2020-2021学年人教B版数学选修2-3课时作业：模块综合评估2 12页

选修 2—3 模块综合评估(二) 时间：120 分钟 总分：150 分 第Ⅰ卷(选择题，共 60 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 60 分) 1.错误!i·错误!j·错误!k 展开后的项数为( D ) A．m B．n C．m＋n＋q D．mnq 解析：错误!i·错误!j·错误!k＝(a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bm)·(c1＋ c2＋…＋cq)，展开式中的每一项都包含 3 个字母，这 3 个字母分别来 自 3 个括号．根据分步乘法数原理，展开式共有 n×m×q＝nmq 项． 2．袋中有大小相同的 5 只钢球，分别标有 1,2,3,4,5 五个号码， 有放回地依次取出 2 个球，设两个球号码之和为随机变量 X，则 X 所 有可能值的个数是( C ) A．25 B．10 C．9 D．5 解析：由题意，由于是有放回地取，故可有如下情况： 若两次取球为相同号码，则有 1＋1＝2,2＋2＝4,3＋3＝6,4＋4＝ 8,5＋5＝10,5 个不同的和； 若两次取球为不同号码，则只有 1＋2＝3,1＋4＝5,2＋5＝7,4＋5 ＝9 这四个和，故共有 9 个． 3．A，B，C，D，E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在 A 的 右边(A，B 可以不相邻)，那么不同的排法有( B ) A．24 种 B．60 种 C．90 种 D．120 种 解析：只需从 5 个位置中选出 3 个位置安排好 C，D，E 即可， 不同的排法有 A35＝60 种． 4．(1＋2x2) x－1 x 8 的展开式中常数项为( B ) A．42 B．－42 C．24 D．－24 解析：展开式的常数项为 C48＋2C58(－1)5＝－42. 5．在秋季运动会的开幕式上，鲜花队方阵从左到右共有 9 列纵 队，要求同一列纵队的鲜花颜色要相同，相邻纵队的鲜花颜色不能相 同，而且左右各纵队的鲜花颜色要求关于正中间一列呈对称分布．现 有 4 种不同颜色的鲜花可供选择，则鲜花队方阵所有可能的编排方案 共有( A ) A．4×34 种 B．49 种 C．4×38 种 D．45 种 解析：由题意知，只需安排 1,2,3,4,5 列纵队即可，对称的一侧按 5,4,3,2,1 的 顺 序 安 排 ， 不 同 的 编 排 方 案 共 有 4×3×3×3×3 ＝ 4×34(种)． 6．已知随机变量ξ的分布列为 P(ξ＝k)＝ 1 2k，k＝1,2，…，则 P(2<ξ≤4)等于( A ) A. 3 16 B.1 4 C. 1 16 D.1 5 解析：由分布列的知识得 P(2<ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝ 1 23＋ 1 24 ＝ 3 16. 7．一个口袋中装有除颜色外完全相同的 2 个白球和 3 个黑球， 第一次摸出 1 个白球后放回，则再摸出 1 个白球的概率是( C ) A.2 3 B.1 4 C.2 5 D.1 5 解析：由于是有放回摸球，所以第二次摸出 1 个白球，与第一次 摸出白球无关，即相互独立，所以第二次摸出白球的概率为2 5. 8．将二项式 x＋ 1 24 x 8 的展开式中所有项重新排成一列，有理 式不相邻的排法有( C ) A．A 37种 B．A66A 36种 C．A66A 37种 D．A77A 37种 解析： x＋ 1 24 x 8 展开式的通项公式 Tr＋1＝Cr8·( x)8－r· 1 24 x r＝ Cr8 2r ·x16－3r 4 ，r＝0,1,2，…，8.当16－3r 4 为整数时，r＝0,4,8.所以展开 式共有 9 项，其中有有理项 3 项，先排其余 6 项有 A 66种排法，再将 有理项插入形成的 7 个空当中，有 A 37种方法．所以共有 A66A 37种排法． 9．正态分布 N1(μ1，σ21)，N2(μ2，σ22)，N3(μ3，σ23)(其中σ1，σ2，σ3 均大于 0)所对应的密度函数图象如下图所示，则下列说法正确的是 ( D ) ①N1(μ1，σ21) ②N2(μ2，σ22) ③N3(μ3，σ23) A．μ1 最大，σ1 最大 B．μ3 最大，σ3 最大 C．μ1 最大，σ3 最大 D．μ3 最大，σ1 最大 解析：在正态分布 N(μ，σ2)中，x＝μ为正态曲线的对称轴，结合 图象可知，μ3 最大；又参数σ确定了曲线的形状：σ越大，曲线越“矮 胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．故由图象知σ1 最大． 10．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3 局 2 胜”，即 以先赢 2 局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为 0.6，则 本次比赛甲获胜的概率是( D ) A．0.216 B．0.36 C．0.432 D．0.648 解析：甲获胜有两种情况， 一是甲以 2 0 获胜，此时 p1＝0.62＝0.36， 二是甲以 2 1 获胜，此时 p2＝C12·0.6×0.4×0.6＝0.288， 故甲获胜的概率 p＝p1＋p2＝0.648. 11．已知随机变量ξ～B 9，1 5 ，则使 P(ξ＝k)取得最大值的 k 值为 ( A ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：P(ξ＝k)＝Ck9 1 5 k 1－1 5 9－k＝Ck9·49－k 59 ，验证知 C29·49－2＝9×48， C39·49－3＝21×47，C49·49－4＝63×211，C59·49－5＝63×29，故当 k＝2 时， P(ξ＝k)取得最大值． 12．一套重要资料锁在一个保险柜中，现有 n 把钥匙分给 n 名学 生依次开柜，但其中只有一把真的钥匙可以打开柜门，则打开柜门需 要试开的平均次数为( C ) A．1 B．n C.n＋1 2 D.n－1 2 解析：已知每一名学生打开柜门的概率为1 n ，所以打开柜门需要 试开的平均次数(即数学期望)为 1×1 n ＋2×1 n ＋…＋n×1 n ＝n＋1 2 ，故选 C. 第Ⅱ卷(非选择题，共 90 分) 二、填空题(每小题 5 分，共 20 分) 13．从 5 名学生中任选 4 名分别参加数学、物理、化学、生物四 科竞赛，且每科竞赛只有 1 人参加，若甲参加，但不参加生物竞赛， 则不同的选择方案共有 96 种． 解析：因为特殊元素优先安排，先排甲有 3 种，那么其余的从剩 下的 4 人中选 3 名，进行全排列得到 A34，另一种情况就是没有甲参 加，则有 A44，根据分类加法计数原理，得不同的选择方案共有：3×A34 ＋A44＝96 种． 14．如图所示的电路有 a，b，c 三个开关，每个开关开或关的概 率都是1 2 ，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为1 8. 解析：理解事件之间的关系，设“a 闭合”为事件 A，“b 闭合” 为事件 B，“c 闭合”为事件 C，则灯亮应为事件 AC B ，且 A，C， B 之间彼此独立，且 P(A)＝P( B )＝P(C)＝1 2.所以 P(A B C)＝ P(A)P( B )P(C)＝1 8. 15．已知 100 件产品中有 10 件次品，从中任取 3 件，则任意取 出的 3 件产品中次品数的数学期望为 0.3. 解析：次品件数服从参数为 N＝100，M＝10，n＝3 的超几何分 布，由超几何分布的数学期望公式得 E(ξ)＝3× 10 100 ＝0.3. 16．若二项式 4 x＋ a x m(m∈N*，a 为小于 0 的常数)的展开式中 所有项的二项式系数的和等于 64，且前三项的系数和等于7 4.则实数 a 和 m 的值分别为－1 2 ，6. 解析：由题意可知，2m＝64，解得 m＝6. 因为二项式 4 x＋ a x 6 的展开式的通项为 Tr＋1＝Cr6(4 x)6－r· a x r ＝arCr6x6－3r 4 ，所以 C06＋aC16＋a2C26＝7 4 ，即 20a2＋8a－1＝0，又 a<0， 故 a＝－1 2. 三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共 70 分) 17．(10 分)已知 x＋ 1 3 x 2n 展开式的二项式系数之和比(x＋y)n 展开式的所有项系数之和大 240. (1)求 n 的值； (2)判断 x＋ 1 3 x 2n 展开式中是否存在常数项？并说明理由． 解：(1) x＋ 1 3 x 2n 展开式的二项式系数之和等于 22n. (x＋y)n 展开式的所有项系数之和为 2n. 所以 22n－2n＝240，所以 n＝4. (2) x＋ 1 3 x 2n＝ x＋ 1 3 x 8，展开式的通项为 Tr＋1＝Cr8·( x)8－r· 1 3 x r＝Cr8·x24－5r 6 . 令 24－5r＝0，r＝24 5 ，不是自然数， 所以 x＋ 1 3 x 2n 展开式中无常数项． 18．(12 分)带有编号 1,2,3,4,5 的五个球． (1)全部投入 4 个不同的盒子里； (2)放进 4 个不同的盒子里，每盒一个； (3)将其中的 4 个球投入 4 个盒子里的一个(另一个球不投入)； (4)全部投入 4 个不同的盒子里，没有空盒．各有多少种不同的放 法？ 解：(1)由分步乘法计数原理知，五个球全部投入 4 个不同的盒子 里共有 45 种放法． (2)由排列数公式知，五个不同的球放进 4 个不同的盒子里(每盒 一个)共有 A 45种放法． (3)将其中的 4 个球投入一个盒子里共有 C45C 14种放法． (4)全部投入 4 个不同的盒子里(没有空盒)共有 C25A 44种不同的放 法． 19．(12 分)某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学．在这 10 名同学中，3 名同学来自数学学院，其余 7 名同学来自物理、化学 等其他互不相同的七个学院．现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学， 到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)． (1)求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率； (2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的分 布列和数学期望． 解：(1)设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院”为事件 A， 则 P(A)＝C13·C27＋C03·C37 C310 ＝49 60. 所以选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为49 60. (2)随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3. P(X＝k)＝Ck4·C3－k6 C310 (k＝0,1,2,3)． 所以，随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 随机变量 X 的数学期望 E(X)＝0×1 6 ＋1×1 2 ＋2× 3 10 ＋3× 1 30 ＝6 5. 20．(12 分)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下： 方案一：购买股票 投资结果 获利 40% 不赔不赚 亏损 20% 概率 1 2 1 8 3 8 方案二：购买基金 投资结果 获利 20% 不赔不赚 亏损 10% 概率 p 1 3 q (1)当 p＝1 4 时，求 q 的值； (2)已知甲、乙两人分别选择了“购买股票”和“购买基金”进 行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于4 5 ，求 p 的取 值范围； (3)丙要将家中闲置的 10 万元进行投资，决定在“购买股票”和 “购买基金”这两种方案中选择一种．已知 p＝1 2 ，q＝1 6 ，那么丙选 择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结 果并说明理由． 解：(1)因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不 赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以 p＋1 3 ＋q＝1， 又 p＝1 4 ，所以 q＝ 5 12. (2)记事件 A 为“甲购买股票且获利”，事件 B 为“乙购买基金 且获利”，事件 C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， 则 C＝A B ∪ A B∪AB，且 A，B 相互独立． 因为 P(A)＝1 2 ，P(B)＝p， 所以 P(C)＝P(A B )＋P( A B)＋P(AB)＝1 2 ×(1－p)＋1 2 ×p＋1 2 ×p ＝1 2 ＋1 2p. 因为 P(C)＝1 2 ＋1 2p>4 5 ，所以 p>3 5. 又 p＋1 3 ＋q＝1，q≥0，所以 p≤2 3. 所以 p 的取值范围为 3 5 ，2 3 . (3)假设丙选择“购买股票”方案，且记 X 为丙购买股票的获利 金额(单位：万元)，所以随机变量 X 的分布列为 X 4 0 －2 P 1 2 1 8 3 8 则 E(X)＝4×1 2 ＋0×1 8 ＋(－2)×3 8 ＝5 4. 假设丙选择“购买基金”方案，且记 Y 为丙购买基金的获利金额 (单位：万元)，所以随机变量 Y 的分布列为 Y 2 0 －1 P 1 2 1 3 1 6 则 E(Y)＝2×1 2 ＋0×1 3 ＋(－1)×1 6 ＝5 6. 因为 E(X)>E(Y)，所以丙选择“购买股票”，才能使得一年后投 资收益的数学期望较大． 21．(12 分)袋子 A 和 B 中都装有若干个除颜色外完全相同的红球 和白球，从 A 中摸出一个红球的概率是1 3 ，从 B 中摸出一个红球的概 率为 p(0