( ) cos( )]2 1sin sin [cos( ) cos( )]2                                                ； （2）和差化积公式： sin sin 2sin cos2 2 sin sin 2cos sin2 2 cos cos 2cos cos2 2 cos cos 2sin sin2 2                                         ． 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 24 六、三角函数 1、正弦函数、余弦函数和正切函数的性质、图像： xy sin xy cos xy tan 定 义 域 R R },2{ Zkkxx   值 域 ]1,1[ ]1,1[ R 奇 偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 周 期 性 最小正周期 2T 最小正周期 2T 最小正周期 T 单 调 性 [2 ,2 ]2 2k k     ； 3[2 ,2 ]2 2k k     ． （ Zk  ） [2 ,2 ]k k    ； [2 ,2 ]k k    ． （ Zk  ） ( , )2 2k k     （ Zk  ） 最 值 当 22   kx 时， 1min y ； 当 22   kx 时， 1max y ； 当   kx 2 时， 1min y ； 当 kx 2 时， 1max y ； 无 图 像 例 1：求函数 5sin(2 )3y x   的周期、单调区间和最值．（当 x 的系数为负数时，单调性相反） 解析：周期 2 2T    ，由函数 xy sin 的递增区间[2 ,2 ]2 2k k    ，可得 2 2 22 3 2k x k        ，即 5 12 12k x k      ， 于是，函数 5sin(2 ) 73y x    的递增区间为 5[ , ]12 12k k    ． 同理可得函数 5sin(2 ) 73y x    递减区间为 7[ , ]12 12k k    ． 当 2 23 2x k    ，即 12x k   时，函数 5sin(2 )3y x   取最大值 5； 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 25 当 2 23 2x k    ，即 5 12x k   时，函数 5sin(2 )3y x   取最大值 5 ． 例 2：求函数 5sin(2 ) 7, [0, ]3 2y x x     的单调区间和最值． 解析：由 [0, ]2x  ，可得 42 [ , ]3 3 3x     ． 然后画出 2 3x  的终边图，然后就可以得出 当 2 [ , ]3 3 2x     ，即 [0, ]12x  时，函数 5sin(2 ) 73y x    单调递增； 当 42 [ , ]3 2 3x     ，即 [ , ]12 2x   时，函数 5sin(2 ) 73y x    单调递减． 同时，当 2 3 2x    ，即 12x  时，函数 5sin(2 ) 73y x    取最大值 12； 当 42 3 3x    ，即 2x  时，函数 5sin(2 ) 73y x    取最小值 5 37 2  ； 注意：当 x 的系数为负数时，单调性的分析正好相反． 2、函数 sin( )y A x h    & cos( )y A x h    & tan( )y A x h    ，其中 0, 0A   ： （1）复合三角函数的基本性质： 三角函数 sin( )y A x h    其中 0, 0A   cos( )y A x h    其中 0, 0A   tan( )y A x h    其中 0, 0A   振幅 A 无 基准线 y h 定义域 ( , )  { , }2x x k k Z      值域 [ , ]A h A h  ( , )  最小正周期 2T   T   频率 1 2f T    1f T    相位 x  初相  真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 26 （2）函数 sin( )y A x h    与函数 siny x 的图像的关系如下： ①相位变换： 当 0  时， sin sin( )y x y x    向左平移 个单位 ； 当 0  时， sin sin( )y x y x    向右平移 个单位 ； ②周期变换： 当 1  时， 1 sin( ) sin( )y x y x       所有各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ； 当0 1  时， 1 sin( ) sin( )y x y x       所有各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变） ； ③振幅变换： 当 1A  时， sin( ) sin( )Ay x y A x       所有各点的纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不变） ； 当0 1A  时， sin( ) sin( )Ay x y A x       所有各点的纵坐标缩短到原来的 倍（横坐标不变） ； ④最值变换： 当 0h  时， sin( ) sin( )hy A x y A x h        所有各点向上平行移动 个单位 ； 当 0h  时， sin( ) sin( )hy A x y A x h        所有各点向下平行移动 个单位 ； 注意：函数 cos( )y A x h    和函数 tan( )y A x h    的变换情况同上． 3、三角函数的值域： （1） siny a x b  型： 设 sint x ，化为一次函数 y at b  在闭区间[ 1,1] 上求最值． （2） sin cosy a x b x c   ， , 0a b  型： 引入辅助角 ,tan b a    ，化为 2 2 sin( )y a b x c    ． （3） 2sin siny a x b x c   型： 设 sin [ 1,1]t x   ，化为二次函数 2y at bt c   求解． （4） sin cos (sin cos )y a x x b x x c    型： 设 sin cos [ 2, 2]t x x    ，则 2 1 2sin cost x x  ，化为二次函数 2( 1) 2 a ty bt c    在闭 区间 [ 2, 2]t   上求最值． 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 27 （5） tan coty a x b x  型： 设 tant x ，化为 by at t   ，用“Nike 函数”或“差函数”求解． （6） sin sin a x by c x d   型： 方法一：常数分离、分层求解；方法二：利用有界性，化为 1 sin 1x   求解． （7） sin cos a x by c x d   型： 化为 sin cosa x yc x b dy   ，合并 2 2 2 sin( )a y c x b dy    ，利用有界性， 2 2 2 sin( ) [ 1,1]b dyx a y c       求解． （8） 2 2sin cos sin cosa x x b x c x  ，（ 0, ,a b c 不全为 0）型： 利用降次公式，可得 2 2sin cos sin cos sin 2 cos22 2 2 a c b b ca x x b x c x x x      ，然后利用辅 助角公式即可． 4、三角函数的对称性： 对称中心 对称轴方程 xy sin )0,( k ， Zk  2   kx ， Zk  xy cos )0,2(  k ， Zk  kx  ， Zk  xy tan )0,2( k Zk  / xy cot )0,2( k Zk  / 备注：① xy sin 和 xy cos 的对称中心在其函数图像上； ② xy tan 和 xy cot 的对称中心不一定在其函数图像上．（有可能在渐近线上） 例 3：求函数 5sin(2 ) 73y x    的对称轴方程和对称中心． 解析：由函数 siny x 的对称轴方程 2   kx ， Zk  ，可得 2 3 2x k    ， Zk  解得 12 2 kx    ， Zk  ． 所以，函数 5sin(2 ) 73y x    的对称轴方程为 12 2 kx    ， Zk  ． 由函数 siny x 的中心对称点 )0,( k ， Zk  ，可得 2 3x k   ， Zk  解得 6 2 kx     ， Zk  ． 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 28 所以，函数 5sin(2 ) 73y x    的对称中心为( ,7)6 2 k   ， Zk  ． 5、反正弦、反余弦、反正切函数的性质和图像： xy arcsin xy arccos xy arctan 定义域 ]1,1[ ]1,1[ ),(  值域 ]2,2[  ],0[  )2,2(  奇偶性 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在[ 1,1] 上是增函数 在[ 1,1] 上是减函数 在 ),(  上是增函数 对称中心 点(0,0) 点(0, )2  点(0,0) 图像 重要结论： （1）先反三角函数后三角函数： ① [ 1,1] sin(arcsin ) cos(arccos )a a a a     ； ② tan(arctan )a R a a   ． （2）先三角函数后反三角函数： ① [ , ]2 2      arcsin(sin )  ； ② [0, ]   arccos(cos )  ； ③ ( , )2 2      arctan(tan )  ． （3）反三角函数对称中心特征方程式： ① [ 1,1]a   arcsin( ) arcsina a   ； ② [ 1,1]a   arccos( ) arccosa a   ； ③ ( , )a    arctan( ) arctana a   ． 6、解三角方程公式： 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 29 sin , 1 ( 1) arcsin , cos , 1 2 arccos , tan , arctan , kx a a x k a k Z x a a x k a k Z x a a R x k a k Z                       ．