高中数学人教a必修5学业分层测评9等差数列的性质word版含解析 5页

学业分层测评（九） (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．(2015·汉口高二检测)下列说法中正确的是( ) A．若 a，b，c成等差数列，则 a2，b2，c2成等差数列 B．若 a，b，c成等差数列，则 log2a，log2b，log2c成等差数列 C．若 a，b，c成等差数列，则 a＋2，b＋2，c＋2成等差数列 D．若 a，b，c成等差数列，则 2a,2b,2c成等差数列 【解析】 不妨设 a＝1，b＝2，c＝3. A选项中，a2＝1，b2＝4，c2＝9，显然 a2，b2，c2不成等差数列． B选项中，log21＝0，log22＝1，log23>1，显然 log2a，log2b，log2c也不成等 差数列． C选项中，a＋2＝3，b＋2＝4，c＋2＝5，显然 a＋2，b＋2，c＋2成等差数 列． D选项中，2a＝2,2b＝4,2c＝8，显然 2a,2b,2c也不构成等差数列． 【答案】 C 2．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于 x的方程 x2＋(a4＋a6)x＋10 ＝0( ) A．无实根 B．有两个相等实根 C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根 【解析】 由于 a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，而 3a5＝9， ∴a5＝3，方程为 x2＋6x＋10＝0，无解． 【答案】 A 3．设{an}，{bn}都是等差数列，且 a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则 a37＋ b37＝( ) A．0 B．37 C．100 D．－37 【解析】 设 cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也是等差数 列，且 c1＝a1＋b1＝25＋75＝100， c2＝a2＋b2＝100， ∴{cn}的公差 d＝c2－c1＝0. ∴c37＝100. 【答案】 C 4．若{an}是等差数列，且 a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则 a3＋a6＋a9 ＝( ) A．39 B．20 C．19.5 D．33 【解析】 由等差数列的性质，得 a1＋a4＋a7＝3a4＝45， a2＋a5＋a8＝3a5＝39， a3＋a6＋a9＝3a6. 又 3a5×2＝3a4＋3a6， 解得 3a6＝33，即 a3＋a6＋a9＝33. 【答案】 D 5．目前农村电子商务发展取得了良好的进展，若某家农村网店从第一个月 起利润就成递增等差数列，且第 2 个月利润为 2 500 元，第 5个月利润为 4 000 元，第 m个月后该网店的利润超过 5 000元，则 m＝( ) A．6 B．7 C．8 D．10 【解析】 设该网店从第一月起每月的利润构成等差数列{an}，则 a2＝2 500， a5＝4 000. 由 a5＝a2＋3d，即 4 000＝2 500＋3d，得 d＝500. 由 am＝a2＋(m－2)×500＝5 000，得 m＝7. 【答案】 B 二、填空题 6．(2015·广东高考)在等差数列{an}中，若 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则 a2＋ a8＝ . 【解析】 因为等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，所以 5a5＝25， 即 a5＝5.所以 a2＋a8＝2a5＝10. 【答案】 10 7．若 m≠n，两个等差数列 m，a1，a2，n与 m，b1，b2，b3，n的公差分别 为 d1和 d2，则 d1 d2 的值为 ． 【解析】 n－m＝3d1，d1＝1 3 (n－m)． 又 n－m＝4d2，d2＝1 4 (n－m)． ∴ d1 d2 ＝ 1 3 n－m 1 4 n－m ＝ 4 3 . 【答案】 4 3 8．已知△ABC的一个内角为 120°，并且三边长构成公差为 4的等差数列， 则△ABC的面积为 ． 【解析】 不妨设角 A＝120°，c0， ∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4. [能力提升] 1．已知等差数列{an}满足 a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( ) A．a1＋a101>0 B．a2＋a101<0 C．a3＋a99＝0 D．a51＝51 【解析】 根据性质得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于 a1＋ a2＋a3＋…＋a101＝0，所以 a51＝0，又因为 a3＋a99＝2a51＝0，故选 C. 【答案】 C 2．(2016·郑州模拟)在等差数列{an}中，若 a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则 a9 － 1 3 a11的值为( ) A．14 B．15 C．16 D．17 【解析】 设公差为 d，∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120， ∴5a8＝120，a8＝24，∴a9－1 3 a11＝(a8＋d)－1 3 (a8＋3d)＝2 3 a8＝16. 【答案】 C 3．数列{an}中，a1＝1，a2＝2 3 ，且 1 an－1 ＋ 1 an＋1 ＝ 2 an ，则 an＝ . 【解析】 因为 1 an－1 ＋ 1 an＋1 ＝ 2 an ， 所以数列 1 an 为等差数列， 又 1 a1 ＝1， 公差 d＝ 1 a2 － 1 a1 ＝ 3 2 －1＝1 2 ， 所以通项公式 1 an ＝ 1 a1 ＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1 2 ＝ n＋1 2 ，所以 an＝ 2 n＋1 . 【答案】 2 n＋1 4．两个等差数列 5,8,11，…和 3,7,11，…都有 100项，那么它们共有多少相 同的项？ 【解】 设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{cn}，c1＝11， 又等差数列 5,8,11，…的通项公式为 an＝3n＋2， 等差数列 3,7,11，…的通项公式为 bn＝4n－1. 所以数列{cn}为等差数列，且公差 d＝12， ① 所以 cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1. 又 a100＝302，b100＝399，cn＝12n－1≤302， ② 得 n≤251 4 ，可见已知两数列共有 25个相同的项.