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- 2021-06-16 发布
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- 1 -
2020 年重庆市渝西九校高考数学联考试卷(文科)(5 月份)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合 | 2 6A x x x , 0,2,4,6B ,则 A B ( )
A. 0 B. 0,2 C. 2,4 D. 4,6
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简集合 A ,再求交集,即可得出结果.
【详解】因为 | 2 6 | 2A x x x x x , 0,2,4,6B ,
所以 4,6A B I .
故选:D.
【点睛】本题考查集合的交集运算,熟记概念即可,属于基础题型.
2.若 z1=2﹣3i,z2=3+2i,则( )
A. z1+z2 的实部为 1 B. z2=iz1
C. z1+z2 的虚部为 1 D. z2=﹣iz1
【答案】B
【解析】
【分析】
采用逐一验证法,根据复数的四则运算,分别计算 z1+z2,iz1,简单判断可得结果.
【详解】由题可知:z1=2﹣3i,z2=3+2i
所以 z1+z2=5- i,故 z1+z2 的实部为 5,虚部为-1,排除 A,B
1 2 12 3 3 2 , iz i i i z iz ,排除 D,则 B 正确
故选:B
【点睛】本题考查复数的四则运算,重在于计算,属基础题.
3.若双曲线
2 2
: 13
x yC m
的离心率为 3 ,则 C 的虚轴长为( )
A. 4 B. 2 3 C. 2 6 D. 2
- 2 -
【答案】C
【解析】
【分析】
利用离心率得到关于 m 的方程,求出其解后可得虚轴长.
【详解】因为双曲线
2 2
: 13
x yC m
的离心率为 3 ,故 3 3
3
m ,
解得 6m ,所以虚轴长为 2 6 .
故选:C.
【点睛】本题考查双曲线的离心率及虚轴长,注意双曲线
2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
中各
几何量计算公式的正确应用,如虚轴长指 2b ,本题属于基础题.
4.已知函数 6logf x x ,则 2 2 2f ( )
A. 4f B. 6f C. 9f D. 12f
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对数的运算法则,直接计算,即可得出结果.
【详解】因为 6logf x x ,
所以 6 6 6 62log 6 2log 22 2 2 2log 3 log 9 9f f .
故选:C.
【点睛】本题主要考查求对数函数值,以及对数的运算,熟记对数运算法则即可,属于基础
题型.
5.若通过 10 组数据 , 1,2, ,10i ix y i 得到 y 关于 x 的线性回归方程为 3y x a ,且
10
1
10i
i
x
,
10
1
90i
i
y
,则 a ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C
【解析】
- 3 -
【分析】
根据回归直线方程必过样本中心点即可求出参数的值.
【详解】解:因为
10
1
1 110 i
i
x x
,
12
1
1 910 i
i
y y
,
因为回归直线方程 3y x a 必过样本中心点 1,9
所以 9 3 1 a ,即 6a .
故选:C
【点睛】本题考查回归直线方程的性质的应用,属于基础题.
6.北京公交 101 路是北京最早的无轨电车之一,最早可追溯至 1957 年.游客甲与乙同时从红
庙路口西站上了开往百万庄西口站方向的 101 路公交车,甲将在朝阳门外站之前的任意一站
下车,乙将在神路街站之前的任意一站下车,他们都至少坐一站再下车,则甲比乙后下车的
概率为( )
A. 7
20
B. 2
5
C. 9
20
D. 1
2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意,确定总的基本事件个数,以及满足条件的基本事件个数,基本事件个数之比即为
所求概率.
【详解】甲下车的站名可能为小庄路口东站、呼家楼西站,关东店站,东大桥路口西站、神
路街站,乙下车的站名可能为小庄路口东站、呼家楼西站、关东店站、东大桥路口西站.
所以甲、乙下车的所有情况共有 1 1
5 4 20C C 种,
其中甲比乙后下车的情况有:
乙在小庄路口东站下车,甲可以在呼家楼西站,关东店站,东大桥路口西站、神路街站下车;
乙在呼家楼西站下车,甲可以在关东店站,东大桥路口西站、神路街站下车;
- 4 -
乙在关东店站下车,甲可以在东大桥路口西站、神路街站下车;
乙在东大桥路口西站下车,甲可以在神路街站下车;
共有 10 种.
故甲比乙后下车的概率为 10 1
20 2
.
故选:D.
【点睛】本题主要考查求古典概型的概率,熟记概率计算公式即可,属于常考题型.
7.已知二次函数 2f x ax bx 在 1, 上单调递减,则 a ,b 应满足的约束条件为( )
A. 0
2 0
a
a b
B. 0
2 0
a
a b
C. 0
2 0
a
a b
D.
0
2 0
a
a b
【答案】D
【解析】
【分析】
由二次函数在 1, 上单调递减,得开口向下,对称轴小于等于 1,可得答案.
【详解】解:因为 f x 在 1, 上单调递减,
所以 0a ,且 12
b
a
,
所以 0
2 0
a
a b
.
故选:D
【点睛】此题考查二次函数的性质,属于基础题.
8.设函数 cos 03f x x
在 0, 2
上的值域为 1 ,12
,则 的取值范围为
( )
A. 2 4,3 3
B. 20, 3
- 5 -
C. 2 ,13
D. 41, 3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据 x 范围得到 ,3 3 2 3x
,结合余弦函数图像可得
2 3
的范围,进而得
出结果.
【详解】因为 0, 2x
,所以 ,3 3 2 3x
,所以 0 2 3 3
,解得
2 4
3 3
.
故选:A
【点睛】本题考查根据余弦函数在某一区间的值域求解参数范围问题,关键是能够结合余弦
函数图像确定角的范围.
9.执行如图所示的程序框图,则输出的 a ( )
A. 1
2
B. 2
3
C. 3 D. -3
【答案】A
【解析】
【分析】
由算法和程序框图的循环结构依次计算即可得答案.
- 6 -
【详解】解:第 1 次, 3a , 1 5i 成立,则 3 1 2
3 3a , 2i ;
第 2 次, 2 5i 成立,则
2 1 13
2 2
3
a
, 3i ;
第 3 次, 3 5i 成立,则
1 12 31
2
a
, 4i ;
第 4 次, 4 5i 成立,则 2
3a , 5i ,
第 5 次, 5 5i 成立, 1
2a , 6i .
6 5i 不成立,所以输出的 1
2a .
故选:A
【点睛】此题考查算法和程序框图的循环结构,考查计算能力,属于基础题.
10. a ,b ,c 分别为 ABC 内角 A ,B ,C 的对边.已知 sin 3 sinb A b c B ,则
2b
ac
的
最小值为( )
A. 5
4
B. 7
4
C. 4
3
D. 5
3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦定理,先得到 3a c b ,再由基本不等式,即可求出结果.
【详解】∵ sin ( 3 )sinb A b c B ,
∴ ( 3 )ab b c b ,∴ 3a b c ,即 3a c b .
∵ 2a c ac ,∴ 3 2b ac ,
当且仅当 3
2a c b 时,等号成立,∴
2 4
3
b
ac
,故
2b
ac
的最小值为 4
3
.
故选:C.
- 7 -
【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形,熟记正弦定理以及基本不等式即可,属于常考题
型.
11.已知椭圆 C 的焦点为 F1(﹣c,0),F2(c,0),其中 c>0,C 的长轴长为 2a,过 F1 的直线
与 C 交于 A,B 两点.若|AF1|=3|F1B|,4|BF2|=5|AB|,则|AF2|=( )
A. 5
4 a B. 4
3
a C. 2
3 a D. a
【答案】D
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义求解.
【详解】设 1F B x ,则∵|AF1|=3|F1B|,∴ 1 3AF x ,又 4|BF2|=5|AB|,∴ 2 5BF x ,
∴ 1 2 6 2BF BF x a , 3a x ,∴ 2 12AF a AF a .
故选:D.
【点睛】本题考查椭圆的定义,只要用定义表示出 ,A B 两点到焦点的距离之和即可求解.
12.已知QA 平面 ABC ,PC 平面 ABC ,AB BC , 1PC , 3AB AQ , 4BC ,
现有下述四个结论:①四边形 ACPQ 为直角梯形;②四面体 PABC 的外接球的表面积为 25 ;
③平面 PBC 平面QAB ;④四面体 PABC 与四面体QABC 的公共部分的体积为 3
2
.其中所
有正确结论的编号是( )
A. ①③ B. ①③④
C. ②④ D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
利用线面垂直的性质定理可判断①;求出四面体 PABC 的外接球的球心O 为线段 PA 的中点,
利用球的表面积公式可判断②;利用面面垂直的判定定理以及线面垂直的性质定理可判断③;
利用锥体的体积公式即可判断④.
【详解】因为 QA 平面 ABC , PC 平面 ABC ,
所以 / /QA PC ,且 PC AC ,又 3QA PC ,所以四边形 ACPQ 为直角梯形.
- 8 -
依题意可得,四面体 PABC 的外接球的球心O 为线段 PA 的中点,
因为 2 23 4 5AC , 1PC ,所以
2 25 1 26
2 2AO ,
所以球O 的表面积为 26 .
由QA 平面 ABC ,则 QA BC , AB BC ,且 QA AB A
可证 BC ⊥平面QAB ,而 BC 平面 PBC ,所以平面 PBC 平面QAB .
设 PA QC D ,则四面体 PABC 与四面体QABC 的公共部分为四面体 ABCD .
过 D 作 DE AC 于 E ,则 3
3 1
DE
PC
,所以 3 3
4 4DE PC ,
所以四面体 ABCD 的体积为 1 1 3 33 43 2 4 2
.
故所有正确结论的编号是①③④.
故选:B
【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理、面面垂直的判定定理、球的表面积公式、锥体的
体积公式,属于中档题.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.设向量 1,2AB , 2,AC x ,若 A , B ,C 三点共线,则 x ______.
【答案】-4
【解析】
【分析】
由 A , B ,C 三点共线,可得 / /AB AC
,从而由共线向量的性质列方程可求出 x 的值.
【详解】解:因为 A , B ,C 三点共线,
所以 / /AB AC
,
因为 1,2AB , 2,AC x ,
- 9 -
所以 2 2 4x .
故答案为:-4
【点睛】此题考查共线向量的性质,属于基础题.
14.若 tan tan tan 3 ,则 tan tan ______.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据两角和的正切公式,代入已知条件,即可求解.
【详解】由 tan tan tan 3 ,
因为 tan tantan( ) 1 tan tan
,所以 33 1 tan tan ,解得 tan tan 2 .
故答案为: 2 .
【点睛】本题主要两角和的正切函数公式的应用,其中解答中熟记两角和的正切公式,正确
计算是解答的关键,着重考查运算与求解能力.
15.《九章算术》中有这样一个问题:“今有方锥,下方二丈七尺,高二丈九尺.问积几何?”
其意思是:今有一个正四棱锥,其下底边长为 2 丈 7 尺(1丈 10 尺),高为 2 丈9尺,则其
体积为______立方尺.
【答案】 7047
【解析】
【分析】
根据题意得出该正四棱锥的高与底面边长,然后利用锥体的体积公式可计算得出结果.
【详解】因为该正四棱锥的底边长为 27 尺,高为 29 尺,所以其体积为 21 27 29 70473
立
方尺.
故答案为: 7047 .
【点睛】本题考查正四棱锥的体积的计算,关键就是根据题意得出该正四棱锥的底面边长和
高,考查计算能力,属于基础题.
16.已知函数 x xf x x ae e 为偶函数,函数 xg x f x xe ,则 a ______;若
g x mx e 对 0,x 恒成立,则 m 的取值范围为______.
- 10 -
【答案】 (1). 1 (2). ,2e
【解析】
【分析】
由已知条件,利用函数奇偶性的性质可得 x xy ae e 为奇函数,进而根据奇函数的定义求得
1a ;将题中不等式分离参数为 x em e x
,构造函数 0x eh x e xx
,利用导数求
得其最小值,根据不等式恒成立的意义得到 m 的取值范围为 ,2e .
【详解】因为 y x 为奇函数, x xf x x ae e 为偶函数,
所以 x xy ae e 为奇函数,
∴ 0 00 ae e ,所以 1a ,则 xg x xe .
因为 g x mx e 对 0,x 恒成立,
所以 x em e x
对 0,x 恒成立.
设函数 0x eh x e xx
,则 2' x eh x e x
,
显然 2' x eh x e x
在 0,x 上单调递增,且 ' 1 0h ,
所以当 0 1x 时, ' 0h x ;当 1x 时, ' 0h x .
从而可得 min 1 2h x h e ,
故 m 的取值范围为 ,2e .
故答案为:1; ,2e .
【点睛】本题考查函数的奇偶性,利用导数求不等式恒成立中的参数取值范围问题,难度中
等,关键是分离参数,构造函数并利用导数求函数的最值.
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第 17~21 题为必考题,
每道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共 60 分.
17.世界各国越来越关注环境保护问题,某检测点连续 100 天监视空气质量指数( AQI ),将
这 100 天的 AQI 数据分为五组,各组对应的区间分别为 0,50 , 50,100 , 100,150 ,
- 11 -
150,200 , 200,250 ,并绘制出如图所示的不完整的频率分布直方图.
(1)请将频率分布直方图补充完整;
(2)已知空气质量指数 AQI 在 0,50 内的空气质量等级为优,在 50,100 内的空气质量等
级为良,分别求这 100 天中空气质量等级为优与空气质量等级为良的天数;
(3)若这 100 天中, AQI 在 0,100 的天数与 AQI 在 ,250m 的天数相等,估计 m 的值.
【答案】(1)直方图见解析;(2)20,40;(3)75.
【解析】
【分析】
(1)根据总频率和为 1 求得 AQI 在 100,150 内的频率,进而计算 频率
组距的值,即可将直方
图补充完整;(2)先求得相关频率,即可得到所求天数;(3)依题意,可得 AQI 在 0,100 的
频率等于 AQI 在 ,250m 的频率,可得到 50,100m ,从而列式求得 m 的值.
【 详 解 】 ( 1 ) 因 为 AQI 在 100,150 内 的 频 率 为
1 50 (0.004 0.008 0.002 0.001) 0.25 ,
所以 AQI 在 100,150 内的 0.005频率
组距 ,
故频率分布直方图补充完整如图所示.
- 12 -
(2)这 100 天中空气质量等级为优的天数为50 0.004 100 20 ,
空气质量等级为良的天数为 50 0.008 100 40 .
(3)依题意,可得 AQI 在 0,100 的频率等于 AQI 在 ,250m 的频率,
因为 AQI 在 0,100 内的频率为 0.6, AQI 在 50,100 内的频率为 0.4,
所以 50,100m ,
则 100 0.008 1 0.6 0.6m ,
解得 75m .
【点睛】本题考查频率直方图,涉及频率直方图的性质,频率和频数的计算,属基础题.
18.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,公差为 d,且(S6﹣S3)2=S9.
(1)若 d=﹣1,求{an}的通项公式;
(2)若 a5<1,1<a6<2,求数列 12nd 的前 10 项和 T10 的取值范围.
【答案】(1) 5na n 或 6na n ;(2) 10 1023,2046T
【解析】
【分析】
(1)根据等差数列的性质以及前 n 项和公式,可得 2
5 5a a ,简单计算可得 5a ,然后根据公
差以及等差数列的通项公式可得结果.
(2)根据 a5<1,1<a6<2,可知 5a 以及 d 的范围,然后计算 10T ,根据 d 的范围,可得结果.
【详解】(1)依据题意可知: 2
6 3 9S S S
- 13 -
则 2 1 9
4 5 6
9
2
a aa a a ,
又 4 6 5 1 9 52 , 2 a a a a a a
所以 2
5 53 9a a ,即 2
5 5a a
故 5 0a 或 5 1a ,由 1d
当 5 0a 时, 5 5 5 na a n d n
当 5 1a 时, 5 5 6 na a n d n
(2)因为 5 1a ,由(1)可知 5 0a ,所以 6 5a a d d
又 61 2a ,所以1 2d
数列 12nd 是以 d 为首项,公比为 2 的等比数列
所以数列 12nd 的前 10 项和 10
10
1 2
10231 2
d
T d
所以 101023 2046 T ,即 10 1023,2046T
【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式,关键在于熟悉公式以及简单计算,
属基础题.
19.如图,在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D 为 AB 的中点,E 为棱 BB1 上一点,且 AE⊥A1C.
(1)证明:AE⊥平面 A1CD.
(2)若 AB=2,AA1=3,求三棱锥 E﹣A1BC1 的体积.
【答案】(1)见解析,(2) 2 3
9
- 14 -
【解析】
【分析】
(1)由 D 为 AB 的中点,AC=BC,可得 CD⊥AB,而 A A1⊥平面 ABC,可得 A A1⊥CD,由线面垂
直的判定定理得,CD⊥平面 A A1 B1B,所以 CD⊥AE,而已知有 AE⊥A1C,所以可得 AE⊥平面
A1CD.
(2) 由(1)可得 AE⊥A1D,所以△ABE∽△A1AD,从而可求出 BE 的长,而 CC1∥平面 A A1 B1B,
所以可得 C1 到平面 A A1 B1B 的距离等于 C 到平面 A A1 B1B 的距离,所以
1 1 1 1
1 1
3 2E A BC C A BEV V BE AB CD ,由此可得结果
【详解】(1)证明:因为 D 为 AB 的中点,AC=BC,
所以 CD⊥AB,
在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,A A1⊥平面 ABC,CD 在平面 ABC 内,
所以 A A1⊥CD,
因为 A A1∩AB=A,所以 CD⊥平面 A A1 B1B,
因为 AE 在平面 A A1 B1B 内,所以 CD⊥AE,
因为 AE⊥A1C,CD∩A1C= C,
所以 AE⊥平面 A1CD.
(2)由(1)知,AE⊥平面 A1CD,
又因为 A1D 在平面 A1CD 内,所以 AE⊥A1D,
所以△ABE∽△A1AD,所以 1A A AB
AD BE
,
所以
1
2
3
AB ADBE A A
,
因为 CC1∥BB1,CC1 在平面 A A1 B1B 外,BB1 在平面 A A1 B1B 内,
所以 CC1∥平面 A A1 B1B,
所以 C1 到平面 A A1 B1B 的距离等于 C 到平面 A A1 B1B 的距离,
所以
1 1 1 1
1 1 1 2 2 32 33 2 6 3 9E A BC C A BEV V BE AB CD ,
【点睛】此题考查了线面垂直的证明,求三棱锥的体积,考查空间想象能力和推理能力,考
查转化能力和计算能力,属于基础题.
20.直线 l 过点 P(0,b)且与抛物线 y2=2px(p>0)交于 A,B(A,B 都在 x 轴同侧)两点,
- 15 -
过 A,B 作 x 轴的垂线,垂足分别为 C,D.
(1)若 b>0,|AC|+|BD|=p,证明:l 的斜率为定值;
(2)若 Q(0,﹣b),设△QAB 的面积为 S1,梯形 ACDB 的面积为 S2,是否存在正整数λ,使
3S1=λS2 成立?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由,
【答案】(1)证明见解析;(2)存在,且 1 .
【解析】
【分析】
(1)设直线 l 方程是 ( 0)y kx b k ,设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,由|AC|+|BD|= 1 2y y p ,
直线方程与抛物线方程联立 消去 x 后应用韦达定理可得;
(2)由(1)直线与抛物线相交得 10 2kb p ,计算 1 2,S S 并作比 1
2
S
S ,假设存在正整数 ,
使 1 23S S 成立,由此可得 的范围,在此范围内的只要有正整数即可得结论.
【详解】(1)证明:据题意设直线l 方程是 ( 0)y kx b k ,设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,
∵|AC|+|BD|=p,∴ 1 2y y p ,
由 2
,
2 ,
y kx b
y px
得 2 2 2 0ky py pb ,
∴ 1 2
2py y pk
,∴ 2k ,即 l 的斜率为定值;
(2)由(1) 24 8 0p pkb ,即 10 2kb p ,
∵点Q 到直线l 的距离
2
2
1
bd
k
,且 2
1 21AB k x x ,
∴ 1 1 2
1
2S AB d b x x ,
2 1 2 1 2 1 2
1 1( ) ,2 2
pS AC BD CD y y x x x xk
∴ 1
2
k b kbS kb
S p p p
,
∵ 10 2kb p ,∴ 10 2
kb
p
,
- 16 -
假设存在正整数 ,使 1 23S S 成立,则 10 3 2
,
∴ 30 2
.
∴存在正整数 1 ,使 1 23S S 成立.
【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题,考查抛物线中的定值问题,存在性问题.解题方
法是“设而不求”的思想方法,设直线方程,设交点坐标 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,直线方程与抛
物线方程联立消元应用韦达定理,把韦达定理所得结论代入其他条件求解.
21.已知函数 cos 3xf x ae x 的图象在点 0, 0f 处的切线与直线 0x y 垂直.
(1)判断 f x 的零点的个数,并说明理由;
(2)证明: 1f x x 对 0,x 恒成立.
【答案】(1)1,理由见解析;(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)由题意可得 ' 0 1f ,从而可求出 1a ,当 0x 时,可判断出 0f x ,所以函数
无零点,当 0x 时,可判断 ' 0f x ,从而可知函数 f x 在 0, 上单调递增,然后由
零点存在性定理可得 f x 在 0, 上存在唯一的零点.
(2)要证 1f x x 对 0,x 恒成立,只要证明函数 1g x f x x 在 0,
的最小值大于零,然后利用导数求函数 g x 的最小值.
【详解】(1)解: ' sinxf x ae x , ' 0 1 1f a ,则 1a .
当 0x 时, 0 1xe , 1 cos 1x ,则 0f x ,此时 f x 无零点;
当 0x 时, e 1x , 1 sin 1x , ' sin 0xf x e x ,
所以 f x 在 0, 上单调递增.
因为 0 0f , 2 0f ,
所以 f x 在 0, 上存在唯一的零点.
- 17 -
综上, f x 的零点的个数为 1.
(2)证明:设函数 1 cos 2 0xg x f x x e x x x ,
则 ' 1 sinxg x e x ,设 'h x g x ,则 ' cosxh x e x .
因为 0x ,所以 e 1x , 1 cos 1x ,所以 ' 0h x ,
则 h x 在 0, 上单调递增,则 0 0h x h ,
即 ' 0g x ,从而 g x 在 0, 上单调递增,
于是 0 0g x g ,
故 1 0f x x ,即 1f x x 对 0, 恒成立.
【点睛】此题考查了导数的几何意义,利用导数判断函数的零点,利用导数证明不等式恒成
立问题,考查了数学转化思想和计算能力,属于中档题.
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一
题计分
22.在极坐标系中,曲线C 由圆 M 与圆 N 构成,圆 M 与圆 N 的极坐标方程为 2cos ,
6cos ,直线 l 的极坐标方程为 sin cos 4 0k k .
(1)求圆 M 与圆 N 的圆心距;
(2)若直线 l 与曲线C 恰有 2 个公共点,求 k 的取值范围.
【答案】(1) 4 ;(2) 2 3 10,4 20
.
【解析】
【分析】
(1)将圆 M 与圆 N 的极坐标方程化为直角坐标方程,求出两圆圆心的直角坐标,然后利用
两点间的距离公式可计算出圆 M 与圆 N 的圆心距;
(2)分别求得当直线 l 与圆 M 、圆 N 相切时直线 l 的斜率 k 的值,数形结合可求得当直线 l 与
曲线C 恰有 2 个公共点时,实数 k 的取值范围.
【详解】(1)以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系 xOy .
由 2cos ,得 2 2 cos ,则 2 2 2x y x ,即 2 21 1x y ,
- 18 -
所以圆 M 的圆心的直角坐标为 1,0M .
由 6cos ,得 2 6 cos ,则 2 2 6x y x ,即 2 23 9x y ,
所以圆 N 的圆心的直角坐标为 3,0N .
故圆 M 与圆 N 的圆心距 1 3 4MN ;
(2)因为直线l 的极坐标方程为 sin cos 4k ,
所以直线 l 的直角坐标方程为 4y k x .
当直线l 与圆 M 相切时,
2
3 1
1
k
k
,又 0k ,所以 2
4k ;
当直线l 与圆 N 相切时,
2
7 3
1
k
k
,又 0k ,所以 3 10
20k .
由图象可知,当直线l 与曲线C 恰有 2 个公共点时, k 的取值范围为 2 3 10,4 20
.
【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的相互转化,同时也考查了利用直线与两圆的
公共点个数求参数,考查数形结合思想的应用,属于中等题.
23.已知函数 1 2f x x x .
(1)求不等式 8f x 的解集;
(2)若直线 y kx 与曲线 y f x 仅有1个公共点,求 k 的取值范围.
- 19 -
【答案】(1) 3,3 ;(2) , 3 2,2 3, .
【解析】
【分析】
(1)分 1x 、 1 0x ≤ ≤ 、 0 1x 、 1x 解不等式 8f x ,综合可得出该不等式
的解集;
(2)作出函数 y f x 与 y kx 的图象,数形结合可求得实数 k 的取值范围.
【详解】(1)当 1x 时, 3 1 8f x x ,解得 3 1x ;
当 1 0x ≤ ≤ 时, 1 8f x x 恒成立,则 1 0x ≤ ≤ ;
当 0 1x 时, 1 8f x x 恒成立,则 0 1x ;
当 1x 时, 3 1 8f x x ,解得1 3x .
故不等式 8f x 的解集为 3,3 ;
(2)作出函数 y f x (实线)与 y kx (虚线)的图象,如图所示:
直线 y kx 过原点,当此直线经过点 1,2 时, 2k ;
当此直线与直线 3 1y x 平行时, 3k .
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结合 y f x 的图象的对称性,可得 k 的取值范围为 , 3 2,2 3, .
【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解,同时也考查了利用两函数图象的交点个数求参数
的取值范围,考查分类讨论思想以及数形结合思想的应用,属于中等题.
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