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- 2021-06-16 发布
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课后提升作业 二十九
空间直角坐标系
(45 分钟 70 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)
1.点 P(0,1,4)位于 ( )
A.y 轴上 B.x 轴上
C.xOz 平面内 D.yOz 平面内
【解题指南】根据点 P 的横坐标、纵坐标、竖坐标的特点来判断.
【解析】选 D.因为点 P 的横坐标为 0,纵坐标与竖坐标不为 0,所以点
P 位于 yOz 平面内.
2.在空间直角坐标系中,P(2,3,4),Q(-2,-3,-4)两点的位置关系
是 ( )
A.关于 x 轴对称 B.关于 yOz 平面对称
C.关于坐标原点对称 D.以上都不对
【解析】选 C.三坐标均相反时,两点关于原点对称.
3.点 P(2,-3,1)关于坐标原点的对称点是 ( )
A.(-2,-3,-1) B.(-2,3,-1)
C.(2,-3,-1) D.(-2,3,1)
【解析】选 B.点 P(2,-3,1)关于坐标原点的对称点是(-2,3,-1).
4.已知点 A(1,-3,4),则点 A 关于 y 轴的对称点的坐标为 ( )
A.(-1,-3,-4) B.(-4,1,-3)
C.(3,-1,-4) D.(4,-1,3)
【解析】选 A.关于 y 轴的对称点的坐标的特点是横坐标、竖坐标是原来
的相反数,纵坐标不变.
5.已知点 A(-3,1,5)与点 B(3,1,-5),则 AB 的中点位于 ( )
A.y 轴上 B.x 轴上
C.xOy 平面内 D.yOz 平面内
【解析】选 A.因为 AB 的中点为(0,1,0),故 AB 的中点位于 y 轴上.
6.如图,在正方体 ABCD-A′B′C′D′中,棱长为 1,|BP|=|BD′|,则
P 点的坐标为 ( ).Com]
A. B.
C. D.
【解析】选 D.连接 BD,点 P 在 xDy 平面的射影落在 BD 上,
因为|BP|=|BD′|,所以 Px=Py=,Pz=,
故 P .
7.(2016·广州高一检测)在空间直角坐标系中,点 P 的坐标为(1, ,
),过点 P 作 yOz 平面的垂线 PQ,则垂足 Q 的坐标是 ( )
A.(0, , ) B.( ,0, )
C.( , ,0) D.(1, , )
【解题指南】过点 P 作 yOz 平面的垂线 PQ,则垂足 Q 即为点 P 在平面
yOz 内的投影,故横坐标为零,纵坐标和竖坐标与点 P 的一致.
【解析】选 A.过点 P 作 yOz 平面的垂线 PQ,则垂足 Q 即为点 P 在平面
yOz 内的投影,此时横坐标为零,纵坐标和竖坐标与点 P 的相等,故 Q
的坐标是(0, , ).
8.(2016·济南高一检测)在如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 中,一个
四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,
2).给出编号为①②③④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别
为 ( )
A.①和② B.③和①
C.④和③ D.④和②
【解析】选 D.由三视图可知,该几何体的正视图是一个直角三角形,三
个顶点的坐标分别是(0,0,2),(0,2,0),(0,2,2)且内有一虚线(一
顶点与另一直角边中点的连线),故正视图是④;俯视图即在底面的射
影是一个斜三角形,三个顶点的坐标分别是(0,0,0),(2,2,0),(1,
2,0),故俯视图是②.
二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
9.如图所示,在长方体 OABC-O1A1B1C1 中,OA=2,AB=3,AA1=2,M 是 OB1
与 BO1 的交点,则 M 点的坐标是________.
【解析】因为 OA=2,AB=3,AA1=2,
所以 A(2,0,0),A1(2,0,2),B(2,3,0),故 B1(2,3,2).
所以 M 点的坐标为 ,即 M .
答案:
【误区警示】解答本题时要注意根据给定的线段长度,正确确定各个顶
点的坐标,才能求出点 M 的坐标.
10.已知点 M 到三个坐标平面的距离都是 1,且点 M 的三个坐标同号,则
点 M 的坐标为________________.
【解析】分别过点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)作与平面 yOz,平
面 zOx,平面 xOy 平行的平面,三个平面的交点即为 M 点,其坐标为(1,
1,1).或过点(-1,0,0),(0,-1,0),(0,0,-1)作与平面 yOz,平
面 zOx,平面 xOy 平行的平面,三个平面的交点即为 M 点,其坐标为(-1,
-1,-1).
答案:(1,1,1)或(-1,-1,-1)
【延伸探究】本题点 M 到三个坐标平面的距离不变,去掉“三个坐标同
号”的条件,答案又是什么?
【解析】共八个,坐标分别为(1,1,1),(-1,1,1),(1,-1,1),
(-1,-1,1),(1,1,-1),(-1,1,-1),(1,-1,-1),(-1,-1,-1).
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
11.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,E,F,G 分别是 DD1,BD,BB1 的中点,且
正方体棱长为 1.请建立适当的坐标系,写出正方体各顶点及 E,F,G
的坐标.
【解析】(答案不唯一)如图所示,建立空间直角坐标系,则 A(1,0,0),
B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),
C1(0,1,1),D1(0,0,1),E ,F ,G .
12.(1)在空间直角坐标系中画出下列各点(不写画法,保留作图痕迹):
A(0,1,1),B(1,0,2),C(1,2,3).
(2)已知正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 4,侧棱长为 10,试建立适当的
空间直角坐标系,写出 PB 中点的坐标.
【解析】(1)如图所示.
(2)(答案不唯一)因为正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 4,侧棱长为 10,
可求得正四棱锥的高为 2 .
以正四棱锥的底面中心为原点,
平行于 BC,AB 所在的直线分别为 x 轴、y 轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则点 B,P 的坐标分别为 B(2,2,0),P(0,0,2 ).
故 PB 的中点坐标为(1,1, ).
【能力挑战题】
如图,有一个棱长为 1 的正方体 ABCD -A1B1C1D1,以点 D 为坐标原点,分
别以射线 DA,DC,DD1 的方向为正方向,建立 x 轴,y 轴,z 轴,从而建
立起一个空间直角坐标系 Oxyz,一只小蚂蚁从点 A 出发,不返回地沿着
棱爬行了 2 个单位长.请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么位置.
【解题指南】小蚂蚁爬行的方向不同,位置也不同,故要分类讨论.
【解析】小蚂蚁沿着 A-B-C 或 A-B-B1 或 A-D-C 或 A-D-D1 或 A-A1-B1 或
A-A1-D1 任一条路线爬行,其终点为点 C 或 B1 或 D1.点 C 在 y 轴上,且 DC=1,
则其 y 坐标为 1,x 坐标与 z 坐标均为 0,
所以点 C 的坐标是(0,1,0);
同理可知 D1 的坐标是(0,0,1);
点 B1 在 xOy 平面上的射影是 B,点 B 在 xOy 平面上,坐标是(1,1,0),
且 B1B=1,则 B1 的 z 坐标为 1,所以点 B1 的坐标是(1,1,1).
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