高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8_5直线、平面垂直的判定与性质教师用书理新人教版 21页

第八章 立体几何与空间向量 8.5 直线、平面垂直的判定与性质教师 用书 理 新人教版 1．直线与平面垂直 (1)定义 如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线 l 与平面α垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的 两条相交直线都垂直，则 该直线与此平面垂直 a，b⊂α a∩b＝O l⊥a l⊥b ⇒ l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条 直线平行 a⊥α b⊥α ⇒a∥b 2.直线和平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一 条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成 的角是 0°的角． (2)范围：[0， π 2 ]． 3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直 于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． (2)平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂 线，则这两个平面垂直 l⊥α l⊂β ⇒ α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内 垂直于交线的直线与另一个平 面垂直 α⊥β l⊂β α∩β＝a l⊥a ⇒l⊥α 【知识拓展】 重要结论： (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一 个重要方法)． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线 l 与平面α内的无数条直线都垂直，则 l⊥α.( × ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．( × ) (3)直线 a⊥α，b⊥α，则 a∥b.( √ ) (4)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.( × ) (5)若直线 a⊥平面α，直线 b∥α，则直线 a与 b垂直．( √ ) 1．(教材改编)下列命题中不正确的是( ) A．如果平面α⊥平面β，且直线 l∥平面α，则直线 l⊥平面β B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么 l⊥γ 答案 A 解析 根据面面垂直的性质，知 A 不正确，直线 l可能平行平面β，也可能在平面β内． 2．设平面α与平面β相交于直线 m，直线 a 在平面α内，直线 b 在平面β内，且 b⊥m，则 “α⊥β”是“a⊥b”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得 b⊥α，又 a⊂α，所以 a⊥b；反过来，当 a∥m 时，因为 b⊥m，且 a，m 共面，一定有 b⊥a， 但不能保证 b⊥α，所以不能推出α⊥β. 3．(2017·宝鸡质检)对于四面体 ABCD，给出下列四个命题： ①若 AB＝AC，BD＝CD，则 BC⊥AD； ②若 AB＝CD，AC＝BD，则 BC⊥AD； ③若 AB⊥AC，BD⊥CD，则 BC⊥AD； ④若 AB⊥CD，AC⊥BD，则 BC⊥AD. 其中为真命题的是( ) A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 答案 D 解析 ①如图，取 BC 的中点 M，连接 AM，DM，由 AB＝AC⇒AM⊥BC，同理 DM⊥BC⇒BC⊥平面 AMD， 而 AD⊂平面 AMD，故 BC⊥AD.④设 A 在平面 BCD 内的射影为 O，连接 BO，CO，DO，由 AB⊥CD ⇒BO⊥CD，由 AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O 为△BCD 的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC. 4．(2016·济南模拟)如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，MD⊥平面 ABCD，NB⊥平面 ABCD， 且 MD＝NB＝1，G 为 MC 的中点．则下列结论中不正确的是( ) A．MC⊥AN B．GB∥平面 AMN C．平面 CMN⊥平面 AMN D．平面 DCM∥平面 ABN 答案 C 解析 显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中(如图)， 取 AN 的中点 H，连接 HB，MH，GB，则 MC∥HB，又 HB⊥AN，所以 MC⊥AN，所以 A正确；由题 意易得 GB∥MH，又 GB⊄ 平面 AMN， MH⊂平面 AMN，所以 GB∥平面 AMN，所以 B 正确；因为 AB∥CD，DM∥BN，且 AB∩BN＝B，CD∩DM ＝D，所以平面 DCM∥平面 ABN，所以 D 正确． 5．(教材改编)在三棱锥 P－ABC 中，点 P在平面 ABC 中的射影为点 O. (1)若 PA＝PB＝PC，则点 O是△ABC 的________心． (2)若 PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点 O是△ABC 的________心． 答案 (1)外 (2)垂 解析 (1)如图 1，连接 OA，OB，OC，OP， 在 Rt△POA、Rt△POB 和 Rt△POC 中，PA＝PC＝PB， 所以 OA＝OB＝OC，即 O为△ABC 的外心． (2)如图 2，延长 AO，BO，CO 分别交 BC，AC，AB 于 H，D，G. ∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P， ∴PC⊥平面 PAB，AB⊂平面 PAB，∴PC⊥AB， 又 AB⊥PO，PO∩PC＝P， ∴AB⊥平面 PGC， 又 CG⊂平面 PGC， ∴AB⊥CG，即 CG 为△ABC 边 AB 的高． 同理可证 BD，AH 为△ABC 底边上的高， 即 O为△ABC 的垂心． 题型一 直线与平面垂直的判定与性质 例 1 (2016·全国甲卷改编)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB＝5，AC＝6， 点 E，F 分别在 AD，CD 上，AE＝CF＝ 5 4 ，EF 交 BD 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△D′EF 的位置．OD′ ＝ 10. 证明：D′H⊥平面 ABCD. 证明 由已知得 AC⊥BD，AD＝CD. 又由 AE＝CF 得 AE AD ＝ CF CD ，故 AC∥EF. 因此 EF⊥HD，从而 EF⊥D′H. 由 AB＝5，AC＝6 得 DO＝BO＝ AB2 －AO2 ＝4. 由 EF∥AC 得 OH DO ＝ AE AD ＝ 1 4 . 所以 OH＝1，D′H＝DH＝3. 于是 D′H2 ＋OH2 ＝3 2 ＋1 2 ＝10＝D′O2 ，故 D′H⊥OH. 又 D′H⊥EF，而 OH∩EF＝H，且 OH，EF⊂平面 ABCD， 所以 D′H⊥平面 ABCD. 思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒ b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质． (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判 定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． (2015·江苏)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 AC⊥BC，BC＝CC1.设 AB1的中 点为 D，B1C∩BC1＝E. 求证：(1)DE∥平面 AA1C1C； (2)BC1⊥AB1. 证明 (1)由题意知，E为 B1C 的中点， 又 D为 AB1的中点，因此 DE∥AC. 又因为 DE⊄ 平面 AA1C1C，AC⊂平面 AA1C1C， 所以 DE∥平面 AA1C1C. (2)因为棱柱 ABCA1B1C1是直三棱柱， 所以 CC1⊥平面 ABC. 因为 AC⊂平面 ABC， 所以 AC⊥CC1. 又因为 AC⊥BC，CC1⊂平面 BCC1B1， BC⊂平面 BCC1B1，BC∩CC1＝C， 所以 AC⊥平面 BCC1B1. 又因为 BC1⊂平面 BCC1B1， 所以 BC1⊥AC. 因为 BC＝CC1，所以矩形 BCC1B1是正方形， 因此 BC1⊥B1C. 因为 AC，B1C⊂平面 B1AC，AC∩B1C＝C， 所以 BC1⊥平面 B1AC. 又因为 AB1⊂平面 B1AC， 所以 BC1⊥AB1. 题型二 平面与平面垂直的判定与性质 例 2 如图，四棱锥 P－ABCD 中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N 分别 为 PB，AB，BC，PD，PC 的中点． (1)求证：CE∥平面 PAD； (2)求证：平面 EFG⊥平面 EMN. 证明 (1)方法一 取 PA 的中点 H，连接 EH，DH. 又 E 为 PB 的中点， 所以 EH 綊 1 2 AB. 又 CD 綊 1 2 AB， 所以 EH 綊 CD. 所以四边形 DCEH 是平行四边形，所以 CE∥DH. 又 DH⊂平面 PAD，CE⊄ 平面 PAD. 所以 CE∥平面 PAD. 方法二 连接 CF. 因为 F 为 AB 的中点， 所以 AF＝ 1 2 AB. 又 CD＝ 1 2 AB，所以 AF＝CD. 又 AF∥CD，所以四边形 AFCD 为平行四边形． 因此 CF∥AD，又 CF⊄ 平面 PAD，AD⊂平面 PAD， 所以 CF∥平面 PAD. 因为 E，F 分别为 PB，AB 的中点，所以 EF∥PA. 又 EF⊄ 平面 PAD，PA⊂平面 PAD， 所以 EF∥平面 PAD. 因为 CF∩EF＝F，故平面 CEF∥平面 PAD. 又 CE⊂平面 CEF，所以 CE∥平面 PAD. (2)因为 E、F分别为 PB、AB 的中点，所以 EF∥PA. 又因为 AB⊥PA， 所以 EF⊥AB，同理可证 AB⊥FG. 又因为 EF∩FG＝F，EF⊂平面 EFG，FG⊂平面 EFG. 所以 AB⊥平面 EFG. 又因为 M，N 分别为 PD，PC 的中点， 所以 MN∥CD，又 AB∥CD，所以 MN∥AB， 所以 MN⊥平面 EFG. 又因为 MN⊂平面 EMN，所以平面 EFG⊥平面 EMN. 引申探究 1．在本例条件下，证明：平面 EMN⊥平面 PAC. 证明 因为 AB⊥PA，AB⊥AC， 且 PA∩AC＝A，所以 AB⊥平面 PAC. 又 MN∥CD，CD∥AB，所以 MN∥AB， 所以 MN⊥平面 PAC. 又 MN⊂平面 EMN， 所以平面 EMN⊥平面 PAC. 2．在本例条件下，证明：平面 EFG∥平面 PAC. 证明 因为 E，F，G 分别为 PB，AB，BC 的中点， 所以 EF∥PA，FG∥AC， 又 EF⊄ 平面 PAC，PA⊂平面 PAC， 所以 EF∥平面 PAC. 同理，FG∥平面 PAC. 又 EF∩FG＝F， 所以平面 EFG∥平面 PAC. 思维升华 (1)判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)． (2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化． 在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． (2016·江苏)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1. 求证：(1)直线 DE∥平面 A1C1F； (2)平面 B1DE⊥平面 A1C1F. 证明 (1)由已知，DE 为△ABC 的中位线， ∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得 AC∥A1C1， ∴DE∥A1C1， 又∵DE⊄ 平面 A1C1F，A1C1⊂平面 A1C1F， ∴DE∥平面 A1C1F. (2)在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1⊥平面 A1B1C1， ∴AA1⊥A1C1， 又∵A1B1⊥A1C1，且 A1B1∩AA1＝A1， ∴A1C1⊥平面 ABB1A1， ∵B1D⊂平面 ABB1A1， ∴A1C1⊥B1D， 又∵A1F⊥B1D，且 A1F∩A1C1＝A1， ∴B1D⊥平面 A1C1F， 又∵B1D⊂平面 B1DE， ∴平面 B1DE⊥平面 A1C1F. 题型三 垂直关系中的探索性问题 例 3 如图，在三棱台 ABC－DEF 中，CF⊥平面 DEF，AB⊥BC. (1)设平面 ACE∩平面 DEF＝a，求证：DF∥a； (2)若 EF＝CF＝2BC，试问在线段 BE 上是否存在点 G，使得平面 DFG⊥平面 CDE？若存在，请 确定 G 点的位置；若不存在，请说明理由． (1)证明 在三棱台 ABC－DEF 中，AC∥DF，AC⊂平面 ACE，DF⊄ 平面 ACE，∴DF∥平面 ACE. 又∵DF⊂平面 DEF，平面 ACE∩平面 DEF＝a， ∴DF∥a. (2)解 线段 BE 上存在点 G，且 BG＝ 1 3 BE，使得平面 DFG⊥平面 CDE. 证明如下： 取 CE 的中点 O，连接 FO 并延长交 BE 于点 G， 连接 GD，GF， ∵CF＝EF，∴GF⊥CE. 在三棱台 ABC－DEF 中，AB⊥BC⇒DE⊥EF. 由 CF⊥平面 DEF⇒CF⊥DE. 又 CF∩EF＝F，∴DE⊥平面 CBEF，∴DE⊥GF. GF⊥CE GF⊥DE CE∩DE＝E ⇒GF⊥平面 CDE. 又 GF⊂平面 DFG，∴平面 DFG⊥平面 CDE. 此时，如平面图所示，延长 CB，FG 交于点 H， ∵O为 CE 的中点，EF＝CF＝2BC， 由平面几何知识易证△HOC≌△FOE， ∴HB＝BC＝ 1 2 EF. 由△HGB∽△FGE 可知 BG GE ＝ 1 2 ，即 BG＝ 1 3 BE. 思维升华 同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为 线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明． (2016·北京东城区模拟)如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1中，侧棱 AA1⊥底面 ABC， M 为棱 AC 的中点．AB＝BC，AC＝2，AA1＝ 2. (1)求证：B1C∥平面 A1BM； (2)求证：AC1⊥平面 A1BM； (3)在棱 BB1上是否存在点 N，使得平面 AC1N⊥平面 AA1C1C？如果存在，求此时 BN BB1 的值；如果 不存在，请说明理由． (1)证明 连接 AB1与 A1B，两线交于点 O，连接 OM， 在△B1AC 中，∵M，O 分别为 AC，AB1中点， ∴OM∥B1C， 又∵OM⊂平面 A1BM，B1C⊄ 平面 A1BM， ∴B1C∥平面 A1BM. (2)证明 ∵侧棱 AA1⊥底面 ABC，BM⊂平面 ABC， ∴AA1⊥BM， 又∵M 为棱 AC 中点，AB＝BC，∴BM⊥AC. ∵AA1∩AC＝A，∴BM⊥平面 ACC1A1， ∴BM⊥AC1. ∵AC＝2，∴AM＝1. 又∵AA1＝ 2，∴在 Rt△ACC1和 Rt△A1AM 中， tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝ 2. ∴∠AC1C＝∠A1MA， 即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°， ∴A1M⊥AC1. ∵BM∩A1M＝M，∴AC1⊥平面 A1BM. (3)解 当点 N 为 BB1中点，即 BN BB1 ＝ 1 2 时， 平面 AC1N⊥平面 AA1C1C. 证明如下： 设 AC1中点为 D，连接 DM，DN. ∵D，M 分别为 AC1，AC 中点， ∴DM∥CC1，且 DM＝ 1 2 CC1. 又∵N 为 BB1中点，∴DM∥BN，且 DM＝BN， ∴四边形 BNDM 为平行四边形， ∴BM∥DN， ∵BM⊥平面 ACC1A1，∴DN⊥平面 ACC1A1. 又∵DN⊂平面 AC1N，∴平面 AC1N⊥平面 AA1C1C. 17．立体几何证明问题中的转化思想 典例 (12 分)如图所示，M，N，K 分别是正方体 ABCD—A1B1C1D1的棱 AB，CD，C1D1的中点． 求证：(1)AN∥平面 A1MK； (2)平面 A1B1C⊥平面 A1MK. 思想方法指导 (1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相 互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理； (2)线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证 明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等； (3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范． 规范解答 证明 (1)如图所示，连接 NK. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1中， ∵四边形 AA1D1D，DD1C1C 都为正方形， ∴AA1∥DD1，AA1＝DD1， C1D1∥CD，C1D1＝CD.[2 分] ∵N，K 分别为 CD，C1D1的中点， ∴DN∥D1K，DN＝D1K， ∴四边形 DD1KN 为平行四边形，[3 分] ∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN， ∴四边形 AA1KN 为平行四边形，∴AN∥A1K.[4 分] ∵A1K⊂平面 A1MK，AN⊄ 平面 A1MK， ∴AN∥平面 A1MK.[6 分] (2)如图所示，连接 BC1.在正方体 ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1. ∵M，K 分别为 AB，C1D1的中点， ∴BM∥C1K，BM＝C1K， ∴四边形 BC1KM 为平行四边形，∴MK∥BC1.[8 分] 在正方体 ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面 BB1C1C， BC1⊂平面 BB1C1C，∴A1B1⊥BC1. ∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK. ∵四边形 BB1C1C 为正方形，∴BC1⊥B1C.[10 分] ∴MK⊥B1C. ∵A1B1⊂平面 A1B1C，B1C⊂平面 A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面 A1B1C. 又∵MK⊂平面 A1MK， ∴平面 A1B1C⊥平面 A1MK.[12 分] 1．若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线 l，则( ) A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α B．垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面α C．垂直于平面β的平面一定平行于直线 l D．垂直于直线 l 的平面一定与平面α，β都垂直 答案 D 解析 对于 A，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故 A错误； 对于 B，垂直于直线 l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故 B错误； 对于 C，垂直于平面β的平面与直线 l 平行或相交，故 C 错误；易知 D 正确． 2．设 m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则 m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，，则 m∥n C．若 m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若 m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β 答案 D 解析 A 中，m 与 n 可垂直、可异面、可平行；B 中，m与 n可平行、可异面；C中，若α∥β， 仍然满足 m⊥n，m⊂α，n⊂β，故 C错误；故选 D. 3．(2016·包头模拟)如图，三棱柱 ABC－A1B1C1中，侧棱 AA1垂直底面 A1B1C1，底面三角形 A1B1C1 是正三角形，E 是 BC 中点，则下列叙述正确的是( ) A．CC1与 B1E 是异面直线 B．AC⊥平面 ABB1A1 C．AE 与 B1C1是异面直线，且 AE⊥B1C1 D．A1C1∥平面 AB1E 答案 C 解析 A 不正确，因为 CC1与 B1E 在同一个侧面中，故不是异面直线；B 不正确，由题意知， 上底面 ABC 是一个正三角形，故不可能存在 AC⊥平面 ABB1A1；C 正确，因为 AE，B1C1为在两 个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D 不正确，因为 A1C1所在的平面与 平面 AB1E 相交，且 A1C1与交线有公共点，故 A1C1∥平面 AB1E 不正确，故选 C. 4．如图，以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂 直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： ①BD⊥AC； ②△BAC 是等边三角形； ③三棱锥 D－ABC 是正三棱锥； ④平面 ADC⊥平面 ABC. 其中正确的是( ) A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 答案 B 解析 由题意知，BD⊥平面 ADC，故 BD⊥AC，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边 BC 上的高， 平面 ABD⊥平面 ACD，所以 AB＝AC＝BC，△BAC 是等边三角形，②正确；易知 DA＝DB＝DC， 又由②知③正确；由①知④错．故选 B. 5.如图所示，直线 PA 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O，且 AB 为⊙O 的直径，点 M 为线段 PB 的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面 APC；③点 B 到平面 PAC 的距离等于线 段 BC 的长．其中正确的是( ) A．①② B．①②③ C．① D．②③ 答案 B 解析 对于①，∵PA⊥平面 ABC，∴PA⊥BC， ∵AB 为⊙O 的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面 PAC， 又 PC⊂平面 PAC，∴BC⊥PC； 对于②，∵点 M 为线段 PB 的中点，∴OM∥PA， ∵PA⊂平面 PAC，OM⊄ 平面 PAC，∴OM∥平面 PAC； 对于③，由①知 BC⊥平面 PAC，∴线段 BC 的长即是点 B 到平面 PAC 的距离，故①②③都正确． 6.如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面 ABC，则在△ABC 和△PAC 的边所在的直线中，与 PC 垂直的 直线有________；与 AP 垂直的直线有________． 答案 AB、BC、AC AB 解析 ∵PC⊥平面 ABC，∴PC 垂直于直线 AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥ 平面 PAC，∴与 AP 垂直的直线是 AB. 7.如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1中，侧棱长为 2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D 是 A1B1的中点， F 是 BB1上的动点，AB1，DF 交于点 E.要使 AB1⊥平面 C1DF，则线段 B1F 的长为________． 答案 1 2 解析 设 B1F＝x， 因为 AB1⊥平面 C1DF，DF⊂平面 C1DF， 所以 AB1⊥DF. 由已知可得 A1B1＝ 2， 设 Rt△AA1B1斜边 AB1上的高为 h， 则 DE＝ 1 2 h. 又 2× 2＝h 2 2 ＋ 2 2 ， 所以 h＝ 2 3 3 ，DE＝ 3 3 . 在 Rt△DB1E 中， B1E＝ 2 2 2 － 3 3 2 ＝ 6 6 . 由面积相等得 6 6 × x2 ＋ 2 2 2 ＝ 2 2 x， 得 x＝ 1 2 . 8.如图，PA⊥圆 O 所在的平面，AB 是圆 O 的直径，C 是圆 O上的一点，E，F 分别是点 A 在 PB， PC 上的射影，给出下列结论： ①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面 PBC. 其中正确结论的序号是________． 答案 ①②③ 解析 由题意知 PA⊥平面 ABC，∴PA⊥BC. 又 AC⊥BC，且 PA∩AC＝A， ∴BC⊥平面 PAC，∴BC⊥AF. ∵AF⊥PC，且 BC∩PC＝C， ∴AF⊥平面 PBC， ∴AF⊥PB，又 AE⊥PB，AE∩AF＝A， ∴PB⊥平面 AEF，∴PB⊥EF. 故①②③正确． 9．(2016·保定模拟)如图，在直二面角α－MN－β中，等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC⊂α， 一直角边 AC⊂β，BC 与β所成角的正弦值为 6 4 ，则 AB 与β所成的角是________． 答案 π 3 解析 如图所示，作 BH⊥MN 于点 H，连接 AH， 则 BH⊥β，∠BCH 为 BC 与β所成的角． ∵sin∠BCH＝ 6 4 ＝ BH BC ， 设 BC＝1，则 BH＝ 6 4 . ∵△ABC 为等腰直角三角形，∴AC＝AB＝ 2 2 ， ∴AB 与β所成的角为∠BAH. ∴sin∠BAH＝ BH AB ＝ 6 4 2 2 ＝ 3 2 ， ∴∠BAH＝ π 3 . 10．(2016·全国乙卷)如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，平面 ABEF 为正方 形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角 DAFE 与二面角 CBEF 都是 60°. (1)证明：平面 ABEF⊥EFDC； (2)求二面角 EBCA 的余弦值． (1)证明 由已知可得 AF⊥DF，AF⊥FE，DF∩FE＝F， 所以 AF⊥平面 EFDC， 又 AF⊂平面 ABEF， 故平面 ABEF⊥平面 EFDC. (2)解 过 D 作 DG⊥EF，垂足为 G， 由(1)知 DG⊥平面 ABEF.以 G 为坐标原点，GF → 的方向为 x轴正方向，|GF → |为单位长，建立如图 所示的空间直角坐标系 Gxyz.由(1)知∠DFE 为二面角 DAFE 的平面角，故∠DFE＝60°，则|DF| ＝2，|DG|＝ 3，可得 A(1,4,0)，B(－3,4,0)，E(－3,0,0)，D(0,0， 3)． 由已知，AB∥EF，AB⊄ 平面 EFDC，EF⊂平面 EFDC， 所以 AB∥平面 EFDC， 又平面 ABCD∩平面 EFDC＝CD， 故 AB∥CD，CD∥EF， 由 BE∥AF，可得 BE⊥平面 EFDC， 所以∠CEF 为二面角 CBEF 的平面角，∠CEF＝60°， 从而可得 C(－2,0， 3)． 所以EC → ＝(1,0， 3)，EB → ＝(0,4,0)，AC → ＝(－3，－4， 3)，AB → ＝(－4,0,0)． 设 n＝(x，y，z)是平面 BCE 的法向量，则 n·EC → ＝0， n·EB → ＝0， 即 x＋ 3z＝0， 4y＝0. 所以可取 n＝(3,0，－ 3)． 设 m是平面 ABCD 的法向量，则 m·AC → ＝0， m·AB → ＝0. 同理可取 m＝(0， 3，4)，则 cos〈n，m〉＝ n·m |n||m| ＝－ 2 19 19 .故二面角 EBCA 的余弦值为－ 2 19 19 . 11．如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，平面 AED⊥平面 ABCD，EF∥AB，AB＝2，BC＝EF ＝1，AE＝ 6，DE＝3，∠BAD＝60°，G为 BC 的中点． (1)求证：FG∥平面 BED； (2)求证：平面 BED⊥平面 AED； (3)求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值． (1)证明 如图，取 BD 的中点 O，连接 OE，OG. 在△BCD 中，因为 G 是 BC 的中点， 所以 OG∥DC 且 OG＝ 1 2 DC＝1. 又因为 EF∥AB，AB∥DC， 所以 EF∥OG 且 EF＝OG， 所以四边形 OGFE 是平行四边形，所以 FG∥OE. 又 FG⊄ 平面 BED，OE⊂平面 BED， 所以 FG∥平面 BED. (2)证明 在△ABD 中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝60°， 由余弦定理可得 BD＝ 3，进而∠ADB＝90°， 即 BD⊥AD. 又因为平面 AED⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD， 平面 AED∩平面 ABCD＝AD， 所以 BD⊥平面 AED. 又因为 BD⊂平面 BED， 所以平面 BED⊥平面 AED. (3)解 因为 EF∥AB，所以直线 EF 与平面 BED 所成的角即为直线 AB 与平面 BED 所成的角． 过点 A 作 AH⊥DE 于点 H，连接 BH. 又平面 BED∩平面 AED＝ED， 由(2)知 AH⊥平面 BED， 所以直线 AB 与平面 BED 所成的角即为∠ABH. 在△ADE 中，AD＝1，DE＝3，AE＝ 6， 由余弦定理得 cos∠ADE＝ 2 3 ，所以 sin∠ADE＝ 5 3 ， 因此，AH＝AD·sin∠ADE＝ 5 3 . 在 Rt△AHB 中，sin∠ABH＝ AH AB ＝ 5 6 . 所以直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值为 5 6 . 12．在直角梯形 SBCD 中，∠D＝∠C＝ π 2 ，BC＝CD＝2，SD＝4，A 为 SD 的中点，如图(1)所示， 将△SAB 沿 AB 折起，使 SA⊥AD，点 E 在 SD 上，且 SE＝ 1 3 SD，如图(2)所示． (1)求证：SA⊥平面 ABCD； (2)求二面角 E－AC－D的正切值． (1)证明 由题意，知 SA⊥AB， 又 SA⊥AD，AB∩AD＝A， 所以 SA⊥平面 ABCD. (2)解 在 AD 上取一点 O，使 AO＝ 1 3 AD， 连接 EO，如图所示． 又 SE＝ 1 3 SD，所以 EO∥SA. 所以 EO⊥平面 ABCD. 过 O 作 OH⊥AC 交 AC 于 H，连接 EH，则 AC⊥平面 EOH， 所以 AC⊥EH， 所以∠EHO 为二面角 E－AC－D 的平面角． 已知 EO＝ 2 3 SA＝ 4 3 . 在 Rt△AHO 中，∠HAO＝45°，OH＝AO·sin 45°＝ 2 3 × 2 2 ＝ 2 3 . tan∠EHO＝ EO OH ＝2 2，即二面角 E－AC－D 的正切值为 2 2.