高一数学 （人教版必修3）：第五章 概率 word版含解析 17页

第五章 概率 重点列表： 重点 名称 重要指数 重点 1 随机事件的概念 ★★★ 重点 2 对立与互斥的概念 ★★★★ 重点详解： 1．随机事件和确定事件 (1)在条件 S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件 S 的____________． (2)在条件 S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件 S 的____________． 必然事件与不可能事件统称为相对于一定条件的确定事件． (3)在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件 S 的__________． (4)____________和____________统称为事件，一般用大写字母 A，B，C，…表示． 2．频率与概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的 次数 nA 为事件 A 出现的________，称事件 A 出现的比例 fn(A)＝________为事件 A 出现的频率． (2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的____________fn(A)稳定 在某个常数上，把这个____________记作 P(A)，称为事件 A 的____________． (3)在一次试验中几乎不可能发生的事件称为____________． 3．事件的关系与运算(类比集合的关系与运算) 定义 符号表示 包含关系 如果事件 A 发生， 则事件 B 一定发生， 这 时 称 事 件 B______ 事 件 A( 或 称事件 A 包含于事 件 B) (或 A  B) 相等关系 若 B  A 且 A  B ____________ 并事件 (和事件) 若某事件发生当且 仅当事件 A 发生 A∪B (或 A＋B) ______事件 B 发生， 称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件 交事件 (积事件) 若某事件发生当且 仅 当 事 件 A 发 生 ____事件 B 发生， 则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件 A∩B (或 AB) 互斥事件 若______为不可能 事件，则事件 A 与 事件 B 互斥 A∩B＝______ 对立事件 若________为不可 能事件，________ 为必然事件，那么 称事件 A 与事件 B 互为对立事件 A∩B＝______ P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)＝ ____________ 拓展：“互斥事件”与“对立事件”的区别及联系：两个事件 A 与 B 是互斥事件，有如下三 种情况：①若事件 A 发生，则事件 B 就不发生；②若事件 B 发生，则事件 A 就不发生；③事 件 A，B 都不发生．两个事件 A 与 B 是对立事件，仅有前两种情况．因此，互斥未必对立，但 对立一定互斥． 4．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：____________. (2)必然事件的概率 P(E)＝____________. (3)不可能事件的概率 P(F)＝____________. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪B)＝___________. 推广：如果事件 A1，A2，…，An 两两互斥(彼此互斥)，那么事件 A1＋A2＋…＋An 发生的概率， 等于这 n 个事件分别发生的概率的和，即 P(A1＋A2＋…＋An)＝___________. ②若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A)＝____________________. 【答案】 1．(1)必然事件 (2)不可能事件 (3)随机事件 (4)确定事件 随机事件 2．(1)频数 nA n (2)频率 常数 概率 (3)小概率事件 3．包含 B  A A＝B 或 且 A∩B Ø A∩B A∪B Ø 1 4．(1)0≤P(A)≤1 (2)1 (3)0 (4)①P(A)＋P(B) P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An) ②1－P(B) 重点 1：随机事件的概念 【要点解读】 概率与频率的关系 (1)频率是一个随机数，在试验前是不能确定的． (2)概率是一个确定数，是客观存在的，与试验次数无关． (3)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，因而概率是频 率的稳定值． 【考向 1】随机事件的判断 【例题】同时掷两颗骰子一次， (1)“点数之和是 13”是什么事件？其概率是多少？ (2)“点数之和在 2～13 之间”是什么事件？其概率是多少？ (3)“点数之和是 7”是什么事件？其概率是多少？ 【评析】明确必然事件、不可能事件、随机事件的意义及相互联系．判断一个事件是哪类事 件要看两点：一是看条件，二是看结果发生与否，在条件 S 下事件发生与否是对应于条件 S 而言的． 【考向 2】不可能事件与必然事件 【例题】一个口袋内装有 5 个白球和 3 个黑球，从中任意取出一个球， (1)“取出的球是红球”是什么事件？它的概率是多少？ (2)“取出的球是黑球”是什么事件？它的概率是多少？ (3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？ 解：(1)由于口袋内装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件，其概率 为 0. (2)由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球，也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随 机事件，它的概率是3 8 . (3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球，因此，“取 出的球是白球或黑球”是必然事件，它的概率为 1. 重点 2：对立与互斥的概念及应用 【要点解读】互斥事件、对立事件的判定方法 (1)利用基本概念 ①互斥事件不可能同时发生； ②对立事件首先是互斥事件，且必有一个发生． (2)利用集合的观点来判断 设事件 A 与 B 所含的结果组成的集合分别是 A，B， ①事件 A 与 B 互斥，即集合 A∩B＝Ø； ②事件 A 与 B 对立，即集合 A∩B＝Ø，且 A∪B＝I(全集)，也即 A＝∁IB 或 B＝∁IA； ③对互斥事件 A 与 B 的和 A＋B，可理解为集合 A∪B. 3．只有事件 A，B 互斥时，才有公式 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)成立，否则公式不成立． 4．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼 此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件 的概率，再用公式 P(A)＝1－P( A )，即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时， 一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏．特别是对于含“至多”“至 少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便． 【考向 1】对立与互斥的概念 【例题】判断下列各组事件是否是互斥事件，并说明道理． 某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学去参加演讲比赛，其中 (1)恰有 1 名男生和恰有 2 名男生； (2)至少有一名男生和至少有一名女生； (3)至少有一名男生和全是男生； (4)至少有 1 名男生和全是女生． (3)不是互斥事件． 道理是：“至少有一名男生”包括“一名男生、一名女生”和“两名都是男生”，这与“全 是男生”可同时发生． (4)是互斥事件． 道理是：“至少有 1 名男生”包括“1 名男生、1 名女生”和“两名都是男生”两种结果，它 和“全是女生”不可能同时发生． 【评析】判断两个事件是否为互斥事件，就是考查它们能否同时发生，如果不能同时发生， 则是互斥事件，否则，就不是互斥事件．判断对立与互斥除了用定义外，也可以利用集合的 观点来判断．注意：①事件的包含、相等、互斥、对立等，其发生的前提条件应是一样的； ②对立是针对两个事件来说的，而互斥可以是多个事件的关系． 【考向 2】对立与互斥的应用 【例题】经统计，在某展览馆处排队等候验证的人数及其概率如下表： 排队人数 0 1 2 3 4 5 概率 0.10 0.16 0.30 0.30 0.10 0.04 (1)求至多 2 人排队的概率； (2)求至少 1 人排队的概率． 【评析】求事件的概率常需求互斥事件的概率和，要学会把一个事件分拆为几个互斥事件．当 直接计算事件的概率比较复杂(或不能直接计算)时，通常是正难则反转而求其对立事件的概 率． 难点列表： 难点 名称 难度指数 难点 1 古典概型 ★★★★ 难点 2 集合概型 ★★★★★ 难点详解： 古典概型 1．基本事件和基本事件空间的概念 (1)在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的 最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为____________． (2)所有基本事件构成的集合称为______________，常用大写希腊字母________表示． 2．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是____________的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成____________的和． 3．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型： (1)试验中所有可能出现的基本事件只有__________个． (2)每个基本事件出现的可能性____________． 4．古典概型的概率公式 在古典概型中，一次试验可能出现的结果有 n 个，如果某个事件 A 包含的结果有 m 个，那么 事件 A 的概率为 P(A)＝________. 【答案】 1．(1)基本事件 (2)基本事件空间 Ω 2．(1)互斥 (2)基本事件 3．(1)有限 (2)相等 4. m n 几何概型 1．随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个满足条件的数的机会 是____________．利用计算器，Excel，Scilab 等都可以产生随机数． 2．几何概型的定义 如 果 每 个 事 件 发 生 的 概 率 只 与 构 成 该 事 件 区 域 的 ____________(____________ 或 ____________)成比例，则称这样的概率模型为________________，简称____________． 3．概率计算公式 在几何区域 D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的一个区域 d 内”为事件 A，则事件 A 发生的概率 P(A)＝ ．求试验中几何概型的概率，关键 是求得事件所占区域 d 和整个区域 D 的几何度量，然后代入公式即可求解． 【答案】 1．均等的 2．长度 面积 体积 几何概率模型 几何概型 3. 构成事件A 的区域的长度（面积或体积） 试验的全部结果构成的区域的长度（面积或体积） 难点 1：古典概型 【要点解读】 1．古典概型(有些书籍也称等可能概型)是概率论中最简单且直观的模型，在概率论的发展初 期曾是主要研究对象，许多概率的运算法则都是在古典概型中得到证明的(遂谓之“古 典”)．要判断一个试验是否为古典概型，只需要判断这个试验是否具有古典概型的两个特征 ——有限性和等可能性． 2．(1)如果基本事件的个数比较少，可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出 来，然后再求出事件 A 中的基本事件数，利用公式 P(A)＝m n 求出事件 A 的概率，这是一个形象 直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复，不遗漏． (2)如果基本事件个数比较多，列举有一定困难时，也可借助两个计数原理及排列组合知识直 接计算 m，n，再运用公式 P(A)＝m n 求概率． 3．对于事件 A 的概率的计算，关键是要分清基本事件总数 n 与事件 A 包含的基本事件数 m. 因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事 件数有多少个；第三，事件 A 是什么，它包含的基本事件有多少个． 4．较为简单的问题可以直接使用古典概型概率公式计算，较为复杂的概率问题的处理方法有： (1)转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解； (2)采用间接法，先求事件 A 的对立事件 A 的概率，再由 P(A)＝1－P( A )求事件 A 的概率． 【考向 1】基本事件与基本事件空间的概念 【例题】将一枚均匀硬币抛掷三次． (1)试用列举法写出该试验所包含的基本事件； (2)事件 A：“恰有两次出现正面向上”包含几个基本事件； (3)事件 B：“三次都出现正面向上”包含几个基本事件． 解：(1)试验“将一枚均匀硬币抛掷三次”所出现的所有基本事件有：(正，正，反)，(正， 反，正)， (正，反，反)，(正，正，正)，(反，反，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(反，正，正)， 共 8 种等 可能结果． (2)事件 A 包含的基本事件有三个：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)． (3)事件 B 包含的基本事件只有一个：(正，正，正)． 【评析】基本事件是试验中不能再分解的事件，是“最小”的“事件单位”．任何基本事件 都是互斥的，任何复杂事件都可以分解为基本事件，所有基本事件的全体组成基本事件空间． 【考向 2】列举基本事件求概率 【例题】小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以 O 为起点，再从 A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这 6 个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的 数量积为 X，若 X>0 就去打球，若 X＝0 就去唱歌，若 X<0 就去下棋． (1)写出数量积 X 的所有可能取值； (2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率． 难点 2：几何概型 【要点解读】 1．几何概型与古典概型的关系 几何概型是古典概型的补充和推广，它要求随机试验的基本事件空间包含无穷多个元素，每 个基本事件由在几何空间(一维、二维、三维)中的某一区域 G 内随机而取的点的位置来确定； 而“基本事件发生或出现是等可能的”这一要求，两种概率模型是高度统一的． 2．解决几何概型问题，注意把握好以下几点： (1)能正确区分古典概型与几何概型． 例 1：在区间 0，10]上任意取一个整数 x，则 x 不大于 3 的概率为________． 例 2：在区间 0，10]上任意取一个实数 x，则 x 不大于 3 的概率为________． 例 1 的基本事件总数为有限个 11，不大于 3 的基本事件有 4 个，此为古典概型，故所求概率 为 4 11 ．例 2 的基本事件总数为无限个，属于几何概型，故所求概率为 3 10 ． (2)准确分清几何概型中的测度． 例 3：在等腰 Rt△ABC 中，∠C＝90°，在直角边 BC 上任取一点 M，求∠CAM＜30°的概率． 例 4：在等腰 Rt△ABC 中，∠C＝90°，在∠CAB 内作射线交线段 BC 于点 M，求∠CAM＜30°的 概率． 例 3 中的测度定性为线段长度，当∠CAM0＝30°，CM0＝ 3 3 AC＝ 3 3 CB．满足条件的点 M 等可能 的分布在线段 CM0 上，故所求概率等于CM0 CB ＝ 3 3 ．例 4 中的测度定性为角度，过点 A 作射线与 线段 CB 相交，这样的射线有无数条，均匀分布在∠CAB 内，∠CAB＝45°．所以所求概率等于 ∠CAM0 ∠CAB ＝30° 45° ＝2 3 ． (3)科学设计变量，数形结合解决问题． 例 5：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待时间不多于 10 分钟的概率． 例 6：某人午觉醒来，发现表停了，求表停的分钟数与实际分钟数差异不超过 5 分钟的概率． 例 5 是《必修 3》的例题，此题中的变量(单变量)可看作是时间的长度，故所求概率为10 60 ＝1 6 ．例 6 容易犯解例 5 形成的定势思维的错误，得到错误答案 5 60 ＝ 1 12 ．原因在于没有认清题中的变量， 本题的变量有两个：手表停的分钟数和实际分钟数，都可取 0，60]内的任意时刻，故所求概 率需用到面积型几何概型，由|x－y|≤5 结合线性规划知识可解，故所求概率为602－552 602 ＝ 23 144 ．通过这两道例题我们也可以看出，单变量多用线型测度，多变量需用面积(或体积)型测 度．在画好几何图形后，利用数形结合思想解题． 3．几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可 能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果 对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决． 【考向 1】以长度为度量的几何概型 【例题】在半径为 1 的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于该直径的弦，则弦长 超过圆内接等边三角形边长的概率是________． 解：记事件 A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”．如图， 不妨在过等边三角形 BCD 的顶点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂直于直径的弦，当弦为 FD 时， 就是等边三角形的边长，弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离小于1 2 ，由几何概型公 式得：P(A)＝ 1 2 ×2 2 ＝1 2 ．故填1 2 ． 【 评 析 】 ① 以 线 段 长 度 为 度 量 的 几 何 概 型 概 率 计 算 公 式 ： P(A) ＝ 事件 A 对应的线段长 试验的全部结果对应的线段长 ．※②本题实际是著名的贝特朗悖论的解答之一，该“悖论” 是说：在一半径为 1 的圆 C 内任意作一弦，此弦长度大于该圆内接正三角形边长( 3)的概率 是多少？由于题中“任意作一弦”的提法不明确，与之对应的随机试验及基本事件也不同， 从而产生不同的概率问题．除了本例给出的解答外，还有两种常见解答，而这三种解答结果 各不相同，从而形成所谓的“悖论”．另外两种如下：(Ⅰ)以1 2 为半径作圆 C 的同心圆 C1(图 1)，易证弦的中点 M 落在圆 C1 内的充要条件为弦长 l> 3，故所求概率等于二圆面积之比1 4 ；(Ⅱ) 设弦 AB 的一端固定于圆上，于是弦的另一端 B 是“任意”的，考虑正三角形 ADE(图 2)，弦 长 l> 3的充要条件为 B 落在劣弧DE︵上，故所求概率为劣弧DE︵的弧长与圆周长之比1 3 ．有兴趣的 同学可以翻阅相关资料，并不妨探究一下：这三种解答采用的都是何种等可能性的假定？ 【考向 2】以面积为度量的几何概型 【例题】(1)如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 内任取一点 P(x，y)． ①求△APB 的面积大于1 4 的概率； ②求点 P 到原点的距离小于 1 的概率． 解：①如图，取线段 BC，AO 的中点 E，F，连接 EF，则当点 P 在线段 EF 上时，S△APB＝1 4 ，故满 足条件的点 P 所在的区域为矩形 OFEC(阴影部分)． 故所求概率为 S 矩形 OFEC S 正方形 OABC ＝1 2 ． ②所有的点 P 构成正方形区域 D，若点 P 到原点距离小于 1， 则 0＜x＜1， 0＜y＜1， x2＋y2＜1， 所以符合条件的点 P 构成的区域是圆 x2＋y2＝1 在第一象限所围的平面部分(图 中阴影部分)．∴点 P 到原点距离小于 1 的概率为： 1 4 ·π·12 12 ＝π 4 ． 【 评 析 】 ① 以 面 积 为 度 量 的 几 何 概 型 概 率 计 算 公 式 ： P ＝ 事件 A 构成区域的面积 整个试验的全部结果构成区域的面积 ．②解此类问题的主要步骤为：列出条件组，画出图形， 计算面积，再求概率．③多注意数形结合． (2)甲、乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时 即可离去．求两人能会面的概率． 【评析】①平面直角坐标系内用 x 轴表示甲到达约会地点的时间，y 轴表示乙到达约会地点的 时间，用 0 分到 60 分表示 6 时到 7 时的时间段，则横轴 0 到 60 与纵轴 0 到 60 的正方形中任 一点的坐标(x，y)就表示甲、乙两人分别在 6 时到 7 时时间段内到达的时间．而能会面的时 间由|x－y|≤15 所对应的图中阴影部分表示．②本题的难点在于把实际问题转化为几何模型． 【考向 3】以体积为度量的几何概型 【例题】在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 内任取一点 P，则点 P 到点 A 的距离不大于 a 的概 率为( ) A． 2 2 B． 2 2 π C．1 6 D．π 6 【评析】①以体积为度量的几何概型概率计算公式：P＝ 构成事件 A 的区域的体积 试验的全部结果构成的区域的体积 ； ②对于以体积为度量的几何概型，要根据空间几何体的体积计算方法，把概率计算转化为空 间几何体的体积计算． 【考向 4】随机模拟 【例题】一只海豚在水池中游弋，水面为长 30 m，宽 20 m 的长方形，随机事件 A 记为“海豚 嘴尖离岸边不超过 2 m”． (1)试设计一个能估算出事件 A 发生的概率的算法； (2)求 P(A)的准确值． 解：(1)建立如图的直角坐标系，并用计算机所产生的随机数 x 和 y 组成的有序数组(x，y)来 表示海豚嘴尖的坐标． 这里几何区域 D 所表示的范围为长方形：x∈(－15，15)，y∈(－10，10)，事件 A 所表示的区域 为图中的阴影部分 d：||x|－15|≤2，或||y|－10|≤2． 算法框图如下： (2)如图所示，所求概率为 P(A)＝阴影部分的面积 区域 D 的面积 ＝30×20－26×16 30×20 ＝23 75 ． 【评析】①简单说明：n 记录做了多少次试验，m 记录其中有多少次(x，y)出现在阴影部分； rand()×30－15 产生－15～15 之间的随机数作为海豚嘴尖的横坐标，rand()×20－10 产生－ 10～10 之间的随机数 y 作为海豚嘴尖的纵坐标；||x|－15|≤2 或||y|－10|≤2 判断(x，y)是 否落在阴影部分．②随机模拟的是计算机产生随机数，而算法的引入为模拟提供了可能，随 着新课标注重应用的不断深入，此类问题会倍受关注． 【趁热打铁】 1．有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能 性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.3 4 2．在区间－2，3]上随机选取一个数 X，则 X≤1 的概率为( ) A.4 5 B.3 5 C.2 5 D.1 5 3．从 1，2，…，9 中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数 和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个 偶数． 在上述事件中，是对立事件的是( ) A．① B．②④ C．③ D．①③ 4．在 1，2，3，4，5，6，7，8 这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字 5 是取出的五 个不同数的中位数的概率为( ) A. 9 56 B. 9 28 C. 9 14 D.5 9 5．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三 天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为( ) A. 1 15 B.1 5 C.1 4 D.1 2 6．设 k 是一个正整数，已知 1＋x k k 的展开式中第四项的系数为 1 16 ，函数 y＝x2 与 y＝kx 的图 象所围成的区域如图中阴影部分所示，任取 x∈0，4]，y∈0，16]，则点(x，y)恰好落在阴影 部分内的概率为( ) A.17 96 B. 5 32 C.1 6 D. 7 48 7．如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是 扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区 域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( ) A．1－π 4 B.π 2 －1 C．2－π 2 D.π 4 8．已知数列{an}是等差数列，从 a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7 中取走任意四项，则剩下三项构成 等差数列的概率为( ) A. 6 35 B. 9 35 C．1 或 9 35 D．1 或 6 35 9．在不等式组 0≤x≤2， 0≤y≤2 所表示的平面区域内任取一点 P，若点 P 的坐标(x，y)满足 y≥kx 的概率为3 4 ，则实数 k＝( ) A．4 B．2 C.2 3 D.1 2 10．如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，H 分别是棱 A1B1，D1C1 上的点(点 E 与 B1 不重合)， 且 EH∥A1D1，过 EH 的平面与棱 BB1，CC1 相交，交点分别为 F，G.若 AB＝2AA1＝2a，EF＝a，B1E ＝B1F，在长方体 ABCDA1B1C1D1 内随机选取一点，则该点取自于几何体 A1ABFED1DCGH 内的概率 为( ) A.11 16 B.3 4 C.13 16 D.7 8 第五章 1．A 甲、乙两人都有 3 种选择，共有 3×3＝9 种情况，甲、乙两人参加同一兴趣小组共有 3 种情况， ∴甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率 P＝3 9 ＝1 3 ，故选 A. 2．B 这是一个几何概型问题，测度是长度，此问题的总体长度为 5，使得“X≤1”的长度为 3，故 P(X≤1)＝3 5 . 3．C 从 1，2，…，9 中任取两数，包括一奇一偶、二奇、二偶，共三种互斥事件，所以只 有③中的两个事件才是对立的． 4．B 要满足题意，则抽取的除 5 以外的四个数字中，有两个比 5 小，有两个比 5 大，故所 求概率 P＝C2 4·C2 3 C5 8 ＝ 9 28 . 5．B 由题意分析可得，甲连续三天参加活动的所有情况为：第 1～3 天，第 2～4 天，第 3～ 5 天，第 4～6 天，共 4 种，∴所求概率 P＝4·A3 3 C3 6·A3 3 ＝1 5 . 7．A 依题意，有信号的区域面积为π 4 ×2＝π 2 ，矩形的面积为 2，故所求概率为 P＝ 2×1－π 2 2×1 ＝1－π 4 . 8．C 当等差数列{an}的公差为 0 时，剩下三项一定构成等差数列，故概率为 1. 当等差数列{an}的公差不为 0 时，从 a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7 中取走任意四项，剩下三项的 总数有 C4 7＝35(种)， 剩下三项构成等差数列，则符合条件的有(a1，a2，a3)，(a2，a3，a4)，(a3，a4，a5)，(a4，a5， a6)，(a5，a6，a7)，(a1，a3，a5)，(a2，a4，a6)，(a3，a5，a7)，(a1，a4，a7)9 种情况，故剩下 三项构成等差数列的概率为 9 35 . 思路点拨：根据公差是否为 0 进行分类讨论，由题意可求得所有的基本事件数目，也可求得 符合条件的基本事件数目，由古典概型概率公式求解． 9．D 如图，满足不等式组的区域是边长为 2 的正方形，面积是 4，假设满足不等式 y≥kx 的 区域如图阴影部分，其面积为 4－1 2 ×2×2k，由几何概型的概率公式得点 P 的坐标(x，y)满足 y≥kx 的概率为 4－1 2 ×2×2k 4 ＝3 4 ，解得 k＝1 2 . 10．D 在等腰直角三角形 B1EF 中，因为斜边 EF＝a，所以 B1E＝B1F＝ 2 2 a. 根据几何概型概率公式，得 P＝VA1ABFED1DCGH VABB1A1DCC1D1 ＝VABB1A1DCC1D1－VEFB1HGC1 VABB1A1DCC1D1 ＝1－ VEFB1HGC1 VABB1A1DCC1D1 ＝1－ S△EFB1 S 矩形 ABB1A1 ＝1－ 1 2 B1E·B1F 2a2 ＝1－ 1 4a2· 2 2 a· 2 2 a＝1－1 8 ＝7 8 .故选 D.