陕西省西安市长安区第一中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析 16页

- 1 - 长安一中 2020-2021 学年度第一学期高一年级期中考试数学 试题 一、选择题（本题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1. 若全集U  R ，集合 {0,1,2,3,4,5}A  ，  | 2B x x  ，则图中阴影部分表示的集合为 A. {1} B. {0,1} C. {0,1,2} D. {1,2} 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据 Venn 图可知图中的阴影部分表示  UA C B ,所以阴影部分所表示 的集合为 1,2,0 ． 考点：1．Venn 图；2．集合的运算． 2. 设 f A B： 是从集合 A 到集合 B 的映射，其中   , ,A B x y x R y R    ，    , ,f x y x y x y  ： 那么 B 中元素 (1,5)的原像是（ ） A. (3, 2) B. ( 3,2) C. (2, 1) D. ( 2,1) 【答案】A 【解析】 【分析】 根据    , ,f x y x y x y  ： ，由 1 5 x y x y      求解. 【详解】由    , ,f x y x y x y  ： ， - 2 - 令 1 5 x y x y      ，解得 3 2 x y     ， 所以 B 中元素 (1,5)的原像是 3, 2 故选：A 3. 下列函数中，既是偶函数又在 0,  单调递减的函数是（ ） A. 3y x B. 1y x  C. 2 1y x   D. 2 xy  【答案】C 【解析】 【分析】 A. 由二次函数的性质判断；B. 由一次函数的性质判断； C. 由二次函数的性质判断；D.由指 数函数的性质判断. 【详解】A. 由二次函数的性质得， 3y x 在 0,  单调递增，故错误； B. 由一次函数的性质得： 1y x  在 0,  单调递增，故错误； C. 由二次函数的性质得， 2 1y x   图象关于 y 轴对称，在 0,  单调递减，故正确； D. 由指数函数的性质得： 2 xy  在  0,  单调递增，故错误； 故选：C 4.     3 6 6 3a a a   ≤ ≤ 的最大值为（ ） A 9 B. 9 2 C. 3 D. 3 2 2 【答案】B 【解析】 【分析】 利用配方法结合函数的定义域即可求解． 【 详 解 】 ((3 ) 6)a a  ＝ 2 3 18a a   ＝ 2 9 813 4 4a a       ＝ - 3 - 23 81 2 4a      ， 由于 6 3a ≤ ≤ ， 所以当 3 2a   时， ((3 ) 6)a a  有最大值 9 2 ， 故选：B. 【点睛】本题考查利用配方法求二次函数的最值，考查计算化简的能力，属基础题. 5. 函数 2( ) ln( 2 8)f x x x   的单调递减区间是（ ） A. ( , 2)  B. ( ,1) C. (1, ) D. (4, ) 【答案】A 【解析】 【分析】 根据复合函数“同增异减”的性质即可求解 【详解】由  2( ) ln 2 8f x x x   知 2 2 8 0x x   ，即 2x   或 4x  ， 结合复合函数“同增异减”的性质可知，当 2x   时，  2( ) ln 2 8f x x x   单调递减. 故选：A 【点睛】本题考查复合函数单调区间的求解，属于基础题 6. 已知函数   2 4 logf x xx   ，在下列区间中，包含  f x 零点的区间是（ ） A.  0,1 B.  1,2 C.  2,4 D.  4, 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数零点的存在定理，求得    2 4 0f f  ，即可得到答案. 【详解】由题意，函数   2 4 logf x xx   ，易得函数  f x 为单调递减函数， 又由    2 2 42 log 2 1, 4 1 log 4 12f f       ，所以    2 4 0f f  ， 根据零点的存在定理，可得  f x 零点的区间是  2,4 . - 4 - 故选：C. 7. 设 ( )f x 是 R 上的偶函数，且在 (0, ) 上是增函数，若 1 0x  且 1 2+ 0x x  ，则（ ） A. 1 2( ) ( )f x f x B. 1 2( ) ( )f x f x C. 1 2( )= ( )f x f x D. 1( )f x 与 2( )f x 大小不确定 【答案】B 【解析】 【分析】 由 1 0x  且 1 2+ 0x x  ，结合函数的单调性得到    2 1f x f x  ，再结合函数的奇偶性，即 可求解. 【详解】由题意，函数 ( )f x 是 R 上的偶函数，且在 (0, ) 上是增函数， 因为 1 0x  且 1 2+ 0x x  ，可得 2 1 0x x   ，所以    2 1f x f x  ， 又由    1 1f x f x  ，所以 1 2( ) ( )f x f x . 故选：B. 8. 设函数 2 1 1 log (2 ), 1( ) 2 , 1x x xf x x      ，则 2( 2) (log 6)f f   （ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意判断出需要代入的解析式，然后分别计算出 ( 2)f  与 2(log 6)f 即可. 【详 解】因为 2 1  ，所 以 2( 2) 1 log (2 2) 1 2 3f        ；因 为 2log 6 1 ，所 以 2 2log 6 1 log 3 2(log 6) 2 2 3f    ，则 2( 2) (log 6) 3 3=6f f    . 故选：B. 9. 函数 2lny x x  的图象大致为（ ） - 5 - A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先验证函数是否满足奇偶性，由 f(－x)＝ln|－x|－(－x)2＝ln |x|－x2＝f(x)，故函数 f（x）为偶函 数，，排除 B,D ，再由函数的特殊值确定答案． 【详解】令 f(x)＝y＝ln|x|－x2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且 f(－x)＝ln|－x|－(－x)2＝ln |x| －x2＝f(x)，故函数 y＝ln|x|－x2 为偶函数，其图象关于 y 轴对称，排除 B，D；当 x>0 时，y＝ln x－x2，则 y′＝ －2x，当 x∈ 时，y′＝ －2x>0，y＝ln x－x2 单调递增，排除 C，A 项满 足. 【点睛】本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数 图象选择题常用的方法． 10. 已知 0.2 0.5 2log 0.5, 2 , 0.2a b c   ，则（ ） A. a b c  B. a c b  C. c a b  D. b c a  【答案】B 【解析】 【分析】 利用指数函数和对数函数的单调性判断. 【详解】因为 0.2 0.5 2log 0.5 0, 2 1,0 0.2 1a b c       ， - 6 - 所以 a c b  故选：B 11. 直线 1y  与函数 2( )f x x x a   的图像有 4 个交点，则 a 的取值范围是（ ） A. ( ,1) B. 5(1, )4 C. 5( , )4  D. 51, 4      【答案】B 【解析】 【分析】 将题干条件转化为函数   2g x x x  与 1y a  的图像有 4 个交点，画函数   2g x x x  的图像，可判断当 1 1 04 a    时，会有 4 个交点，即可求得. 【详解】原问题等价于函数   2g x x x  与 1y a  的图像有 4 个交点，绘制函数   2g x x x  的图像，由图可知函数   2g x x x  的最小值为 1 4  ，所以当函数 1y a  的范围为 1( ,0)4  时，会有 4 个交点，所以 1 1 04 a    ，则 51 4a  . 故选：B. 12. 设函数 2 , 0( ) 1, 0 x xf x x     ，则满足 (2 1) (3 )f x f x  的 x 的取值范围是（ ） A. ( , 1]  B. (0, ) C. ( 1,0) D. ( ,0) 【答案】D - 7 - 【解析】 【分析】 作出函数的图象，结合图象可得不等关系求解. 【详解】函数 2 , 0( ) 1, 0 x xf x x     的图象如图所示： 由图象知：若使 (2 1) (3 )f x f x  ， 则 3 0 2 1 0 2 1 3 x x x x        或 3 0 2 1 0 x x     ， 解得 1 2x   或 1 02 x   ， 即 0x  ， 故选：D 13. 已知函数 ( )f x 是定义域为 ( , )  的奇函数，满足 (1 ) (1 )f x f x   .若 (1) 2f  ， 则 (1) (2) (3)f f f  (60)f   （ ） A. 50 B. 0 C. 2 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】 利 用 奇 函 数 的 性 质 及 (1 ) (1 )f x f x   ， 推 出 函 数 ( )f x 的 周 期 为 4 ， 然 后 得 出 (1) (2) (3) (60) 15[ (1) (2) (3) (4)]f f f f f f f f        得出结果. 【详解】由函数 ( )f x 是定义域为 ( , )  的奇函数，则 ( ) ( )f x f x   ， - 8 - (1 ) (1 )f x f x   ， (1 ) ( 1)f x f x     ， ( 4) ( 2) ( )f x f x f x      ，所以函数 ( )f x 是周期函数，且周期为 4， (1) 2f  ， (2) (2 4) ( 2) (2)f f f f      ，则 (2) 0f  ， (3) (3 4) ( 1) (1) 2f f f f        ， (4) (4 4) (0) 0f f f    ，  (1) (2) (3) (60) 15[ (1) (2) (3) (4)] 15 2 0 2 0 0f f f f f f f f              故选：B. 14. 已知函数  2 2 2 , 12( )= log 1 , 1 x xf x x x       ，则函数     3( ) 2 2F x f f x f x     的零点个数 是 （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】 令 ( ), ( ) 0t f x F x  有 3( ) 2 2f t t  ， 结 合 函 数 图 象 知 有 两 个 交 点 的 横 坐 标 为 1 20, (1,2)t t  ，再由 1( )f x t 、 2( )f x t 判断 ( )F x 的零点个数即可. 【详解】令 ( ), ( ) 0t f x F x  ，则 3( ) 2 02f t t   ， 作出 ( )y f x 的图象和直线 32 + 2y x ，由图象可得有两个交点，设横坐标为 1 2,t t ， - 9 - ∴ 1 20, (1,2)t t  . 当 1( )f x t 时，有 2x  ，即有一解；当 2( )f x t 时，有三个解， ∴综上， ( ) 0F x  共有 4 个解，即有 4 个零点. 故选：A 【点睛】关键点点睛：由 ( ), ( ) 0t f x F x  得 3( ) 2 2f t t  ，利用函数图象确定交点横坐标 1 2,t t ，再由分段函数的性质当 1( )f x t 、 2( )f x t 时确定 ( )F x 的零点个数. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分.把答案填写在答题卡相应 的位置） 15. 已知函数 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数，当 ( , 0)x   时， 4( ) 2f x x x  ，则 (1)f =_______________. 【答案】-1 【解析】 【分析】 根据题意，得到    1 1f f   ，代入即可求解. 【详解】由题意，函数 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数，当 ( , 0)x   时， 4( ) 2f x x x  ， 则     41 1 [2 ( 1) ( 1)] 1f f           . 故答案为： 1 . 16. 式子 2 5 1log log 4+lg2 lg525  的值是_______________. 【答案】-3 【解析】 【分析】 根据对数的运算及运算性质，准确运算，即可求解. 【详解】由 2 5 1lg1 lg4 2lg5 2lg225log log 4+lg2 lg5 (lg2 lg5) 1 325 lg2 lg5 lg2 lg5           . 故答案为： 3 . 17. 函数 1( ) 1( 0xf x a a   且 1)a  的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是_____. - 10 - 【答案】 (1,2) 【解析】 【分析】 令 1 0x   ，得 1x  ， ( ) 2f x  【详解】令 1 0x   ，则有 1x  0( ) 1 2f x a   所以 ( )f x 过定点 (1,2) 故答案为： (1,2) 【点睛】处理与指数函数有关的函数过定点时是利用 0 1a  ( 0a  且 1)a  . 18. 有一批材料可以建成 200m 长的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形的地， 中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（墙的长度足够用），则围成的整个矩形场地的最 大面积是_______________. 【答案】 22500m 【解析】 【分析】 设每个小矩形长为 x 米，宽为 y 米，则依题意可知 4 3 200x y  ，代入矩形的面积公式，根 据基本不等式求出围成矩形面积的最大值． 【详解】如图所示： 设每个小矩形长为 x 米，宽为 y 米，显然 , 0x y  ，则依题意可知 4 3 200x y  ， 设围成的整个矩形场地的面积为 S ， 所以 2 21 1 4 3 1 2003 (4 ) (3 ) ( ) ( ) 25004 4 2 4 2 x yS xy x y          ，当且仅当 4 3x y 时取 等号，即当 10025, 3x y  时取等号，因此 max 2500S  . 故答案为： 22500m - 11 - 19. 函数 0.5( ) 4 log 1xf x x  的零点个数为_______________. 【答案】2 【解析】 【分析】 由 ( ) 0f x  得 0.5log 4 xx  ，由 0.54 , | log |xy y x  的图象确定交点个数，即为所求零点 的个数. 【详解】令 ( ) 0f x  ，有 0.54 log 1x x  ，即 0.5log 4 xx  ， ∴作出 0.54 , | log |xy y x  的函数图象如下： ∴由图象有两个交点知： ( )f x 的零点个数有 2 个. 故答案为：2 20. 对于函数  y f x ，若存在 0x ，使    0 0 0f x f x   ，则称点   0 0,x f x 是曲线  f x 的“优美点”.已知   2 2 , 0 2, 0 x x xf x x x       ，则曲线  f x 的“优美点”个数为 _______________. 【答案】4 【解析】 【分析】 根据定义分类讨论进行求解即可. 【详解】当 0 0x  时，由    0 0 0f x f x   可得： - 12 - 2 0 0 0 02 2 0 1x x x x       或 0 2x  ，显然符合 0 0x  ； 当 0 0x  时，由    0 0 0f x f x   可得： 2 0 0 0 02 2 0 1x x x x       或 0 2x   ，显然符合 0 0x  ， 因此曲线  f x 的“优美点”个数为 4. 故答案为：4 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共 4 小题，共 50 分） 21. 集合  2 2 19 0A x x ax a     ，  2 5 6 0B x x x    ，  2 2 8 0C x x x    . （1）若 A B A B  ，求 a 的值； （2）若 ,A B A C      ，求 a 的值． 【答案】（1） 5a  ；(2) 2a   . 【解析】 【分析】 （1）先求出 B 集合，由 A B A B  得出 A B ，再由韦达定理求得 a； （2）求出集合 C，由 A B   ， A C   得出3 A ,从而求得 a 的值，再代入集合 A 中验 证是否满足题意，得解. 【详解】（1）由  2 5 6 0B x x x    得 {2,3}B  ， 因为 A B A B  ，所以 A B ，所以 2 2 3 2 3 19 a a       ，解得 5a  ； （2）由  2 2 8 0C x x x    得 {2, 4}C   ，因为 A B   ， A C   ，所以3 A ， 所以 2 23 3 19 0a a    ，即 2 3 10 0a a   ，解得 5a  或 2a   ， 当 5a  时， {2,3}A  与 A C   矛盾， 当 2a   时， { 5,3}A   ，满足题意， - 13 - ∴ 2a   故得解. 【点睛】本题考查集合间的交集和并集运算，在求解时注意验证是否满足题意，属于基础题. 22. 若二次函数满足    1 2f x f x x   且  0 2f  . （1）求  f x 的解析式； （2）若在区间 1,1 上，不等式   2f x x m  恒成立，求实数 m 的取值范围. 【答案】（1） 2( ) 2f x x x   ；（2） 0， . 【解析】 【分析】 （1）设函数 2( )f x ax bx c   ，根据 (0) 2f  ，求得 2c  ，再由    1 2f x f x x   ， 列出方程组，求得 ,a b 的值，即可求解； （2）把不等式   2f x x m  在 1,1 上恒成立，转化为 2 3 2 0x x m    在 1,1 上恒成 立，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）设函数 2( ) ( 0)f x ax bx c a    ， 因为 (0) 2f  ，可得 (0) 2f c  ，即 2c  ，所以 2( ) 2f x ax bx   ， 又因为    1 2f x f x x   ，可得 2 2ax a b x   ， 所以 2 =2 =0 a a b    ，解得 1 1 a b     ，所以 2( ) 2f x x x   . （2）由   2f x x m  在 1,1 上恒成立，即 2 2 2x x x m    在 1,1 上恒成立， 即 2 3 2 0x x m    在 1,1 上恒成立， 令 2 23 1( ) 3 2 ( )2 4g x x x m x m        ，其对称轴为 3 2x  ， 所以  g x 在区间 1,1 是减函数， min( ) (1) 1 3 2 0g x g m      ， 所以 0m  ，即实数 m 的取值范围是 0， . 23. 已知函数    =4 3 2x xf x m m   - 14 - （1）若 1m= ，函数是否有零点，如果有，请求出零点； （2）若函数有两个零点，求实数 m 的取值范围. 【答案】（1）有，0；（2） 0 1m  . 【解析】 【分析】 （1）设  2 0x t t  ，解出 2 2 1 0t t   ，可得答案； （2）由条件可得方程  2 3 0t m t m    有两个不相等的正根，然后可建立不等式组解出 答案. 【详解】（1）设  2 0x t t  ，当 1m= 时，则原函数对应的方程为 2 2 1 0t t   方程可得唯一解 =1t ，当 =1t 时 =0x 原函数有唯一零点为 0 （2）设  2 0x t t  ，则原函数对应的方程为  2 3 0t m t m    ， 原函数有两个零点，等价于方程  2 3 0t m t m    有两个不相等的正根， 则有     23 4 0 3 0 0 m m m m          ，解得 0 1m  24. 已知函数   1=log ( 01a xf x ax   且 1)a  . （1）判断函数  f x 的奇偶性，并证明； （2）若 1a  ，证明函数  f x 在区间 1,+ 上单调递减； （3）是否存在实数 a ，使得  f x 的定义域为 ,m n 时，值域为 1 log ,1 loga an m  ，若存在， 求出实数 a 的取值范围；若不存在，则说明理由. 【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在， 3 2 2,  . 【解析】 【分析】 （1）由解析式有 ( , 1) (1, )x     且 ( ) ( )f x f x   ，奇函数即得证. （2）由函数单调性定义令 1 21 x x  判断 1 2( ) ( )f x f x 的符号即可确定单调性. - 15 - （3）由题意知 1n m  且 1a  ，根据  f x 单调性有 ( ) 1 log ( ) 1 log a a f m m f n n      ，进而可知 ,m n 为 方程 2 (1 ) 0x a x a    在 1,+ 上两个不等实根，即可求 a 的取值范围； 【详解】（1）  f x 为奇函数； 由解析式知： 1 01 x x   得 ( , 1) (1, )x     ， 又 1 1 1( ) log log log ( )1 1 1a a a x x xf x f xx x x              ， ∴  f x 为奇函数. （2）任取 1 21 x x  ，有 1 2 0x x  ， ∵ 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2( ) 01 1 ( 1)( 1) x x x x x x x x         ， ∴ 1 2 1 2 1 1 1 1 x x x x    ，又 1a  ， ∴ 1 2 1 2 1 1log log1 1a a x x x x    ，故 1 2( ) ( )f x f x ，所以函数  f x 在区间 1,+ 上单调递减； （3）若存在实数 a ，由题意： , ( , 1) (1, )m n      且 , 0m n  ， ∴ 1n m  ，又1 log 1 loga am n   得 log loga am n ，即 1a  ， 由（2）知： ( ) 1 log ( ) 1 log a a f m m f n n      ，有 2 2 (1 ) 0 (1 ) 0 m a m a n a n a          ， ∴ ,m n 为方程 2 (1 ) 0x a x a    在 1,+ 上两个不等实根， 有   2(1 ) 4 0 1{ 12 1 2 0 a a a f          ，解得 3 2 2a   ， ∴综上，存在实数 (3 2 2, )a   使得题设条件成立. 【点睛】关键点点睛： （1）由函数奇偶性定义判断奇偶性. （2）由单调性定义即可确定  f x 的单调性. - 16 - （3）根据定义域、值域及函数的单调性列不等式组，结合二次函数与方程的关系判断实数 a 的 存在性，并求实数 a 的取值范围；