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- 2021-06-16 发布
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阶段性测试题一(集合与常用逻辑用语)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的)
1.(2015·长沙模拟)已知集合 A={1,3, m},B={1,m},A∪B=A,则 m=( )
A.0 或 3 B.0 或 3
C.1 或 3 D.1 或 3
[答案] B
[解析] 由 A∪B=A 得 B⊆A,∴m=3 或 m= m.
当 m=3 时,经验证适合题意;
当 m= m时,m=0 或 m=1,经验证 m=0 适合题意,
m=1 不适合题意.
∴m=0 或 m=3.
2.(文)设集合 U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,5},则∁UM=( )
A.{2,4,6} B.{1,3,5}
C.{1,2,4} D.U
[答案] A
[解析] 本题考查补集的运算:∵M={1,3,5},U={1,2,3,4,5,6},∴∁UM={2,4,6}.
(理)设集合 U={1,2,3,4},M={1,2,3},N={2,3,4},则∁U(M∩N)=( )
A.{1,2} B.{2,3}
C.{2,4} D.{1,4}
[答案] D
[解析] 本题主要考查了集合的交集、补集运算.
∵M={1,2,3},N={2,3,4},
∴M∩N={2,3},又∵U={1,2,3,4},
∴∁U(M∩N)={1,4}.
3.(文)集合 A={x|-4≤x≤2},B={y|y= x,0≤x≤4},则下列关系正确的是( )
A.∁RA⊆∁RB B.A⊆∁RB
C.B⊆∁RA D.A∪B=R
[答案] A
[解析] B={y|y= x,0≤x≤4}={y|0≤y≤2},B⊆A,∁RA⊆∁RB.
(理)(2014·江西文,6)下列叙述中正确的是( )
A.若 a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2-4ac≤0”
B.若 a,b,c∈R,则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”
C.命题“对任意 x∈R,有 x2≥0”的否定是“存在 x∈R,有 x2≥0”
D.l 是一条直线,α,β是两个不同的平面,若 l⊥α,l⊥β,则α∥β
[答案] D
[解析] 本题主要考查逻辑与联结词,A 选项中 ax2+bx+c≥0 不仅仅与 b2-4ac 有关,
还要取决于 x2 的系数 a,因此这个是即不充分也不必要条件,B 项中当 b2=0 时,a>c⇒
ab2>cb2,C 项的否定应是 x2<0,D 项正确,垂直于同一直线的两平面平行,本题较容易出
错的选项是 A、B,易忽略对 a=0 和 b2=0 的特殊情况考虑.
4. 设 A,B 是非空集合,定义 A×B={x|x∈(A∪B)且 x∉(A∩B)},已知 A={x|0≤x≤2},
B={y|y≥0},则 A×B 等于( )
A.(2,+∞) B.[0,1]∪[2,+∞)
C.[0,1)∪(2,+∞) D.[0,1]∪(2,+∞)
[答案] A
[解析] 由题意知,A∪B=[0,+∞),A∩B=[0,2].
所以 A×B=(2,+∞).
5.(2015·广州调研)命题:“若 x2<1,则-11 或 x<-1,则 x2>1
D.若 x≥1 或 x≤-1,则 x2≥1
[答案] D
[解析] “若 p,则 q”的逆否命题是“若非 q,则非 p”.故选 D.
6.(2015·大连双基测试)在△ABC 中,“A>B”是“sinA>sinB”的( )
A.充分必要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 在△ABC 中,A>B⇔2RsinA>2RsinB(其中 2R 是△ABC 的外接圆直径),即
sinA>sinB.因此在△ABC 中,“A>B”是“sinA>sinB”的充分必要条件,选 A.
7.(文)已知全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={2,3,4},集合 B={2,4,5},则图中的阴影部
分表示( )
A.{2,4} B.{1,3}
C.{5} D.{2,3,4,5}
[答案] C
[解析] 已知全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={2,3,4},集合 B={2,4,5},∁UA={1,5,6},
阴影为(∁UA)∩B={1,5,6}∩{2,4,5}={5},故选 C.
(理)设全集 U 是实数集 R,集合 M={x|x2>2x},N={x|log2(x-1)≤0},则(∁UM)∩N=
( )
A.{x|12x}={x|x>2 或 x<0},N={x|log2(x-1)≤0}={x|10)或 3+m≤x≤3-m(m<0),
依题意,
m>0,
3-m≤-1
3+m≥4
,或
m<0,
3+m≤-1,
3-m≥4,
解得 m≤-4 或 m≥4.选 C.
第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确答案填在题中横线上)
11.已知 A,B 均为集合 U={2,4,6,8,10}的子集,且 A∩B={4},(∁UB)∩A={10},则
A=________.
[答案] {4,10}
[解析] 设元素 x0∈A,若 x0∈B,则 x0∈A∩B,若 x0∉B,则 x0∈∁UB,∴x0∈(∁UB)∩A;
∵A∩B={4},(∁UB)∩A={10},∴A={4,10}.
12.命题“对任意 x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是________.
[答案] 存在 x∈R,|x-2|+|x-4|≤3
[解析] 本题考查全称命题的否定,注意量词改变后,把它变为特称命题.
13.设全集 U=R,A={x|x-2
x+1
<0},B={x|sinx≥ 3
2 },则 A∩B=________.
[答案] [π
3
,2)
[解析] ∵A={x|-10,知 A=(-∞,4).
又 B={x|x4.
15.设有两个命题:①关于 x 的不等式 mx2+1>0 的解集是 R;②函数 f(x)=logmx 是减
函数,如果这两个命题中有且只有一个真命题,则实数 m 的取值范围是________.
[答案] {m|m≥1 或 m=0}
[解析] ①若不等式 mx2+1>0 的解集是 R,则 m≥0;②若函数 f(x)=logmx 是减函数,
则 02+a,∴a<0,
当 A≠∅时,要使 A∩B=∅,
需满足
a≥0
2-a>1,
2+a<4.
∴0≤a<1.
综上知 a 的取值范围为{a|a<1}.
17.(本小题满分 12 分)设集合 A={x|x2<4},B={x|1< 4
x+3}.
(1)求集合 A∩B;
(2)若不等式 2x2+ax+b<0 的解集是 B,求 a,b 的值.
[解析] A={x|x2<4}={x|-22+ax 对任意 x∈(-∞,-1)上恒成立,如果命题“p 或 q”为真命题,命题“p
且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围.
[解析] 由题意可知对命题 p 需满足Δ<0 且 a>0,即 a>0
16-4a2<0
,解得 a>2;
命题 q 即:a>2x-2
x
+1,对∀x∈(-∞,-1)上恒成立,又增函数 y=(2x-2
x
+1)<1,故
a≥1.
“p 或 q”为真命题,命题“p 且 q”为假命题,等价于 p,q 一真一假.
因此当 p 真 q 假时有 a>2
a<1
,解集为∅;
当 p 假 q 真时有 a≤2
a≥1
,即 1≤a≤2,
综上所述 a 的取值范围为 1≤a≤2.
20.(本小题满分 13 分)已知命题 p:A={x|a-10 即 a>-1 时,集合 M={x|00,解得 A=(-4,2),
又 y=x+ 1
x+1
=(x+1)+ 1
x+1
-1,
所以 B=(-∞,-3]∪[1,+∞).
所以 A∩B=(-4,-3]∪[1,2).
(2)因为∁RA=(-∞,-4]∪[2,+∞).
由(ax-1
a)(x+4)≤0,知 a≠0.
①当 a>0 时,由(x- 1
a2)(x+4)≤0,得 C=[-4, 1
a2],不满足 C⊆∁RA;
②当 a<0 时,由(x- 1
a2)(x+4)≥0,得 C=(-∞,-4]∪[ 1
a2
,+∞),
欲使 C⊆∁RA,则 1
a2
≥2,
解得- 2
2
≤a<0 或 0
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