2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书：11 9页

www.ks5u.com ‎11．1.2　构成空间几何体的基本元素 ‎[课程目标] 1.了解构成空间几何体的基本元素； 2.理解点、线、面三个原始概念及其关系； 3.从运动的角度理解直线、面、体的形成过程； 4.以长方体为例，了解空间中点、直线、平面之间的位置关系．‎ 知识点一　　构成空间几何体的元素 ‎[填一填]‎ ‎1．将点、线、面看作构成空间几何体的基本元素．‎ ‎2．立体几何中，我们仍用大写英文字母来表示点，构成空间几何体的基本元素可以借助点来表示．‎ ‎[答一答]‎ ‎1．对点、线、面及其关系的三点说明．‎ 提示：(1)平面和点、线一样是构成空间图形的基本要素之一，它是无边界、大小和厚薄的．‎ ‎(2)“点”可看成元素，“线、面”可看成集合．‎ ‎(3)将“文字语言”“图形语言”转化为“符号语言”要注意符号“∈，∉，⊂，⊄，∩”的正确使用．‎ 知识点二　　　空间点、线、面的关系 ‎[填一填]‎ ‎1．从运动的观点理解点、线、面之间的关系 点运动的轨迹可以是线，线运动的轨迹可以是面 ‎，面运动的轨迹可以是体．‎ ‎2．空间中点与直线、直线与直线的位置关系 ‎(1)点A与B确定的直线可记作直线AB.一般用小写英文字母表示直线，直线AB可简记为l.A，B都是l上的点，且A1，B1都不是l上的点，可用符号简写为A∈l，B∈l，A1∉l，B1∉l.‎ ‎(2)若直线m与l相交(即有公共点)，k与l不相交(即没有公共点)，可分别表示为m∩l≠∅，k∩l＝∅.若m与l相交于点B，记为m∩l＝{B}，简写为m∩l＝B.‎ ‎(3)一般地，空间中的两条直线，可以既不平行，也不相交，此时称这两条直线异面．‎ ‎3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 ‎(1)空间中的平面是可无限延伸的，而且能用该平面内不共线的3个或3个以上的点来表示．如长方形ABCD所在的平面可记作面ABC，也可以记作面ABD或面ABCD.通常用小写希腊字母α，β，γ，…表示平面．因此，面ABCD可以记为α.若A是平面α内的点，A1不是平面α内的点，用符号简写为A∈α，A1∉α.‎ ‎(2)点A，B确定的直线l上的所有点都在平面α内，这称为直线l在平面α内(或平面α过直线l)，记作l⊂α；点B，B1确定的直线m上至少有一个点不在平面α内，这称为直线m在平面α外，记作m⊄α.若m与α有且只有一个公共点(称为直线m与平面α相交)，即m∩α＝{B}，简写为m∩α＝B.当l∩α＝∅时，称直线l与平面α平行，记作l∥α.‎ ‎(3)α与β有公共点，这称为平面α与平面β相交，记作α∩β≠∅.‎ 当α∩β＝∅时，称平面α与平面β平行，记作α∥β.‎ ‎4．直线与平面垂直 ‎(1)如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有l⊥m，则称直线l与平面α垂直(或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面)，记作l⊥α，其中点A称为垂足．‎ ‎(2)给定空间中一个平面α及一个点A，过A 可以作而且只可以作平面α的一条垂线．如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影(也称为投影)，线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离．‎ ‎(3)当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离．‎ ‎[答一答]‎ ‎2．写出两个特殊的空间位置关系？‎ 提示：(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情形．‎ ‎(2)平面和平面垂直是两个平面相交的特殊情形．‎ ‎3．怎样理解点到平面的距离及两个平行平面间的距离？‎ 提示：(1)点与平面内任一点连线中最短的一条线段的长度．特别地，当点在平面内时，点到平面的距离为0.‎ ‎(2)两个平行平面间的距离，可转化为其中一个平面内任一点到另一个平面的距离．‎ 类型一　　构成几何体的基本元素 ‎[例1]　如图所示，是某同学的课桌的大致轮廓，请你从这个几何体里面寻找一些点、线、面，并将它们列举出来．‎ ‎[解]　面可以列举如下：‎ 平面A‎1A2B2B1，平面A‎1A2D2D1，平面C‎1C2D2D1，平面B1B‎2C2C1，平面A1B‎1C1D1，平面A2B‎2C2D2.‎ 线可以列举如下：‎ 直线AA1，直线BB1，直线CC1，直线DD1，直线A2B2，直线C2D2等；‎ 点可以列举如下：‎ 点A，点A1，点B，点B1，点C，点C1，点D，点D1，点A2，点B2，点C2，点D2.‎ 它们共同组成了课桌这个几何体．‎ 点是最基本元素，只有位置，没有大小；直线没有粗细，向两方无限延伸；平面没有厚度，向周围无限延展．要熟记这三种基本元素的特点．在现实生活中多找一些几何体观察一下，加深对构成空间几何体的基本元素的认识．‎ ‎[变式训练1]　如图所示，长方体ABCDA1B‎1C1D1中，下列说法正确的有①.(填序号)‎ ‎①长方体的顶点一共有8个；‎ ‎②线段AA1所在的直线是长方体的一条棱；‎ ‎③矩形ABCD所在的平面是长方体的一个面；‎ ‎④长方体由六个平面围成．‎ 解析：①长方体一共有8个顶点，故①正确；‎ ‎②长方体的一条棱为线段AA1，故②错误；‎ ‎③矩形ABCD为长方体的一个面，故③错误；‎ ‎④长方体由六个矩形(包括它的内部)围成，故④错误．‎ 类型二　　异面直线的判定 ‎[例2]　如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是(　　)‎ ‎[解析]　严格根据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断，不能仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择，A，B中，PQ∥RS，D中，PQ和RS相交，故选C.‎ ‎[答案]　C ‎1.判断空间中两条直线位置关系的关键点 ‎(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线．‎ ‎(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．‎ ‎2．判定两条直线是异面直线的方法 ‎(1)证明两条直线既不平行又不相交．‎ ‎(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，B∉l，l⊂α，则AB与l是异面直线(如图)．‎ ‎[变式训练2]　若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　D　)‎ A．平行 B．异面 C．相交 D．平行、相交或异面 解析：可借助长方体来判断．如图，在长方体ABCDA′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCDA′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面．‎ 类型三　　几何体中基本元素的位置关系 ‎[例3]　如图所示的长方体ABCDA1B‎1C1D1，在长方体的面与棱中，‎ ‎(1)与棱BC平行的棱是哪几条？‎ ‎(2)与棱BC平行的平面是哪几个？‎ ‎(3)与棱BC垂直的平面是哪几个？‎ ‎(4)与平面BC1垂直的平面是哪几个？‎ ‎[解]　在长方体的面与棱中，‎ ‎(1)与棱BC平行的棱有：棱B‎1C1，A1D1，AD.‎ ‎(2)与棱BC平行的平面有：平面A‎1C1，平面AD1.‎ ‎(3)与棱BC垂直的平面有：平面AB1，平面DC1.‎ ‎(4)与平面BC1垂直的平面有：平面AB1，平面A‎1C1，平面DC1，平面AC.‎ 长方体中基本元素位置关系的判断 ‎(1)平行关系的判定 ‎①直线与直线的平行关系：如图，在长方体的12条棱中，分成“长”“宽”“高”三组，其中“高”AA1，BB1，CC1，DD1相互平行；“长”AB，DC，A1B1，D‎1C1相互平行；“宽”AD，BC，A1D1，B‎1C1相互平行．‎ ‎②直线与平面的平行关系：在长方体的12条棱及表面中，若棱所在的直线与某一平面不相交，就平行．‎ ‎③平面与平面的平行关系：长方体的对面相互平行．‎ ‎(2)垂直关系的判定 ‎①直线与平面的垂直关系：在长方体的棱所在直线与各面中，若直线与平面有且只有一个公共点，则二者垂直．‎ ‎②平面与平面的垂直关系：在长方体的各表面中，若两平面有公共点，则二者垂直．‎ ‎[变式训练3]　如图，正方体ABCDA1B‎1C1D1中，请写出：‎ ‎(1)三对平行的平面；‎ ‎(2)三对垂直的平面；‎ ‎(3)直线AD1与平面BC1的位置关系；‎ ‎(4)直线AD与平面AB1的位置关系．‎ 解：(1)平面AB1与平面DC1，平面AD1与平面BC1，平面AC与平面A‎1C1分别平行．‎ ‎(2)平面AB1与平面AC，平面AB1与平面AD1，平面AC与平面BC1分别垂直．‎ ‎(3)直线AD1与平面BC1互相平行．‎ ‎(4)直线AD与平面AB1互相垂直．‎ ‎1．下列说法正确的是(　D　)‎ A．水平放置的平面是大小确定的平行四边形 B．平面ABCD就是四边形ABCD的四条边围起来的部分 C．100个平面重叠在一起比10个平面重叠在一起厚 D．通常把平行四边形的锐角画成45°，一般根据需要也可画成90°，60°，30°，…‎ 解析：A平面不是平行四边形；B平面是无限延展的；C平面没有厚度，故A，B，C都不对．‎ ‎2．在长方体ABCDA1B‎1C1D1中，与棱A‎1A既不平行也不相交的棱有(　D　)‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析：与棱A‎1A平行的棱有3条，相交的有4条，故既不平行也不相交的有4条．‎ ‎3．若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是(　B　)‎ A．直线上所有的点都在平面外 B．直线上有无数多个点都在平面外 C．直线上有无数多个点都在平面内 D．直线上至少有一个点在平面内 解析：直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外．‎ ‎4．线段AB长为‎5 cm，在水平面上向右移动‎4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动‎3 cm后记为C′D′，再将C′D′‎ 沿水平方向向左移动‎4 cm后记为A′B′，依次连接构成长方体ABCDA′B′C′D′.‎ ‎(1)该长方体的高为3_cm；‎ ‎(2)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为4_cm；‎ ‎(3)A到平面BCC′B′的距离为5_cm.‎ 解析：如图，在长方体ABCDA′B′C′D′中，AB＝‎5 cm，BC＝‎4 cm，CC′＝‎3 cm，∴长方体的高为‎3 cm；平面A′B′BA与平面CDD′C′之间的距离为‎4 cm；点A到平面BCC′B′的距离为‎5 cm.‎