高考数学考前冲刺大题精做专题07立体几何教师版 33页

高考数学 考前冲刺大题精做 专题 07 立体几何（教师版） 【2013 高考会这样考】 1、 熟练掌握线线关系、线面关系、面面关系的转化与证明； 2、 熟练记忆利用向量法求空间角的步骤； 3、 灵活使用向量法解决探究性问题； 4、 合理运用体积公式计算空间几何体的体积. 【原味还原高考】 【 高 考 还 原 1 ：（ 2012 年 高 考 （ 福 建 理 ））】 如 图 , 在 长 方 体 1 1 1 1ABCD A B C D 中 1,AB AD E  为CD 中点. （Ⅰ）求证: 1 1B E AD ； （Ⅱ）在棱 1AA 上是否存在一点 P ,使得 / /DP 平面 1B AE ?若存在,求 AP 的长;若不存在, 说明理由； （Ⅲ）若二面角 1 1A B E A  的大小为30 ,求 AB 的长. 说明存在这样的点，反之不存在. 试题注意点：（1）线面平行时，直线的方向向量与平面的法向量垂直，即数量积为 0；（2） 利用向量法求解二面角的大小时，注意求出的量是二面角的余弦还是二面角补角的余弦. 【高考还原 3：（2012 年高考（湖北理））】如图 1, 45ACB   , 3BC  ,过动点 A 作 AD BC , 垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B,连接 AB,沿 AD 将△ ABD 折起,使 90BDC   (如图 2 所示). （Ⅰ）当 BD 的长为多少时,三棱锥 A BCD 的体积最大; （Ⅱ）当三棱锥 A BCD 的体积最大时,设点 E , M 分别为棱 BC , AC 的中点,试在棱 CD 上 确定一点 N ,使得 EN  BM ,并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小. 解法 2：由（Ⅰ）知,当三棱锥 A BCD 的体积最大时, 1BD  , 2AD CD  . 如图 b,取 CD 的中点 F ,连结 MF , BF , EF ,则 MF ∥ AD . 由（Ⅰ）知 AD  平面 BCD ,所以 MF  平面 BCD . 【细品经典例题】 【经典例题 1】如图 1，平面四边形 ABCD 关于直线 AC 对称， 3 A ， 2 C ， 2CD ．把 ABD 沿 BD 折 起 （ 如 图 2 ）， 使 二 面 角 CBDA  的 余 弦 值 等 于 A B C D 图 1 B D A C 图 2 【名师剖析】 试题重点：本题考查：1、平面几何基础知识；2、余弦定理的应用；3、线面垂直的判定定 理；4、二面角；5、线面成角的计算；6、等体积法的使用；7、向量法的使用. 试题难点：计算基本量. 试题注意点：翻折问题要弄清在翻折的前后哪些量是改变的，哪些量是不变的. 【名题出处】2013 福建省莆田市高中毕业班质量检查 又∵∠POA+∠OPA=90°∴∠POA+∠COQ=90°∴OP⊥OQ （方法二）在平面 PAD 中，分别过 D 点、P 点作直线 PA、AD 的平行线相交于点 M， 连 结 MC 交 直 线 DQ 与 点 N ， 在 平 面 PQD 中 过 点 N 作 直 线 NE∥PQ 交 PQ 于 点 E ， ----------------------------11 分 由题可知 CN∥PB,NE∥PQ,CN∩NE=N ∴平面 CNE∥平面 PBQ,∴CE∥平面 PBQ---------------------12 分 ∵CQ=1，MD=PA=2，∴ 1 2 QN ND  ∵NE∥PQ, 1 2 PE ED  ------------------------------13 分 于是 ， ∵ BF  平面 1A BD ，CE  平面 1A BD ， ∴CE ∥平面 1A BD . ……………4 分 （2）解：∵ 1AA  平面 ABC ，CE  平面 ABC ， ∴ BF  AB ， BF  1A B . ……………11 分 ∴ 1ABA 为平面 1A BD 与平面 ABC 所成二面角（锐角）. …… ………12 分 ∴ EHC 为CH 与平面 1A AB 所成的角. ……………7 分 ∵ 3CE  ， ∵ 1AA  平面 ABC ， ∴ 1AA  = ( )0 0 4, , 是平面 ABC 的一个法向量. ∴cos 1 1 1 ,     n AAn AA n AA 5 5 . ……………13 分 ∴平面 1A BD 与平面 ABC 所成二面角（锐角）的余弦值为 5 5 .……………14 分 【名题巧练 5】如图，在四棱锥 ABCDP  中， PC 底面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形， ADAB  ， CDAB // ， 222  CDADAB ，E 是 PB 的中点。 （Ⅰ）求证：平面 EAC 平面 PBC； （Ⅱ）若二面角 EACP  的余弦值为 3 6 ，求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值。 取 m=（1，－1，0） 则 0 CAmCPm ，m 为面 PAC 的法向量 【名题巧练 6】如图, 中,侧棱与底面垂直, , , 点 分别为 和 的中点. （1）证明: ; （2）求二面角 的正弦值. , …………12 分 设向量 和向量 的夹角为 ,则 , , 在 中， , 又 【名题巧练 8】在边长为 5 的菱形 ABCD 中， AC＝8.现沿对角线 BD 把△ABD 折起， 折起后使∠ADC 的余弦值为 9 25 . （1）求证：平面 ABD⊥平面 CBD； （2）若 M 是 AB 的中点，求折起后 AC 与平面 MCD 所成角的正弦值。 【名题巧练 9】如图，在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 2 2AA AB AD  ， 且 1 1 (0 1)PC CC     ． （1）求证：对任意 0 1  ，总有 AP BD ； （2）若 1 3   ，求二面角 1P AB B  的余弦值； （3）是否存在  ，使得 AP 在平面 1B AC 上的射影平分 1B AC ？若存在, 求出  的值, 若不存在，说明理由． 即 1 1 AP ABAP AC AP AC AP AB            ，即 2 2 2 5 4 4 8 6 2 4 8 6 5            ， 解得 5 10 (0,1)4    ．所以存在满足题意得实数 5 10 4  ，使得 AP 在平面 1B AC 上 的射影平分 1B AC ┄┄┄┄┄ （12 分）