【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第二章　第2讲　第2课时　函数的奇偶性及周期性作业 4页

第2讲　第2课时　函数的奇偶性及周期性 ‎[基础题组练]‎ ‎1．下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是(　　)‎ A．y＝－　　　　　　　 B．y＝log2|x|‎ C．y＝1－x2 D．y＝x3－1‎ 解析：选C.函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项A的函数为奇函数，不符合要求；选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合要求；选项D的函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项C符合要求．‎ ‎2．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)＝(　　)‎ A．－3 B．－ C. D．3‎ 解析：选A.由f(x)为R上的奇函数，知f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.‎ ‎3．已知定义域为R的奇函数f(x)满足f＝f，且当0≤x≤1时，f(x)＝x3，则f＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 解析：选B.因为f＝f，所以f＝f＝f＝f，又因为函数为奇函数，所以f＝－f＝－＝－.‎ ‎4．已知定义域为[a－4，2a－2]的奇函数f(x)＝2 018x3－sin x＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．不能确定 解析：选A.依题意得a－4＋2a－2＝0，所以a＝2.又f(x)为奇函数，故b＋2＝0，‎ 所以b＝－2，所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝0.‎ ‎5．已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于(　　)‎ A．0 B．2‎ C．4 D．8‎ 解析：选B.f(x)＝＝1＋.设g(x)＝，因为g(x)定义域为R，关于原点对称，且g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0.因为M＝f(x)max＝1＋g(x)max，m＝f(x)min＝1＋g(x)min，所以M＋m＝1＋g(x)max＋1＋g(x)min＝2.‎ ‎6．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于 ．‎ 解析：f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2①，‎ f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4②，‎ 由①②得，2g(1)＝6，即g(1)＝3.‎ 答案：3‎ ‎7．设函数f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝x＋1，则f＝ ．‎ 解析：依题意得，f(2＋x)＝f(x)，f(－x)＝f(x)，‎ 则f＝f＝f＝＋1＝.‎ 答案： ‎8．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝则g(f(－8))＝ ．‎ 解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，‎ 所以f(－8)＝－f(8)＝－log39＝－2，‎ 所以g(f(－8))＝g(－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－log33＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎9．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.‎ ‎(1)判定f(x)的奇偶性；‎ ‎(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式．‎ 解：(1)因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)．‎ 又f(x＋2)＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)．又f(x)的定义域为R，‎ 所以f(x)是偶函数．‎ ‎(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，‎ 则f(x)＝f(－x)＝x；‎ 从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，‎ f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.‎ 故f(x)＝ ‎10．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.‎ ‎(1)求f(π)的值；‎ ‎(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积．‎ 解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，‎ 所以f(x)是以4为周期的周期函数．‎ 所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)‎ ‎＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.‎ ‎(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，‎ 得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，‎ 即f(1＋x)＝f(1－x)．‎ 从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．‎ 又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．‎ 设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·福建龙岩期末)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝－f(x－1)，若f(－1)>1，f(5)＝a2－2a－4，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－1，3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)‎ C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)‎ 解析：选A.由f(x＋1)＝－f(x－1)，可得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)的周期为4，则f(5)＝f(1)＝a2－2a－4，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)>1，所以f(1)<－1，所以a2－2a－4<－1，解得－1g(0)>g(－1)．‎ 答案：f(1)>g(0)>g(－1)‎ ‎3．已知函数f(x)＝是奇函数．‎ ‎(1)求实数m的值；‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上是增加的，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)设x<0，则－x>0，‎ 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.‎ 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．‎ 于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，‎ 所以m＝2.‎ ‎(2)要使f(x)在[－1，a－2]上是增加的，‎ 结合f(x)的图象知所以1