高中数学第二章2-3-1数学归纳法练习新人教B版选修2-2 6页

湖南省新田县第一中学高中数学 第二章 2.3.1 数学归纳法练习 新 人教 B 版选修 2-2 班级___________ 姓名___________学号___________ 1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1 对于 n≥n0 的自然数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0 应取( )． A．2 B．3 C．5 D．6 2．用数学归纳法证明等式 1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝ n＋3 n＋4 2 (n∈N＋)， 验证 n＝1 时，左边应取的项是( )． A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 3．设 f(n)＝1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋ 1 3n－1 (n∈N＋)，那么 f(n＋1)－f(n)等于( )． A. 1 3n＋2 B. 1 3n ＋ 1 3n＋1 C. 1 3n＋1 ＋ 1 3n＋2 D. 1 3n ＋ 1 3n＋1 ＋ 1 3n＋2 4．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从 n ＝k 到 n＝k＋1，左边增加的代数式为( )． A．2k＋1 B．2(2k＋1) C.2k＋1 k＋1 D.2k＋3 k＋1 5．用数学归纳法证明关于 n 的恒等式，当 n＝k 时，表达式为 1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1) ＝k(k＋1)2，则当 n＝k＋1 时，表达式为________． 6．记凸 k 边形的内角和为 f(k)，则凸 k＋1 边形的内角和 f(k＋1)＝f(k)＋________. 7．用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1·(n2＋n)时，从 n＝k 到 n＝k＋1 左边需要添加的因式是________． 8．用数学归纳法证明 12＋22＋…＋n2＝n n＋1 2n＋1 6 (n∈N*)． 9．已知正数数列{an}(n∈N*)中，前 n 项和为 Sn，且 2Sn＝an＋1 an，用数学归纳法证明：an＝ n － n－1. 1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1 对于 n≥n0 的自然数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0 应取 ( )． A．2 B．3 C．5 D．6 解析 当 n 取 1、2、3、4 时 2n>n2＋1 不成立，当 n＝5 时，25＝32>52＋1＝26，第一个 能使 2n>n2＋1 的 n 值为 5，故选 C. 答案 C 2．用数学归纳法证明等式 1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝ n＋3 n＋4 2 (n∈N＋)，验证 n＝1 时，左边应取的项是 ( )． A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 解析 等式左边的数是从 1 加到 n＋3. 当 n＝1 时，n＋3＝4，故此时左边的数为从 1 加到 4. 答案 D 3．设 f(n)＝1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋ 1 3n－1 (n∈N＋)，那么 f(n＋1)－f(n)等于 ( )． A. 1 3n＋2 B. 1 3n ＋ 1 3n＋1 C. 1 3n＋1 ＋ 1 3n＋2 D. 1 3n ＋ 1 3n＋1 ＋ 1 3n＋2 解析 ∵f(n)＝1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋ 1 3n－1 ， ∵f(n＋1)＝1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋ 1 3n－1 ＋ 1 3n ＋ 1 3n＋1 ＋ 1 3n＋2 ， ∴f(n＋1)－f(n)＝ 1 3n ＋ 1 3n＋1 ＋ 1 3n＋2 . 答案 D 4．用数学归纳法证明关于 n 的恒等式，当 n＝k 时，表达式为 1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1) ＝k(k＋1)2，则当 n＝k＋1 时，表达式为________． 答案 1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2 5．记凸 k 边形的内角和为 f(k)，则凸 k＋1 边形的内角和 f(k＋1)＝f(k)＋________. 解析 由凸 k 边形变为凸 k＋1 边形时，增加了一个三角形图形，故 f(k＋1)＝f(k)＋ π. 答案 π 6．用数学归纳法证明： 1 1×2 ＋ 1 3×4 ＋…＋ 1 2n－1· 2n ＝ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 n＋n . 证明 (1)当 n＝1 时，左边＝ 1 1×2 ＝1 2 ，右边＝1 2 ，等式成立． (2)假设当 n＝k(k∈N*)时，等式成立，即 1 1×2 ＋ 1 3×4 ＋…＋ 1 2k－1· 2k ＝ 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋…＋ 1 2k . 则当 n＝k＋1 时， 1 1×2 ＋ 1 3×4 ＋…＋ 1 2k－1· 2k ＋ 1 2k＋1 2k＋2 ＝ 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋…＋ 1 2k ＋ 1 2k＋1 2k＋2 ＝ 1 k＋2 ＋ 1 k＋3 ＋…＋ 1 2k ＋ 1 2k＋1 － 1 2k＋2 ＋ 1 k＋1 ＝ 1 k＋2 ＋ 1 k＋3 ＋…＋ 1 2k ＋ 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋2 ＝ 1 k＋1 ＋1 ＋ 1 k＋1 ＋2 ＋…＋ 1 k＋1 ＋k ＋ 1 k＋1 ＋ k＋1 .即当 n＝k＋1 时，等式成立． 根据(1)(2)可知，对一切 n∈N*，等式成立． 综合提高 限时 25 分钟 7．若命题 A(n)(n∈N*)在 n＝k(k∈N*)时命题成立，则有 n＝k＋1 时命题成立．现知命题对 n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有 ( )． A．命题对所有正整数都成立 B．命题对小于 n0 的正整数不成立，对大于或等于 n0 的正整数都成立 C．命题对小于 n0 的正整数成立与否不能确定，对大于或等于 n0 的正整数都成立 D．以上说法都不正确 解析 由已知得 n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有 n＝n0＋1 时命题成立；在 n＝n0＋1 时 命题成立的前提下，又可推得 n＝(n0＋1)＋1 时命题也成立，依此类推，可知选 C. 答案 C 8．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从 n ＝k 到 n＝k＋1，左边增加的代数式为 ( )． A．2k＋1 B．2(2k＋1) C.2k＋1 k＋1 D.2k＋3 k＋1 解析 n＝k 时，左边＝(k＋1)(k＋2)…(2k)；n＝k＋1 时，左边＝(k＋2)(k＋3)…(2k ＋2)＝2(k＋1)(k＋2)…(2k)(2k＋1)，故选 B. 答案 B 9 ． 分 析 下 述 证 明 2 ＋ 4 ＋ … ＋ 2n ＝ n2 ＋ n ＋ 1(n ∈ N ＋ ) 的 过 程 中 的 错 误 ： __________________. 证明 假设当 n＝k(k∈N＋)时等式成立，即 2＋4＋…＋2k＝k2＋k＋1，那么 2＋4＋…＋ 2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1，即当 n＝k＋1 时等式也成 立．因此对于任何 n∈N＋等式都成立． 答案 缺少步骤归纳奠基，实际上当 n＝1 时等式不成立 10．用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1·(n2＋n)时，从 n＝k 到 n＝k＋1 左边需要添加的因式是________． 解析 当 n＝k 时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)， 当 n＝k＋1 时， 左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)(k＋1＋k＋1)， 由 k 到 k＋1 需添加的因式为：(2k＋2)． 答案 2k＋2 11．用数学归纳法证明 12＋22＋…＋n2＝n n＋1 2n＋1 6 (n∈N*)． 证明 (1)当 n＝1 时，左边＝12＝1， 右边＝1× 1＋1× 2×1＋1 6 ＝1， 等式成立． (2)假设当 n＝k(k∈N*)时等式成立，即 12＋22＋…＋k2＝k k＋1 2k＋1 6 那么， 12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2 ＝k k＋1 2k＋1 6 ＋(k＋1)2 ＝k k＋1 2k＋1 ＋6 k＋1 2 6 ＝ k＋1 2k2＋7k＋6 6 ＝ k＋1 k＋2 2k＋3 6 ＝ k＋1 [ k＋1 ＋1][2 k＋1 ＋1] 6 ， 即当 n＝k＋1 时等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任何 n∈N*都成立． 12．(创新拓展)已知正数数列{an}(n∈N*)中，前 n 项和为 Sn，且 2Sn＝an＋1 an，用数学归纳法 证明：an＝ n－ n－1. 证明 (1)当 n＝1 时． a1＝S1＝1 2 a1＋1 a1 ， ∴a2 1＝1(an>0)， ∴a1＝1，又 1－ 0＝1， ∴n＝1 时，结论成立． (2)假设 n＝k(k∈N*)时，结论成立， 即 ak＝ k－ k－1. 当 n＝k＋1 时， ak＋1＝Sk＋1－Sk ＝1 2 ak＋1＋ 1 ak＋1 －1 2 ak＋1 ak ＝1 2 ak＋1＋ 1 ak＋1 －1 2 k－ k－1＋ 1 k－ k－1 ＝1 2 ak＋1＋ 1 ak＋1 － k ∴a2 k＋1＋2 kak＋1－1＝0，解得 ak＋1＝ k＋1－ k(an>0)， ∴n＝k＋1 时，结论成立． 由(1)(2)可知，对 n∈N*都有 an＝ n－ n－1.