【精品试题】2021年高考数学一轮复习创优测评卷（新高考专用）测试卷07 不等式（解析版） 16页

2021 年高考数学一轮复习不等式创优测评卷(新高考专用) 一、单选题（共 60分，每题 5分） 1．函数 xy a （ 0a  ， 1a  ）与 by x 的图象如图，则下列不等式一定成立的是（ ） A． 0ab  B． 0a b  C． 1ab  D． log 2a b 【答案】D 【解析】 由图可知， xy a 单调递增，则 1a  ； by x 单调递减，则 0b  ， A： ab  0 不一定成立，如 3, 1a b   ； B： 0a b  不一定成立，如 2, 3a b   ； C： 1ab  不成立， 0ab  的； D： log 2 0a b  ，成立． 2．若增函数 baxxf )( 与 x轴交点是 )0,2( ，则不等式 02  axbx 的解集是（ ） A． ),0() 2 1,(   B． ) 2 1,0( C． )0, 2 1( D． ), 2 1()0,(   【答案】C 【解析】 试题分析：增函数 baxxf )( 与 x轴交点是 )0,2( 2 0, 0a b a    2 2 10 2 0 2 0 0 2 bx ax ax ax x x x           ，不等式解集为 )0, 2 1( 3．偶函数   f x x R 满足：    4 2 0f f   ，且在区间  0,3 与  3, 上分别递减与递增，则不等 式   0x f x  的解集为（ ） A．    , 4 4,   B．      , 4 2,0 2,4    C．    4, 2 2,4   D．    , 4 2,0   【答案】B 【解析】 试题分析：由已知条件，画出图象如图，因为   0x f x  ，当 4x   时，   0f x  ，满足   0x f x  , 所以 4x   符合；当 4 2x    时,   0f x  ,不满足   0x f x  ；当 2 0x   ,   0f x  ,满足   0x f x  ,所以 2 0x   符合；当0 2x  ,   0f x  ,不满足   0x f x  ,所以0 2x  不符合；当 2 4x  ,   0f x  ,满足   0x f x  ,所以 2 4x  符合；当 4x  ,   0f x  ,不满足   0x f x  ,所 以 4x  不符合.综上不等式   0x f x  的解集为      , 4 2,0 2,4    .选 B. x y 42-4 -2 4．已知函数  f x 与  g x 满足：        2 2 , 1 1f x f x g x g x      ，且  f x 在区间  2, 上为 减函数，令      h x f x g x  ，则下列不等式正确的是（ ） A．    2 4h h  B．    2 4h h  C．    0 4h h D．    0 4h h 【答案】B 【解析】 试题分析：      2 2f x f x f x    关于 2x  对称，  f x 在区间  2, 上为减函数，所以  f x 在 区间 ( , 2] 上为增函数，而    1 1 2g x g x T     ， 所以    2 = ( 2) | ( 2) | (6) | (4) |, 4 (4) | (4) | ( 2)h f g f g h f g h       ，    0 4h h ，选 B. 5．对于 ，给出下列四个不等式 （ ） ① ② ③ ④ 其中成立的是 A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④ 【答案】D 【解析】 试题分析：由于 ，所以函数 和 在定义域上都是单调递减函数，而且 ，所以②与④是正确的. 6．已知函数  f x 与  g x 满足：        2 2 , 1 1f x f x g x g x      ，且  f x 在区间  2, 上为 减函数，令      h x f x g x  ，则下列不等式正确的是（ ） A．    2 4h h  B．    2 4h h  C．    0 4h h D．    0 4h h 【答案】B 【解析】      2 2f x f x f x    关于 2x  对称，  f x 在区间  2, 上为减函数，所以  f x 在 区间 ( , 2] 上为增函数，而    1 1 2g x g x T     ， 所以    2 = ( 2) | ( 2) | (6) | (4) |, 4 (4) | (4) | ( 2)h f g f g h f g h       ，    0 4h h ，选 B. 7．已知 *Nk  ， , , Rx y z  ，若 2 2 2( ) 5( )k xy yz zx x y z     ，则对此不等式描述正 确的是（ ） A．若 5k  ，则至少存在．．．．一个以 , ,x y z为边长的等边三角形 B．若 6k  ，则对任意满足不等式的 , ,x y z都存在．．．以 , ,x y z为边长的三角形 C．若 7k  ，则对任意满足不等式的 , ,x y z都存在．．．以 , ,x y z为边长的三角形 D．若 8k = ，则对满足不等式的 , ,x y z不存在．．．以 , ,x y z为边长的直角三角形 【答案】B 【解析】本题可用排除法，由 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y z z xx y z xy yz zx           ， 对于 A，若 5k  ，可得 2 2 2xy yz zx x y z     ，故不存在这样的 , , ,x y z A错误，排除 A；对于 , 1, 1, 2C x y z   时，    2 2 27 5xy yz zx x y z     成立，而以 , ,x y z为边的三角形不存在，C错 误，排除C；对于 ,D 1, 1, 2x y z   时，    2 2 28 5xy yz zx x y z     成立，存在以 , ,x y z为边 的三角形为直角三角形，故D错误，排除 ,D 故选 B. 8．设二次函数   2f x ax bx c   的导函数为  f x ，则对 x R  ，不等式    f x f x  恒成立，则 2 2 22 b a c 的最大值为 A． 6 2 B． 6 2 C． 6 2 D． 6 2 【答案】D 【解析】解：由二次函数 f(x)=ax2+bx+c,可得导函数为 f′(x)=2ax+b， ∴不等式 f(x)⩾f′(x)化为 ax2+(b−2a)x+c−b⩾0. ∵对∀x∈R,不等式 f(x)⩾f′(x)恒成立， ∴    2 0 { 2 4 0 a b a a c b        ， 化为 b2⩽4ac−4a2. ∴ 2 2 22 2 2 2 4 1 4 4 2 2 1 2 c b ac a a a c a c c a               ， 令 1c t a   ,则：       2 2 4 1 4 1 4 4 6 231 2 32 1 4 2 2 1 41 2 1 1 c ta tc t tt ta                        ， ,当且仅当 6 1 2 t   时取等号。 ∴ 2 2 22 b a c 的最大值为 6 2 . 本题选择 D选项. 9．已知二次函数   2f x x px q   通过点  ,0 、  ,0 .若存在整数 n，使 1n n     ，则     min , 1f n f n 与 1 4 的关系为（ ）. A．      1min , 1 4 f n f n   B．      1min , 1 4 f n f n   C．      1min , 1 4 f n f n   D．不能确定，与 n的具体取值有关 【答案】B 【解析】由二次函数通过点  ,0 、  ,0 ，有恒等式     f x x x    . ① 取 x n ，  1 1n n n      代入式①，有       0f n n n     ，     1 1 1 0f n n n        . 两式相乘得            0 1 1 1f n f n n n n n                1 1n n n n                 2 2 1 1 2 2 n n n n                      21 4       . 从而，      1min , 1 4 f n f n   . 选 B. 10．已知二次函数 ,方程 的两个根为 ,满足 ,那么 当 时, 与 的大小关系为( ) A． B． C． D． 【答案】C 11．已知向量 a，b  均为非零向量，则下列说法不正确的个数是（ ） ①向量 a与b  反向，且 a b  ，则向量 a b  与a的方向相同； ②向量 a与b  反向，且 a b  ，则向量 a b  与a的方向相同； ③向量 a与b  同向，则向量 a b  与 a的方向相同. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】对于①向量 a与b  反向，且 a b  ，向量 a b  与 a的方向相同正确； 对于②，向量 a b   与b  的方向相同，故②说法不正确； ③向量 a与b  同向，则向量 a b  与 a的方向相同正确， 故①③说法正确. 故选：B 12．已知向量OZ  与 1OZ  关于 x轴对称， (0,1)j   ，则满足不等式 2 1 0OZ j ZZ     的点 ( , )Z x y 的集合用 阴影表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由于点 ( , )Z x y ， ( , )OZ x y  ， 向量OZ  与 1OZ  关于 x轴对称， 1 ( , )OZ x y   ， 即 1 (0, 2 )ZZ y   ，由于 (0,1)j   ，则满足不等式 2 1 0OZ j ZZ     ， 即有 2 2 0 2 0x y y    ， 即 2 2( 1) 1x y   ， 即为圆心为（0，1），半径为 1的圆及圆内的部分， 故选：C． 二、填空题（共 20分，每题 5分） 13．定义:关于 x的两个不等式 ( ) 0f x  和 ( ) 0g x 的解集分别为 ( , )a b 和 1 1( , ) b a ,则称这两个不等式为对 偶不等式,如果不等式 2 4 3 sin 2 0x x    与不等式 22 4 cos 1 0x x    为对偶不等式,且 ( , ) 2   , 则  _______. 【答案】 5 6  【解析】解:设不等式 2 4 3 sin 2 0x x    的解集为 ( , )a b , 由题意不等式 22 4 cos 1 0x x    的解集为 1 1( , ) b a , 即 ,x a x b  是方程 2 4 3 sin 2 0x x    的两根, 1 1,x x b a   是方程 22 4 cos 1 0x x    的两根. 由一元二次方程与不等式的关系可知 4 3 sin 2 1 1 -2cos a b ab a b b a ab               , 整理可得: sin 3 cos 3 q q = - ,即 3tan 3    . 又因为 ( , ) 2   所以 5 6   . 故答案为: 5 6  14．若不等式   0f x  的解集是[ 3, 2] ，不等式   0g x  的解集是，且  f x ，  g x 中， xR ， 则不等式     0 f x g x  的解集为__________. 【答案】    , 3 2,  U 【解析】由题意知：不等式   0f x  的解集是[ ]3,2- ， 所以不等式 ( ) 0f x  的解集是 ( , 3) (2, )    ， 不等式   0g x  的解集是，不等式 ( ) 0g x 的解集为 R， 再将原不等式 ( ) 0 ( ) f x g x  等价于 ( )f x 与 ( )g x 同号， 从而求得不等式 ( ) 0 ( ) f x g x  的解集. 不等式 ( ) 0g x 的解集为 R， 所以 ( ) 0 ( ) f x g x  等价于 ( )f x 与 ( )g x 同号，所以其等价于 ( ) 0f x  ， 故不等式 ( ) 0 ( ) f x g x  的解集为 ( , 3) (2, )    . 15．已知数列 na 满足 1 1 12, 2 2nn na a a     ，数列 nb 满足 40 2 2 n n nb a n   ，存在m N  ，使得 对 n N   ,不等式 n mb b 恒成立，则m的值为 ． 【答案】 27 【解析】∵数列 na 满足 1 1 12, 2 2nn na a a     ，∴ 1 1 1 2 2 n n n n a a    ，∴数列 2 n n a      是等差数列，首项为1， 公 差 为 1 ， ∴ 1 ( 1) 2 n n a n n    ， ∴ 2nna n  ． ∴ 40 2 2 (40 2 2 ) 2nn n nb a n n      ， 1 2(20 2 2) 2nn nb b n      ，当 26n  时， 1n nb b  ；当 27n  时， 1n nb b  ．∴当 27n  时， nb 取 得最大值．即存在 27m  ，使得对 n N   ,不等式 n mb b 恒成立.所以答案应填：27． 16．观察下列不等式： 1 2 1 22 a a a a  1 2 3 3 1 2 33 a a a a a a   1 2 3 4 4 1 2 3 44 a a a a a a a a    …… 照此规律，当 n N ( 2)n… 时不等式为__________. 【答案】 1 2 1 2 n n nn a a a a a a      【解析】解：根据题意，由所给的几个不等式发现： 左边式子的分母大小和分子相加的数的个数一样，对应右边就相乘，开根号， 则照此规律，当n N ( 2)n… 时不等式为 1 2 1 2 n n nn a a a a a a      . 故答案为： 1 2 1 2 n n nn a a a a a a      . 三、解答题（共 70分） 17． （10 分）已知函数    3 1f x x a x a R     . （1）当 1a   时，求不等式   1f x ≤ 的解集； （2）设关于 x的不等式   3 1f x x  的解集为M ，且 1 ,1 4 M     ，求 a的取值范围. 【答案】（1） 1 1 4 2 x x      ；（2） 7 1 3 a   . 【解析】（1）当 1a   时，由零点分段法，求不等式   1f x  的解集，最后取并集即可；（2）由题设条 件可得 3 1 3 1x a x x     在 1 ,1 4      上恒成立，然后分类讨论去绝对值，即可求得 a的取值范围. 试题解析：（1）当 1a   时，   1 3 1f x x x    ，   1 1 3 1 1f x x x      ，即 1 3 1 1 3 1 x x x         或 1 1 3 1 3 1 1 x x x          或 1 1 3 1 1 x x x       . 解得 1 3 1 4 x x       或 1 1 3 1 2 x x        或 1 3 4 x x     ，所以 1 1 4 3 x  或 1 1 3 2 x  或 . ∴原不等式的解集为 1 1 4 2 x x      . （2）∵ 1 ,1 4 M     ， ∴当 1 ,1 4 x      时，不等式   3 1f x x  恒成立，即 3 1 3 1x a x x     在 1 ,1 4      上恒成立， 当 1 1, 4 3 x     时， 1 3 3 1x a x x     ，即 6x a x  ， ∴ 6 6x x a x    ∴ 7 5x a x   在 1 1, 4 3     上恒成立， ∴    min min 7 5x a x   ，即 7 5 4 4 a   ； 当 1 ,1 3 x      时， 3 1 3 1x a x x     ，即 2x a  ，即 2 2x a    . ∴ 2 2x a x     在 1 ,1 3      上恒成立， ∴    min min 2 2x a x     ，即 7 1 3 a   ； 综上， a的取值范围为 7 1 3 a   . 18．（10分）设函数    | 1 | 2| |f x x x   － ，   2  1g x x mx  - ． （1）当   4m  - 时，求不等式     f x g x 的解集； （2）若不等式     f x g x 在 1[ 2, ] 2   上恒成立，求实数  m的取值范围． 【答案】（1） ( 2, 2 2)   （2） 9( , ) 2 m   【解析】（1）由题意，函数   1 2f x x x    ，可得   2 1, 1, 3, 1 2, 2 1, 2, x x f x x x x            当 4m   时，   2 4 1g x x x    . 当 1x   时，原不等式等价于 2 2 0x x  ，解得 2 0x   ，∴ 2 1x    ； ②当 1 2x   时，原不等式等价于 2 4 2 0x x   ， 解之，得 2 2 2 2x      ，∴ 1 2 2x     ； ③当 2x  时，    2 11g x g   ，而    2 3f x f  ，∴不等式    f x g x 解集为空集. 综上所述，不等式    f x g x 的解集为  2, 2 2   . （2）①当 2 1x    时，    f x g x 恒成立等价于 2 2mx x x  ，又 0x  ， ∴ 2m x  ，故 4m   ； ②当 11 2 x    时，    f x g x 恒成立等价于   3g x  恒成立，即  min 3g x  ， 只需  1 3 1 3 2 g g            即可，即 3, 9 , 2 m m       ，∴ 9 2 m   ， 综上， 9, 2 m        . 19．（12分）已知函数        2 21 1 2 2 , 2 xf x ax bx a b e x x x a R         ，且曲线  y f x 与 x 轴切于原点O． （1）求实数 ,a b的值； （2）若不等式   0f x  解集与不等式 2 0x mx n   的解集相同，求m n 的值． 【答案】（1） 0a  ， 1b  （2） 1m n   【解析】（1）求出 f（x）的导数，由题意可得  0 0f a   ，f（0）=（a﹣b）+1=0，即可得到 a，b的 值； （2）由题意可得不等式       210 1 1 1 2 xf x x e x x x           ，即   211 1 0 2 xx e x x           ， 令   21 1 2 xg x e x x        求出导数和单调区间，即有 0，1 为二次方程 x2+mx﹣n=0 的两根，即可得到 m， n的值，进而得到 m+n的值． 试题解析： 解：（1）∵        2 212 2 2 1 2 2 2 xf x ax bx a b ax b e x x x x                 2 212 3 2 2 xax a b x a e x x        ， ∴  0 0f a   ，又  0 1 0f a b    ， ∴ 1b  ； （2）不等式       210 1 1 1 2 xf x x e x x x           ， 整理得，   211 1 0 2 xx e x x           ， 即 2 1 0 01 1 2 x x e x x            或 2 1 0 1 1 0 2 x x e x x             ， 令   21 1 2 xg x e x x        ，则        1 , 1x xh x g x e x h x e      ， 当 0x  时，   1 0xh x e   ；当 0x  时，   1 0xh x e   ， ∴  h x 在  ,0 上单调递减，在  0, 上单调递增， ∴    0 0h x h  ， 即当 0x  时， 21 1 0 2 xe x x        ；当 0x  时， 21 1 0 2 xe x x        ， ∴当 0x  或 1x  时，   0f x  ；故 0和 1是方程 2 0x mx n   的两根， 从而 1, 0m n   ， ∴ 1m n   ． 20．（12分）已知函数   1 2 1f x m x x     ． （1）当 5m  时，求不等式   2f x  的解集； （2）若二次函数 2 2 3y x x   与函数  y f x 的图象恒有公共点，求实数m的取值范围． 【答案】（1） 4| 0 3 x x       ；（2） 4m  ． 【解析】（1）当 5m  时，         3 6 1 2 1 1 4 3 1 x x f x x x x x             ，由   2f x  不等式的解集为 4| 0 3 x x       ； （ 2 ） 由 二 次 函 数  22 2 3 1 2y x x x       该 函 数 在 1x   取 得 最 小 值 2 ， 因 为         3 1 1 3 1 1 3 1 1 x m x f x x m x x m x                 在 1x   处取得最大值 2m ， 2 2m   4m  ． 试题解析： （1）当 5m  时，         3 6 1 2 1 1 4 3 1 x x f x x x x x             ， 由   2f x  易得不等式的解集为 4| 0 3 x x       ； （2）由二次函数  22 2 3 1 2y x x x      ，该函数在 1x   取得最小值 2， 因为         3 1 1 3 1 1 3 1 1 x m x f x x m x x m x                 在 1x   处取得最大值 2m ， 所以要使二次函数 2 2 3y x x   与函数  y f x 的图象恒有公共点， 只需 2 2m  ，即 4m  21．（12分）已知二次函数 2( )f x ax bx c   ，当 ( , 2) (0, )x     时， ( ) 0f x  ，当 ( 2,0)x  时， ( ) 0f x  ，且对任意 xR ，不等式 ( ) ( 1) 1f x a x   恒成立. （1）求函数 ( )f x 的解析式； （2）设函数 ( ) ( ) 3F x tf x x   ，其中 0t  ，求 ( )F x 在 3 ,2 2 x      时的最大值 ( )H t . 【答案】（1）   2 2f x x x  ；（2）   3 , 0 2 3 3 2, 0 4 2 5 28 5, 5 t H t t t t t              【解析】（1）由已知得 0a  ，且 2 和 0为方程 2 0ax bx c   的两根 ∴可设    2f x ax x  又由    1 1f x a x   即  2 1 1 0ax a x    恒成立 则    2 21 4 1 0a a a       ∴ 1a  ∴     22 2f x x x x x    （2）        2 22 3 2 1 3 0F x t x x x tx t x t         ①当 0t  时，   3F x x   在 3 ,2 2 x      时单调递减 ∴    max 3 3 2 2 H t F x F          ②当 0t  时，  F x 图像的对称轴方程为 0 2 1 11 2 2 tx t t       ∵ 3 2 12 2 4    ∴只须比较 0x 与 1 4 的大小 （Ⅰ）当 0 1 4 x  即 1 1 21 2 4 5 t t      时，   32 2 F F       ∴      max 2 8 5H t F x F t    （Ⅱ）当 0 1 4 x  即 1 1 21 0 2 4 5 t t       时，   32 2 F F       ∴    max 3 3 3 2 4 2 H t F x F t          ∴   3 , 0 2 3 3 2, 0 4 2 5 28 5, 5 t H t t t t t              22．（14分）已知数列 na 满足  *1 1 2 2 n n n a a n N a    ，且 1 1a  . （Ⅰ）证明：数列 1 na       为等差数列，并求数列 na 的通项公式； （Ⅱ）若记 nb 为满足不等式  *1 1 1 2 2kn na n N   的正整数 k的个数，设     1 1 1 n n n n n n bT b b       ， 求数列 nT 的最大项与最小项的值. 【答案】(1)见解析;(2)最大项为 1 5 6 T  ，最小项为 2 7 12 T   . 【解析】（Ⅰ）对 1 1 2 2 n n n a a a   两边取倒数，移项即可得出 1 1 1 1 2n na a   ，故而数列 1 na       为等差数列， 利用等差数列的通项公式求出 1 na ，从而可得出 na ；（Ⅱ）根据不等式 11 1 2 2 n n ka              ，，得 12 1 2 1n nk     ，又 *k N ，从而    12 1 2 1 2n n n nb      ，当 n为奇数时， nT 单调递减， 1 50 6nT T   ；当 n为偶数时 nT 单调递增， 2 7 0 12 nT T    综上 nT 的最大项为 1 5 6 T  ，最小项为 2 7 12 T   . 试题解析：（Ⅰ）由于 1 1a  ， 1 2 2 n n n aa a   ，则 0na  ∴ 1 21 2 n n n a a a   ，则 1 21 1 1 1 1 1 1 2 2 2 n n n n n n n a a a a a a a         ，即 1 1 1 1 2n na a   为常数 又 1 1 1 a  ，∴数列 1 na       是以 1 为首项， 1 2 为公比的等比数列 从而  1 1 11 1 2 2n nn a       ，即 2 1na n   . （Ⅱ）由 11 1 2 2 n n ka              即 11 2 1 2 1 2 n n k             ，得 12 1 2 1n nk     ， 又 *k N ，从而    12 1 2 1 2n n n nb      故   1 2 1 11 1 2 2 12 1 1 2 n nn n n nn T                          当n为奇数时， 1 11 2 11 2 n n nT              ， nT 单调递减， 1 50 6nT T   ； 当n为偶数时， 1 11 2 11 2 n n nT              ， nT 单调递增， 2 7 0 12 nT T    综上 nT 的最大项为 1 5 6 T  ，最小项为 2 7 12 T   .