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- 2021-06-16 发布
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课时分层作业(十四) 祖暅原理与几何体的体积
(建议用时:40分钟)
一、选择题
1.已知高为3的三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图),则三棱锥B1ABC的体积为( )
A. B.
C. D.
D [V=Sh=××3=.]
2.在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是( )
A. B. C. D.
D [如图,去掉的一个棱锥的体积是××=,
剩余几何体的体积是1-8×=.]
3.如果三个球的半径之比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的( )
A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍
C [半径大的球的体积也大,设三个球的半径分别为x,2x,3x,则最大球的半径为3x,其体积为π×(3x)3,其余两个球的体积之和为πx3+π×(2x)3,
∴π×(3x)3÷=3.]
4.如图,ABCA′B′C′是体积为1的棱柱,则四棱锥CAA′B′B的体积是( )
A. B.
C. D.
C [VCAA′B′B=VABCA′B′C′-VCA′B′C′
=S△ABC·AA′-S△ABC·AA′
=S△ABC·AA′
=.]
5.分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周,所形成的几何体的体积之比是( )
A.1∶∶ B.6∶2∶
C.6∶2∶3 D.3∶2∶6
C [设Rt△ABC中,∠BAC=30°,BC=1,则AB=2,AC=,求得斜边上的高CD=,旋转所得几何体的体积分别为V1=π()2×1=π,V2=π×12×=π,V3=π×2=π.
V1∶V2∶V3=1∶∶=6∶2∶3.]
二、填空题
6.一个长方体的三个面的面积分别是 , , ,则这个长方体的体积为________.
[设长方体的棱长分别为a,b,c,则三式相乘可知(abc)2=6,所以长方体的体积V=abc=.]
7.已知三棱锥SABC的棱长均为4,则该三棱锥的体积是________.
[如图,在三棱锥SABC中,作高SO,连接AO并延长AO交BC于点D,则AO=×4×=.在Rt△SAO中,SO=
=,所以V=×××42=.]
8.两个球的半径相差1,表面积之差为28π,则它们的体积和为________.
[设大、小两球半径分别为R、r,则
所以
所以体积和为πR3+πr3=.]
三、解答题
9.如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌,如果冰激凌融化了,会溢出杯子吗?请用你的计算数据说明理由.
[解] 因为V半球=×πR3=×π×43=π(cm3),
V圆锥=πr2h=π×42×10=π(cm3),
因为V半球
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