高中数学必修4平面向量知识点总结(供参考) 8页

高中数学必修 4 知识点总结 平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量 向量一般用 cba  ,, ……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如： AB  几何表示法 AB  ， a ；坐标表示法 ),( yxyjxia  向 量的大小即向量的模（长度），记作| AB  |即向量的大小，记作｜ a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为 0 的向量，记为 0  ，其方向是任意的，0  与任意向量平行零向量 a ＝ 0  ｜ a ｜＝0 由于 0  的方向是任意的，且规定 0  平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与 0 的区别） ③单位向量：模为 1 个单位长度的向量 向量 0a 为单位向量  ｜ 0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量 记作 a ∥b  由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必 须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平 行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合，记为 ba   大 小相等，方向相同 ),(),( 2211 yxyx       21 21 yy xx 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设 ,AB a BC b    ，则 a +b  = AB BC  = AC  （1） aaa   00 ；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的 始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终 点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法 则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR            ，但这时必须“首尾相连”． 3向量的减法 ① 相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量 记作 a ,零向量的相反向量仍是零向量 关于相反向量有： （i） )( a = a ； (ii) a +( a )=( a )+ a =0  ； (iii)若 a 、b  是互为相反向量，则 a = b  ,b  = a , a +b  = 0  ②向量减法：向量 a加上 b  的相反向量叫做 a与b  的差， 记作： )( baba   求两个向量差的运算，叫做向量的减法 ③作图法： ba   可以表示为从b  的终点指向 a 的终点的向量（ a、b  有共同起点） 4实数与向量的积： ①实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作λ a ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ） aa    ； （Ⅱ）当 0 时，λ a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时，λ a 的方向与 a 的方向相 反；当 0 时， 0 a ，方向是任意的 ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理： 向量b  与非零向量 a 共线  有且只有一个实数  ，使得 b  = a 6平面向量的基本定理： 如果 21,ee  是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a ，有且只 有一对实数 21, 使： 2211 eea    ，其中不共线的向量 21,ee  叫做表示这一平面内所有 向量的一组基底 7 特别注意: （1）向量的加法与减法是互逆运算 （2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件 （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线 （重合）的情况 （4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置 有关 学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几 何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算 向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等 由于向量是一新的工具，它 往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点 例 1 给出下列命题： ① 若| a |＝|b  |，则 a =b  ； ② 若 A，B，C，D 是不共线的四点，则 AB DC  是四边形 ABCD 为平行四边形的充要 条件； ③ 若 a =b  ，b  = c ，则 a = c ， ④ a =b  的充要条件是| a |=|b  |且 a //b  ； ⑤ 若 a //b  ，b  // c ，则 a // c ， 其中正确的序号是 解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ② 正确．∵ AB DC  ，∴ | | | |AB DC  且 //AB DC   ， 又 A，B，C，D 是不共线的四点，∴ 四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则， //AB DC   且| | | |AB DC  ， 因此， AB DC  ． ③ 正确．∵ a =b  ，∴ a ，b  的长度相等且方向相同； 又b  ＝ c ，∴ b  ， c 的长度相等且方向相同， ∴ a ， c 的长度相等且方向相同，故 a ＝ c ． ④ 不正确．当 a // b  且方向相反时，即使| a |=| b  |，也不能得到 a = b  ，故| a |=| b  | 且 a //b  不是 a =b  的充要条件，而是必要不充分条件． ⑤ 不正确．考虑b  = 0  这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是②③． 点评：本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念较多，因而容易遗忘．为此，复 习一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想． 例 2 设 A、B、C、D、O 是平面上的任意五点，试化简： ① AB BC CD    ，② DB AC BD    ③ OA OC OB CO       解：①原式= ( )AB BC CD AC CD AD          ②原式= ( ) 0DB BD AC AC AC          ③原式= ( ) ( ) ( ) 0OB OA OC CO AB OC CO AB AB                   例 3 设非零向量 a 、b  不共线， c =k a +b  ， d  = a +kb  (kR)，若 c ∥ d  ，试求 k 解：∵ c ∥ d  ∴由向量共线的充要条件得： c =λ d  (λR) 即 k a +b  =λ( a +kb  ) ∴(kλ) a + (1λk) b  = 0  又∵ a 、b  不共线 ∴由平面向量的基本定理 101 0       kk k   二.平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 ,i j  作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量 a 可表示成 a xi yj   ，由于 a 与 数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量 a 的坐标，记作 a =(x,y)，其中 x 叫作 a 在 x 轴 上的坐标，y 叫做在 y 轴上的坐标 (1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位 置有关 2平面向量的坐标运算： (1) 若    1 1 2 2, , ,a x y b x y  ，则  1 2 1 2,a b x x y y    (2) 若    2211 ,,, yxByxA ，则  2 1 2 1,AB x x y y   (3) 若 a =(x,y)，则  a =(  x,  y) (4) 若    1 1 2 2, , ,a x y b x y  ，则 1 2 2 1// 0a b x y x y   (5) 若    1 1 2 2, , ,a x y b x y  ，则 1 2 1 2a b x x y y     若 a b  ，则 02121  yyxx 3 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示 和性质 运 算 类 型 几何方法 坐标方法 运算性质 向 量 的 加 法 1 平行四边形法则 2 三角形法则 1 2 1 2( , )a b x x y y    abba   )()( cbacba   AB BC AC    向 量 的 减 法 三角形法则 1 2 1 2( , )a b x x y y    )( baba   AB BA   OB OA AB    向 量 的 乘 法 a 是一个向量, 满足:  >0 时, a 与 a 同向;  <0 时, a 与 a 异向;  =0 时, a =0  ),( yxa   aa  )()(   aaa    )( baba    )( a ∥ bab   向 量 的 数 量 积 ba   是一个数 0 a 或 0b 时, ba  =0 0 a 且 0 b 时,  bababa  ,cos|||| 1 2 1 2a b xx y y   abba   )()()( bababa    cbcacba   )( 22 || aa   , 22|| yxa  |||||| baba   例 1 已知向量 (1,2), ( ,1), 2a b x u a b        ， 2v a b    ，且 //u v   ，求实数 x 的值 解：因为 (1,2), ( ,1), 2a b x u a b        ， 2v a b    所以 (1,2) 2( ,1) (2 1,4)u x x    ， 2(1,2) ( ,1) (2 ,3)v x x    又因为 //u v   所以3(2 1) 4(2 ) 0x x    ，即10 5x  解得 1 2x  例 2 已知点 )6,2(),4,4(),0,4( CBA ,试用向量方法求直线 AC 和 OB （ O 为坐标原点）交 点 P 的坐标 解：设 ( , )P x y ，则 ( , ), ( 4, )OP x y AP x y    因为 P 是 AC 与OB 的交点 所以 P 在直线 AC 上，也在直线 OB 上 即得 // , //OP OB AP AC     由点 )6,2(),4,4(),0,4( CBA 得， ( 2,6), (4,4)AC OB    得方程组 6( 4) 2 0 4 4 0 x y x y       解之得 3 3 x y    故直线 AC 与OB 的交点 P 的坐标为 (3,3) 三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积： 已知两个非零向量 a 与b  ，它们的夹角为 ，则 a ·b  =︱ a ︱·︱b  ︱cos 叫做 a 与b  的数量积（或内积） 规定 0 0a   2向量的投影：︱b  ︱cos = | | a b a    ∈R，称为向量b  在 a 方向上的投影投影的绝对值称为射 影 3数量积的几何意义： a ·b  等于 a 的长度与b  在 a 方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系： 2 2| |a a a a      5乘法公式成立：     222 2a b a b a b a b             ；  2 2 22a b a a b b         22 2a a b b      6平面向量数量积的运算律： ①交换律成立： a b b a     ②对实数的结合律成立：       a b a b a b R             ③分配律成立：  a b c a c b c            c a b     特别注意：（1）结合律不成立：    a b c a b c         ； （2）消去律不成立 a b a c     不能得到 b c   （3） a b  =0 不能得到 a = 0  或b  = 0  7两个向量的数量积的坐标运算： 已知两个向量 1 1 2 2( , ), ( , )a x y b x y  ，则 a ·b  = 1 2 1 2x x y y 8 向 量 的 夹 角 ： 已 知 两 个 非 零 向 量 a 与 b  ， 作 OA  = a , OB  = b  , 则 ∠ AOB=  （ 00 1800   ）叫做向量 a 与b  的夹角 cos =cos , a ba b a b      = 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx   当且仅当两个非零向量 a 与b  同方向时，θ=00，当且仅当 a 与b  反方向时θ=1800，同时 0  与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 9垂直：如果 a 与b  的夹角为 900 则称 a 与b  垂直，记作 a ⊥b  10两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥b   a ·b  ＝O  02121  yyxx 平面向量数量积的性质 例 1 判断下列各命题正确与否： （1） 0 0a  ；（2） 0 0a   ； （3）若 0,a a b a c       ，则b c  ； ⑷若 a b a c     ，则 b c  当且仅当 0a   时成立； （5） ( ) ( )a b c a b c         对任意 , ,a b c   向量都成立； （6）对任意向量 a ，有 22a a  解：⑴错； ⑵对； ⑶错； ⑷错； ⑸ 错；⑹对 例 2 已知两单位向量 a 与b  的夹角为 0120 ，若 2 , 3c a b d b a        ，试求 c 与 d  的 夹角 解：由题意， 1a b  ，且 a 与b  的夹角为 0120 ， 所以， 0 1cos120 2a b a b      ， 2c c c     (2 ) (2 )a b a b     2 24 4 7a a b b       ， 7c  ， 同理可得 13d  而 c d  2 2 17(2 ) (3 ) 7 3 2 2a b b a a b b a               ， 设 为 c 与 d  的夹角， 则 182 9117 1372 17cos  182 9117arccos  点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑 例 3 已知  4,3a  ，  1,2b   ， ,m a b    2n a b    ，按下列条件求实数  的 值 （1） m n  ；（2） //m n  ； (3) m n  解：  4 ,3 2 ,m a b         2 7,8n a b    （1） m n      082374   9 52  ； （2） //m n      072384   2 1  ； (3) m n      0884587234 22222   5 1122   点评：此例展示了向量在坐标形式下的基本运算