【精品试卷】2021届高三数学入学调研试题二文（含解析） 13页

1 2021 届高三数学入学调研试题（二）文 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 { | 3 3}M x N x     ， { 4, 2,0,2,4}N    ，则 M N  （ ） A．{ 2,0,2} B．{0,2} C．{0} D．{2} 2．若复数 z 满足 (2 i) iz   ，则| |z  （ ） A． 1 5 B． 5 5 C． 5 3 D． 5 3．埃及金字塔是古埃及的帝王(法老)陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令 人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字 塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金 字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约 240 米．因 年久风化，顶端剥落15 米，则胡夫金字塔现高大约为（ ） A．141.8米 B．132.8米 C．137.8米 D．138.8米 4．设O 为正方形 ABCD 的中心，在O， A ， B ，C ， D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为 （ ） A． 1 5 B． 2 5 C． 1 2 D． 4 5 5．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，表格是某公司前5天监测到的数据： 第 x 天 1 2 3 4 5 被感染的计算机数量 y （台） 12 24 49 95 190 则下列函数模型中能较好地反映在第 x 天被感染的数量 y 与 x 之间的关系的是（ ） A． 12y x B． 26 6 12y x x   C． 6 2xy   D． 212log 12y x  6．已知过点 (2,2)P 的直线与圆 2 2( 1) 5x y   相切，且与直线 1 0ax y   垂直，则 a （ ） A． 1 2  B．1 C． 2 D． 1 2 7．函数 π π( ) sin( )( 0, )2 2f x A x         的部分图象如图所示，则 的值为（ ） A． π 6  B． π 6 C． π 3  D． π 3 8．已知偶函数 ( )f x 在[0, ) 上单调递减，若 (ln 2.1)a f ， 1.1(1.1 )b f ， ( 3)c f  ，则 a ，b ， c 的大小关系是（ ） A． a b c  B． c b a  C． c a b  D．b a c  9．执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值等于（ ） A． 2017 1 2 B． 2018 1 2 C． 2019 1 2 D． 2020 1 2 10．已知正项等比数列{ }na 的前 n 项和为 nS ， 1 1a  ，且 3a ， 2a ， 4a 成等差数列，则 2020S 与 2020a 的关系是（ ） A． 2020 20202 1S a  B． 2020 20202 1S a  C． 2020 20204 3S a  D． 2020 20204 1S a  11．已知抛物线 2 4y x 的准线与双曲线 2 2 2 1( 0)x y aa    交于 A ，B 两点，点 F 为抛物线的焦点， 若 FAB△ 为直角三角形，则双曲线的离心率是（ ） 2 A． 2 B． 3 C． 5 D． 6 12．在体积为 4 3 的三棱锥 S ABC 中， 2AB BC  ， 90ABC  ，SA SC ，且平面 SAC⊥ 平面 ABC ，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是（ ） A． 8 2 π3 B． 9 π2 C． 27 π2 D．12π 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知实数 x ， y 满足 3 4 0 2 0 3 0 x y x y x y           ，则 z x y   的最大值为________． 14．已知平面向量 (2, 3) m ， (6, )n ，若 ⊥m n，则| |n __________． 15．设函数 3 2( ) ( 1)f x x ax a x    ，若 ( )f x 为奇函数，则曲线 ( )y f x 的图象在点 (0,0) 处的 切线方程为__________． 16．若数列{ }na 满足 2 1 1( ) ( )lg(1 )n n nn a a a n n n      ，且 1 1a  ，则 100a  __________． 三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12 分）某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过 w 立方米的部分按 4 元/立方米收费， 超出 w 立方米的部分按10 元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用 水量数据，整理得到如下频率分布直方图： （1）如果 w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为 4 元/立方米，w 至少定为多少？ （2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当 3w  时，估计该市居民该月的人均水 费． 18．（12 分）在 ABC△ 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 4 2c  ， 2 5sin 2 5 C  ． （1）若 1a  ，求sin A ； （2）求 ABC△ 的面积 S 的最大值． 3 19 ．（ 12 分） 如图 ，在 直三 棱柱 1 1 1ABC A BC (侧棱 与底 面垂 直的 棱柱 称为 直棱 柱) 中， 1 2AB AC AA   ， 90BAC  ． （1）求证： 1BA AC⊥ ； （2）求三棱锥 1 1A BB C 的体积． 20．（12 分）已知函数 ( ) xf x e x  ． （1）讨论 ( )f x 的单调性； （2）若方程 2( )f x ax x  有唯一的实数根，求实数 a 的取值范围． 21．（12 分）已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 2 2 ，且过点 (2,1)A ． （1）求C 的方程； （2）点 M ， N 在C 上，且 AM AN⊥ ， AD MN⊥ ， D 为垂足，证明：存在定点Q ，使得| |DQ 为定值． 4 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 3 x t y t     (t 为参数)．在以坐标原点为极点， x 轴正 半轴为极轴的极坐标系中，曲线 2C 的极坐标方程为 4cos  ． （1）写出 1C 的普通方程和 2C 的直角坐标方程； （2）若 1C 与 2C 相交于 A 、 B 两点，求 OAB△ 的面积． 23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数 ( ) | | | 2 1|f x x m x    ， mR ． （1）当 1m  时，解不等式 ( ) 2f x  ； （2）若不等式 ( ) 3f x x  对任意 [0,1]x 恒成立，求实数 m 的取值范围． 2021 届高三入学调研试卷 文 科 数 学（二）答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B 【解析】依题意， { | 3 3} {0,1,2}M x N x      ，故 {0,2}M N  ，故选 B． 2．【答案】B 【解析】由 (2 i) iz   ，得 2 2 i i(2 i) 2i i 1 2 i2 i (2 i)(2 i) 4 i 5 5z           ，所以 5| | 5z  ． 3．【答案】C 【解析】设金字塔风化前的形状如图，∵ 240AB  ，∴其底面周长为 240 4 960  ， 由题意可得 960 3.141592PO  ，∴ 152.788874PO  ， ∴胡夫金字塔现高大约为152.788874 15 137.788874  米， 结合选项可得，胡夫金字塔现高大约为137.8 米，故选 C． 4．【答案】A 【解析】五个点任取三个有 ( , , )O A B ， ( , , )O A C ， ( , , )O A D ， ( , , )O B C ， ( , , )O B D ， ( , , )O C D ， ( , , )A B C ， ( , , )A B D ， ( , , )A C D ， ( , , )B C D 共 种情况， 其中三点共线的情况有 ( , , )O B D ， ( , , )O A C 共 2 种， 故3点共线的概率为 1 5 ，故选 A． 5．【答案】C 【解析】由表格可知，每一天的计算机被感染台数大约都是前一天的 2 倍， 故增长速度符合指数型函数增长，故选 C． 6．【答案】C 【解析】因为点 (2,2)P 满足圆 2 2( 1) 5x y   的方程，所以 P 在圆上， 又过点 (2,2)P 的直线与圆 2 2( 1) 5x y   相切，且与直线 1 0ax y   垂直， 所以切点与圆心连线与直线 1 0ax y   平行， 所以直线 1 0ax y   的斜率为 2 0 22 1a   ． 7．【答案】D 【解析】由题可知函数 ( )f x 的最小正周期 π π2[ ( )] π3 6T     ，从而 2π π| |  ， 又 0  ，解得 2  ，从而 ( ) sin(2 )f x A x   ． 由 π 3x  为函数 ( )f x 的单调递减区间上的零点可知 2π π 2 π3 k   ， k Z ， 即 π 2 π3 k   ， k Z ， 又 π| | 2   ，所以 π 3   ． 8．【答案】B 【解析】∵ ( )f x 是偶函数，所以 ( 3) (3)c f f   ， ∵ 0 ln1 ln 2.1 ln 1e    ， 0 1.1 21 1.1 1.1 1.1 1.21    ， ∴ 1.13 1.1 ln 2.1  ， ∵函数 ( )f x 在[0, ) 上单调递减，∴ 1.1(3) (1.1 ) (ln 2.1)f f f  ，即 c b a  ． 9．【答案】C 【解析】模拟执行程序框图，可得第1次运行， 1 2S  ， 2a  ；第 2 次运行， 2 1 2S  ， 3a  ； 第3次运行， 3 1 2S  ， 4a  ； ；第 2019 次运行， 2019 1 2S  ， 2020a  ，刚好满足条件 2019a  ，则退出循环，输出 S 的值为 2019 1 2 ． 10．【答案】A 【解析】设等比数列的公比为 ( 0)q q  ，由 3a ， 2a ， 4a 成等差数列，得 2 3 42a a a   ， 又 1 1a  ，所以 2 32q q q   ，即 2 2 0q q   ，所以 ( 2)( 1) 0q q   ， 又 0q  ，所以 2q  ，所以 2019 2020 2a  ， 020 2020 2020 1 2 2 11 2S    ， 所以 2020 20202 1S a  ，故选 A． 11．【答案】D 【解析】抛物线 2 4y x 的准线方程为 1x   ，联立双曲线 2 2 2 1x ya   ，解得 21| | ay a  ． 由题意得 21 2a a   ，所以 2 1 5a  ，所以 2 21 1 5 6be a      ，故选 D． 12．【答案】B 【解析】如图，设球心为O ，半径为 R ，取 AC 中点为 M ，连接 SM ， 依据图形的对称性，点O必在 SM 上， 由题设可知 1 1 42 23 2 3SM     ，解之得 2SM  ， 连接 OC ，则在 OMCRt△ 中， 2 2(2 ) 2R R   ，解之得 3 2R  ， 则 24 3 9π ( ) π3 2 2V    ，故应选 B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．【答案】9 【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，观察可知， 当直线 z x y   过点 A 时， z 有最大值，联立 2 0 3 0 x y x y       ，解得 3 6 x y     ， 故 z 的最大值为9． 14．【答案】 2 13 【解析】依题意， 0 m n ，则12 3 0  ，解得 4  ，则 (6,4)n ， 故| | 36 16 2 13  n ． 15．【答案】 y x  【解析】函数 3 2( ) ( 1)f x x ax a x    ， 若 ( )f x 为奇函数，则 ( ) ( ) 0f x f x   ，可得 0a  ， 所以 3( )f x x x  ，则 2( ) 3 1f x x   ， 曲线 ( )y f x 图象在点 (0,0) 处的切线斜率为 (0) 1f    ， 所以切线方程为 0 ( 0)y x    ，整理得 y x  ． 16．【答案】300 【解析】由题意 2 1 1( 1) ( )lgn n nn a n a n n n      ， 等式两边同时除以 2n n ，得 1 1lg1 n na a n n n n    ， 设 lgn n ab nn   ，则有 1n nb b  ， ∴ 1 1nb b  ， (1 lg )na n n  ， 100 100(1 lg100) 300a    ． 三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤． 17．【答案】（1）3；（2）10.5元． 【解析】（1）由用水量的频率分布直方图，知该市居民该月用水量在区间[0.5,1]， (1,1.5] ， (1.5,2]， (2,2.5] ， (2.5,3] 内的频率依次为 0.1， 0.15， 0.2 ， 0.25， 0.15． 所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过 2 立方米的居民占 45% ， 依题意， w 至少定为3． （2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表如下： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 分组 [2,4] (4,6] (6,8] (8,10] (10,12] (12,17] (17,22] (22,27] 频率 0.1 0.15 0.2 0.25 0.15 0.05 0.05 0.05 根据题意，该市居民该月的人均水费估计为 4 0.1 6 0.15 8 0.2 10 0.25       12 0.15 17 0.05 22 0.05 22 27 0.05 10.5          （元）． 18．【答案】（1） 2sin 10A  ；（2） 4 ． 【解析】（1）∵ 2 3cos 1 2sin 2 5 CC     ，∴ 4sin 5C  ， 由正弦定理 sin sin a c A C  ，得 sin 2sin 10 a CA c   ． （2）由（1）知， 3cos 5   ， 所以 2 2 2 2 2 6 6 162 cos 25 5 5c b a b a C b a ba ab ba ba           ， 所以 1632 5 ba ，10 ba ， 1 1 4sin 10 42 2 5S ba C     ， 当且仅当 a b 时， ABC△ 的面积 S 有最大值 4 ． 19．【答案】（1）证明见解析；（2） 4 3 ． 【解析】（1）∵在直三棱柱 1 1 1ABC A BC 中， 1 2AB AC AA   ， 90BAC  ， ∴ 1A A⊥平面 ABC ， ∵ AB  平面 ABC ，∴ 1BA AA⊥ ， 又∵ 90BAC  ，∴ BA AC⊥ ， 1A A AC A ， ∴ BA⊥平面 1 1ACC A ， ∵ 1AC  平面 1 1ACC A ，∴ 1BA AC⊥ ． （2）∵ AC AB⊥ ， 1AC AA⊥ ， 1AB AA A ，∴ AC⊥平面 1 1ABB A ， ∴ 1C 到平面 1 1ABB A 的距离为 2AC  ， ∵在直三棱柱 1 1 1ABC A BC 中， 1 2AB AC AA   ， 90BAC  ， ∴ 1 1 2 2 22ABBS    △ ， ∴三棱锥 1 1A BB C 的体积 1 1 1 1 1 1 1 42 23 3 3A BB C C ABB ABBV V S AC        △ ． 20．【答案】（1） ( )f x 在 (0, ) 单调递增， ( )f x 在 ( ,0) 单调递减；（2） 2 (0, )4 e ． 【解析】（1）函数 ( )f x 定义域为 R ， ( ) 1xf x e   ， 令 ( ) 0f x  ，得 (0, )x   ， 故 ( )f x 在 (0, ) 单调递增； ( )f x 在 ( ,0) 单调递减． （2）方程 2( )f x ax x  ，即为 2xe ax ，显然 0x  不为方程的解，故原方程等价于 2 xea x  ， 设 2( ) xeg x x  ，则 2 4 ( 2 )( ) xe x xg x x   ， 令 ( ) 0g x  ，得 0 2x  ；令 ( ) 0g x  ，得 0x  或 2x  ， 故 ( )g x 在 (0,2) 上单调递减，在 ( ,0) 和 (2, ) 上单调递增， 所以，当 (0, )x   ， 2 min( ) (2) 4 eg x g  ， 又因为 2( ) 0 xeg x x   恒成立，故若方程 2( )f x ax x  有唯一解时， 2 0 4 ea  ， 即实数 a 的取值范围为 2 (0, )4 e ． 21．【答案】（1） 2 2 16 3 x y  ；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题可知: 2 2 2 2 2 4 1 1 2 2 a b c a a b c            ，解得 2 6a  ， 2 3b  ， ∴椭圆方程为 2 2 16 3 x y  ． （2）①若直线 MN 斜率存在，设其方程为 y kx b  ， 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y ， 则有 1 1y kx b  ， 2 2y kx b  ， 2 2 16 3 x y y kx b       ，消去 y 得 2 2 2(1 2 ) 4 2 6 0k x kbx b     ， 由韦达定理可知 1 2 2 4 1 2 kbx x k     ， 2 1 2 2 2 6 1 2 bx x k   ， 由 AM AN⊥ ，得 1 2 1 2( 2)( 2) ( 1)( 1) 0x x y y      ， ∴ 2 2 1 2 1 2(1 ) ( 2 )( ) 2 5 0k x x kb k x x b b         ， 即 2 2 2 2 2 2 6 4(1 ) ( 2 ) 2 5 01 2 1 2 b kbk kb k b bk k             ， 即 (2 1)(2 3 1) 0k b k b     ， 若 2 1 0k b   ，即 ( 2) 1y k x   ，即 MN 过定点 (2,1) ，即为 A 点，舍去； 若 2 3 1 0k b   ，即 2 1( )3 3y k x   ，即 MN 过定点 2 1( , )3 3E  ． ②若 MN 斜率不存在，同上述方法可得 MN 过定点 2 1( , )3 3E  ， 于是可得到 AED△ 为直角三角形， ∴ D 在以 AE 为直径的圆上， ∴存在定点 4 1( , )3 3Q ，即Q 为圆心，使得| |DQ 为定值为 2 2 3 ． 22．【答案】（1） 1 : 3 0C x y   ， 2 2 2 : 4 0C x y x   ；（2） 3 7 2 ． 【解析】（1）消去参数可得 1C 的普通方程为 3 0x y   ， 由 4cos  ，得 2 4 cos   ， 又因为 2 2 2x y   ， cos x   ，所以 2C 的直角坐标方程为 2 2 4 0x y x   ． （2） 2C 标准方程为 2 2( 2) 4x y   ，表示圆心为 2 (2,0)C ，半径 2r  的圆， 2C 到直线 3 0x y   的距离 2 2 2d  ，故 2 2 2| | 2 14AB r d   ， 原点O到直线 3 0x y   的距离 3 2 d  ， 所以 1 1 3 3 7| | 142 2 22OABS AB d    △ ， 综上， OAB△ 的面积为 3 7 2 ． 23．【答案】（1） 4{ | 0 }3x x  ；（2） 0 2m  ． 【解析】（1）当 1m  时， ( ) | 1| | 2 1|f x x x    ，∴ 12 3 , 2 1( ) , 12 3 2, 1 x x f x x x x x           ， ( ) 2f x  即求不同区间对应解集，∴ ( ) 2f x  的解集为 4{ | 0 }3x x  ． （2）由题意， ( ) 3f x x  对任意的 [0,1]x 恒成立， 即| | 3 | 2 1|x m x x     对任意的 [0,1]x 恒成立， 令 12, 0 2( ) 3 | 2 1| 14 3 , 12 x x g x x x x x              ， ∴函数 | |y x m  的图象应该恒在 ( )g x 的下方，数形结合可得 0 2m  ．