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- 2021-06-16 发布
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2017 天津市高考压轴卷
理科数学
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)
1.设常数 a R ,集合 { | ( 1)( ) 0}, { | 1}A x x x a B x x a ,若 A B R ,则 a 的
取值范围为( )
(A) ( ,2) (B) ( ,2] (C) (2, ) (D) [2, )
2.函数 2lnf x x 的图像与函数 2 4 5g x x x 的图像的交点个数为
A.3 B.2 C.1 D.0
3.某学校有男、女学生各 500 名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差
异,拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是
A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法
4.已知 0 4
,则双曲线
2 2
1 2 2: 1cos sin
x yC 与
2 2
2 2 2 2: 1sin sin tan
y xC 的( )
A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D. 离心率相等
5.已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的 1
2
, 则其体积缩小到原来的 1
8
;
②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;
③直线 x + y + 1 = 0 与圆 2 2 1
2x y 相切.
其中真命题的序号是:
(A) ①②③ (B) ①②
(C) ②③ (D) ②③
6.执行如图所示的程序框图,若输入 10,n S 则输出的
A. 5
11
B.10
11
C. 36
55
D. 72
55
7.某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,
数据的分组一次为 20,40 , 40,60 , 60,80 ,8 20,100 .
若低于 60 分的人数是 15 人,则该班的学生人数是
(A) 45 (B)50
(C)55 (D) 60
8.设函数
2
2 2 , 2 , 0,8
xe ef x x f x xf x f x f xx
满足 则 时,
(A)有极大值,无极小值 (B)有极小值,无极大值
(C)既有极大值又有极小值 (D)既无极大值也无极小值
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9.设 m R , 2 22 ( 1)im m m 是纯虚数,其中 i 是虚数单位,则 ________m
10.12.若 2
0
9,
T
x dx T 则常数 的值为
11.设常数 a R ,若
5
2 ax x
的二项展开式中 7x 项的系数为 10 ,则 ______a
12.如图,圆 O 上一点 C 在直线 AB 上的射影为 D ,点 D 在半径 OC 上的射影为 E 。若
3AB AD ,则
CE
EO 的值为 。
13.已知等比数列 1 3n n na S a n a a是递增数列, 是 的前 项和.若 , 是方程
2
65 4 0x x S 的两个根,则 .
14 . 设 1 2,F F 是 双 曲 线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的 两 个 焦 点 , P 是 C 上 一 点 , 若
21 6 ,PF PF a 且 1 2PF F 的最小内角为30 ,则 C 的离心率为___。
三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.
15.(本小题满分 13 分)
已知函数 2( ) sin( ) cos( ). ( ) 2sin6 3 2
xf x x x g x 。
(I)若 是第一象限角,且 3 3( ) 5f 。求 ( )g 的值;
(II)求使 ( ) ( )f x g x 成立的 x 的取值集合。
16. (本小题满分 13 分)
如图, AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于 ,A B 的点,直线 PC 平面 ABC , E , F 分
别是 PA, PC 的中点。
(I)记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为l ,试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系,并加以证
明;
(II)设(I)中的直线 l 与圆O 的另一个交点为 D ,且点Q 满足 1
2DQ CP 。记直线 PQ 与
平面 ABC 所成的角为 ,异面直线 PQ 与 EF 所成的角为 ,二面角 E l C 的大小为 ,
求证:sin sin sin 。
17. (本小题满分 13 分)
一个盒子里装有 7 张卡片, 其中有红色卡片 4 张, 编号分别为 1, 2, 3, 4; 白色卡片 3 张, 编
号分别为 2, 3, 4. 从盒子中任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).
(Ⅰ) 求取出的 4 张卡片中, 含有编号为 3 的卡片的概率.
(Ⅱ) 再取出的 4 张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为 X, 求随机变量 X 的分布列和数学期
望.
18. (本小题满分 13 分)
已知等比数列 na 满足: 2 3 10a a , 1 2 3 125a a a 。
(I)求数列 na 的通项公式;
(II)是否存在正整数 m ,使得 1 2
1 1 1 1
ma a a
?若存在,求 m 的最小值;若不存在,
说明理由。
19. (本小题满分 14 分)
设椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左焦点为 F, 离心率为 3
3
, 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆
截得的线段长为 4 3
3
.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若
· · 8AC DB AD CB , 求 k 的值.
20.(本小题满分 14 分)
已知函数
3
21 , 1 2 cos . 0,12
e x xf x x g x ax x x x 当 时,
(I)求证: 11- ;1x f x x
(II)若 f x g x 恒成立, a求实数 的 取值范围.
试卷答案
1.B 2.B 3.D 4.D
双曲线 1C 的离心率是 1
1
cose ,双曲线 2C 的离心率是 2 2
2
sin 1 tan 1
sin cose
,
故选 D
5.C 6.A 7.B 8.D
9.-2 10.3 11.-2 12.由射影定理知
2
2 22 8
1
2
AD AB ADCE CD AD BD
EO OD OA AD AB AD
13.63 14. 3
15.
16.(I) EF AC , AC ABC 平面 , EF ABC 平面
EF ABC 平面
又 EF BEF 平面
EF l
l PAC 平面
(II)连接 DF,用几何方法很快就可以得到求证。(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻
烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦。个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方
向有很大的偏差。)
17.
18(I)由已知条件得: 2 5a ,又 2 1 10a q , 1 3q 或 ,
所以数列 na 的通项或
25 3n
na
(II)若 1q , 1 2
1 1 1 1 05ma a a
或
,不存在这样的正整数 m ;
若 3q , 1 2
1 1 1 9 1 9110 3 10
m
ma a a
,不存在这样的正整数 m 。
19.
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