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- 2021-06-16 发布
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90 110 周长(cm)
频率/组距
100 120 130
0.01
0.02
0.04
80
第 2 题图
i=1
S=0
WHILE i<=3
S=S+i
i=i+1
WEND
PRINT S
END
福建省高考压轴卷 数学文试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).本试卷共 6 页.满分 150 分.考试时间 120 分
钟.
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.考生作答时,将答案答在答题卡上,请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出
答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无效.
3.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
参考公式:球的体积公式: 34
3V R 其中 R 为球的半径
第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每题有且只有一个选项是正确的,请把答案填在
答卷相应位置上)
1、设集合 *{ | 4}U x N x , , ,则 ( )
A. B. C. D.
2、为了解一片速生林的生长情况,随机测量了其中 100 株树木的底
部周长(单位:cm).根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如
图),那么在这 100 株树木中,底部周长大于 110cm 的株数是( )
A.70 B.60
C.30 D.80
3、若 0 1x y ,则( )
A. log 3 log 3x y B.3 3y x
C. 4 4log logx y D. 1 1( ) ( )4 4
x y
4、右边程序执行后输出的结果是 S ( )
A.3 B.6
C.10 D.15
第 4 题图
5、已知函数 ,则 1[ ( )]16f f ( )
A. 1
9
B.9 C. 1
9
D. 9
6、将函数 sin 2y x 的图像向左平移
4
个单位长度,所得函数是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数
7、“函数 2( ) 2f x x x m 存在零点”的一个必要不充分条件是( )
A. 1m B. 2m C. 0m D.1 2m
8、过点 作圆 的两条切线 , , 为切点),则 ( )
A. B. C. D.
9、角 的终边经过点 A ( 3, )a ,且点 A 在抛物线 21
4y x 的准线上,则 sin ( )
A. 1
2
B. 1
2
C. 3
2
D. 3
2
10、函数
1
3y x x 的图象大致为( )
11、一个空间几何体的主视图和左视图都是矩形,俯视图是一个圆,
尺寸如图,那么这个几何体的外接球的体积为( )
A. 4 2 π3
B. 8 2 π3
C. 5 π6
D. 5 5 π6
12、非空数集 *
1 2 3 nA a a a a n N, , , , ( )中,所有元素的算术平均数记为 E A( ),即
1 2 3 na a a aE A n
( ) .若非空数集 B 满足下列两个条件:① B A ;② E B E A( ) ( ),则称 B
为 A 的一个“保均值子集”.据此,集合 1 2 3 4 5, , , , 的“保均值子集”有( )
A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D.8 个
第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 请把答案填在答卷相应位置上)
13、在复平面上,若复数1 ( )bi b R 对应的点恰好在实轴上,则b _______.
14、焦点在 y 轴上,渐近线方程为 2y x 的双曲线的离心率为_______.
15、已知函数 164 ( 1)1y x xx
,当 x a 时, y 取得最小值b ,则 a b _______.
16、定义映射 :f A B ,其中 {( , ) , }A m n m n R ,B R ,已知对所有的有序正整数...对 ( , )m n 满足下
述条件:
① ( ,1) 1f m ; ②若 n m , ( , ) 0f m n ; ③ ( 1, ) [ ( , ) ( , 1)]f m n n f m n f m n ;
则 ( ,2)f n _______.
三、解答题(本大题共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,请在答卷的相应位置作答)
17.(本题满分 12 分)
函数 ( )的部分图像如右图所示.
(Ⅰ)求函数 的解析式;
(Ⅱ) ABC 中,角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ,若 ,
其中 (0, )2A ,且 2 2 2a c b ac+ - = ,求角 , ,A B C 的大小.
D
C
B
A
E
F
M
N
P
F
E
A
B
C
D
18.(本题满分 12 分)
设{ }na 为等差数列, nS 为数列{ }na 的前 n 项和,已知 3 73, 7S S .
(Ⅰ)求数列{ }na 的通项公式;
(Ⅱ)设 4 2 na
nb n ,求数列 nb 的前 n 项和 nT .
19.(本题满分 12 分)
已知向量 ),(),1,2( yxba
(Ⅰ)若 { 1,0,1}, { 2, 1,2}x y ,求向量 a b 的概率;
(Ⅱ)若用计算机产生的随机二元数组 构成区域 : ,求二元数组 满足 1
的概率.
20.(本题满分 12 分)
如图(1),在等腰梯形 CDEF 中,CB、DA 是梯形的高, 2AE BF , 2 2AB ,现将梯形沿 CB、DA
折起,使 EF//AB 且 2EF AB ,得一简单组合体 ABCDEF 如图(2)所示,已知 , ,M N P 分别为
, ,AF BD EF 的中点.
(Ⅰ)求证: //MN 平面 BCF ;
(Ⅱ)求证: AP 平面 DAE .
图(1)
图(2)
21.(本题满分 12 分)
已知函数 3 21( ) 13f x x ax ( )a R .
(Ⅰ)若 a>0,函数 y=f(x)在区间(a,a 2-3)上存在极值,求 a 的取值范围;
(Ⅱ)若 a>2,求证:函数 y=f(x)在(0,2)上恰有一个零点.
22.(本题满分 14 分)
已知抛物线 2 4y x 的焦点为 F2,点 F1 与 F2 关于坐标原点对称,直线 m 垂直于 x 轴(垂足为 T),与抛物
线交于不同的两点 P、Q,且 1 2 5F P F Q .
(Ⅰ)求点 T 的横坐标 0x ;
(Ⅱ)若椭圆 C 以 F1,F2 为焦点,且 F1,F2 及椭圆短轴的一个端点围成的三角形面积为 1.
① 求椭圆 C 的标准方程;
② 过点 F2 作直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,设 2 2F A F B ,若 2, 1 , TA TB 求 的取值范围.
福建省高考压轴卷 数学文试题答案
一、选择题(本大题有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.)
1、D 2、C 3、C 4、B 5、A 6、B
7、B 8、D 9、B 10、A 11、D 12、C
二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,16 分.)
13、0 14、 5
2
15、6 16、 2 2n
三、解答题(本大题有 6 小题,共 74 分.)
17. 解:(Ⅰ)由图像可知 2M ………2 分
且 ∴ ………4 分
∴ ………5 分
故函数 的解析式为 ………6 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ∴ ………7 分
(0, )2A
3A ………8 分
由余弦定理得:
2 2 2 1cos 2 2 2
a c b acB ac ac
+ -= = = ………9 分
(0, )B
3B ………10 分
从而 ( ) 3C A B
3A B C ………12 分
18. 解:(Ⅰ)设等差数列{ }na 的公差为 d
依题意得
1
1
13 3 2 32
17 7 6 72
a d
a d
………2 分
解得 1 2
1
a
d
. ………5 分
∴ 2 ( 1) 1 3na n n ………6 分
M
N
P
F
E
A
B
C
D
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 3 14 2 2n n
nb n n ………7 分
∴ 1 2 3n nT b b b b
0 1 2 1(2 2 2 2 ) (1 2 3 )n n ………9 分
1 2 ( 1)
1 2 2
n n n
………11 分
( 1)2 1 2
n n n ………12 分
19. 解:(Ⅰ)从 { 1,0,1}, { 2, 1,2}x y 取两个数 ,x y 的基本事件有 ( 1, 2),( 1, 1),( 1,2),(0, 2),
(0, 1),(0,2),(1, 2),(1, 1),(1,2) ,共 9 种 …………2 分
设“向量 a b ”为事件 A
若向量 a b ,则 2 0x y …………3 分
∴事件 A 包含的基本事件有 ( 1,2),(1,2) ,共 2 种 …………5 分
∴所求事件的概率为 2( ) 9P A …………6 分
(Ⅱ)二元数组 构成区域
设“二元数组 满足 1”为事件 B
则事件 B
如图所示
…………9 分
∴所求事件的概率为
21( ) 1 12 4 8P B
…………12 分
20. 解:(Ⅰ)证明:连结 AC ,∵四边形 ABCD 是矩形, N 为 BD 中点,
∴ N 为 AC 中点,
在 ACF 中, M 为 AF 中点
∴ //MN CF
∵CF 平面 BCF , MN 平面 BCF
//MN 平面 BCF …………4 分
(Ⅱ)证明:依题意知 ,DA AB DA AE 且 AB AE AI
∴ AD 平面 ABFE …………6 分
∵ AP 平面 ABFE
∴ AP AD …………7 分
∵ P 为 EF 中点,∴ 2 2FP AB
结合 //AB EF ,知四边形 ABFP 是平行四边形 …………9 分
∴ //AP BF , 2AP BF
而 2, 2 2AE PE ,
∴ 2 2 2AP AE PE ∴ 90EAP ,即 AP AE …………11 分
又 AD AE AI
∴ AP 平面 ADE …………12 分
21. 解:(Ⅰ)由已知 2( ) 2 ( 2 )f x x ax x x a
令 ( ) 0f x ,解得 0x 或 2x a
0a 0x 不在(a,a 2-3)内
要使函数 y=f(x)在区间(a,a 2-3)上存在极值,只需 22 3a a a
解得 3a …………6 分
(Ⅱ) 2a 2 4a
( ) 0f x 在(0,2)上恒成立,即函数数 y=f(x)在(0,2)内单调递减
又 11 12(0) 1 0, (2) 03
af f
函数 y=f(x)在(0,2)上恰有一个零点 …………12 分
22. 解:(Ⅰ)由题意得 )0,1(2F , )0,1(1 F ,设 ),( 00 yxP , ),( 00 yxQ
则 ),1( 001 yxPF , ),1( 002 yxQF .
由 521 QFPF ,
得 51 2
0
2
0 yx 即 42
0
2
0 yx ,① …………………3 分
又 ),( 00 yxP 在抛物线上,则 0
2
0 4xy ,②
联立①、②易得 20 x ……………………5 分
(Ⅱ)(ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,由题意得 1c ,
设椭圆C 的标准方程为 )0(12
2
2
2
bab
y
a
x ,
由 1 2 12 c b ,解得 1b …………………6 分
从而 2 2 2 2a b c
故椭圆C 的标准方程为 12
2
2
yx ……………………7 分
(ⅱ)方法一:
容易验证直线l 的斜率不为 0,设直线l 的方程为 1x ky
将直线l 的方程代入
2
2 12
x y 中得: 2 2( 2) 2 1 0k y ky .………………8 分
设 1 1 2 2 1 2( , ), ( , ), 0 0A x y B x y y y 且 ,则由根与系数的关系,
可得: 1 2 2
2
2
ky y k
⑤
1 2 2
1
2y y k
⑥ …………………9 分
因为 BFAF 22 ,所以 1
2
y
y
,且 0 .
将⑤式平方除以⑥式,得:
2 2
1 2
2 2
2 1
4 1 42 22 2
y y k k
y y k k
由 5 1 1 12, 1 + 2 2 02 2
2
2
1 4 02 2
k
k
所以
7
20 2 k ……………………………………………………………11 分
因为 1 1 2 2( 2, ), ( 2, )TA x y TB x y ,所以 1 2 1 2( 4, )TA TB x x y y ,
又 1 2 2
2
2
ky y k
,所以
2
1 2 1 2 2
4( 1)4 ( ) 2 2
kx x k y y k
,
故
2 2 2
2 2 2
1 2 1 2 2 2 2 2
16( 1) 4| | ( 4) ( ) ( 2) ( 2)
k kTA TB x x y y k k
2 2 2
2 2 2 2 2
16( 2) 28( 2) 8 28 816( 2) 2 ( 2)
k k
k k k
,
令 2
1
2t k
,因为 2 20 7k 所以 2
7 1 1
16 2 2k
,即 7 1[ , ]16 2t ,
所以 2 2 27 17| | ( ) 8 28 16 8( )4 2TA TB f t t t t .
而 7 1[ , ]16 2t ,所以 169( ) [4, ]32f t .
所以 13 2| | [2, ]8TA TB .……………………………………………………14 分
方法二:
1)当直线l 的斜率不存在时,即 1 时, )2
2,1(A , )2
2,1( B ,
又T )0,2( ,所以 2 2( 1, ) ( 1, ) 22 2TA TB …………8 分
2)当直线l 的斜率存在时,即 1,2 时,设直线l 的方程为 )1( xky
由
12
2
2
yx
kkxy
得 0224)21( 2222 kxkxk
设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ,显然 1 20, 0y y ,则由根与系数的关系,
可得: 2
2
21 21
4
k
kxx , 2
2
21 21
22
k
kxx
……………………9 分
22121 21
22)( k
kkxxkyy
⑤
2
2
2121
2
21 21)1)(( k
kxxxxkyy
⑥
因为 BFAF 22 ,所以 1
2
y
y
,且 0 .
将⑤式平方除以⑥式得:
221
421
k
由 1,2 得
2,2
51
即
0,2
121
故 021
4
2
1
2
k
,解得
2
72 k ………………………………………10 分
因为 1 1 2 2( 2, ), ( 2, )TA x y TB x y ,所以 1 2 1 2( 4, )TA TB x x y y ,
又 2
2
21 21
)1(44 k
kxx
,
故 22
2
22
22
2
21
2
21
2
)21(
4
)21(
)1(16)()4( k
k
k
kyyxxTBTA
22222
222
)21(
2
21
104)21(
2)21(10)21(4
kkk
kk
…………………11 分
令 221
1
kt ,因为
2
72 k 所以
8
1
21
10 2
k
,即
8
1,0t ,
所以 2 2 25 172 10 4 2( )2 2TA TB t t t 1694, 32
.
所以
8
213,2TBTA ……………………13 分
综上所述: 13 2| | [2, ]8TA TB . ……………………14 分
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