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- 2021-06-16 发布
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模块综合检测(B)
(时间:120 分钟 满分:150 分)
一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.已知命题“p:x≥4 或 x≤0”,命题“q:x∈Z”,如果“p 且 q”与“非 q”同时
为假命题,则满足条件的 x 为( )
A.{x|x≥3 或 x≤-1,x∉Z}
B.{x|-1≤x≤3,x∉Z}
C.{-1,0,1,2,3}
D.{1,2,3}
2.“a>0”是“|a|>0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知 2x+y=0 是双曲线 x2-λy2=1 的一条渐近线,则双曲线的离心率是( )
A. 2 B. 3 C. 5 D.2
4.已知双曲线的离心率为 2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线方程为( )
A.x2
4
-y2
12
=1 B.x2
12
-y2
4
=1
C.x2
10
-y2
6
=1 D.x2
6
-y2
10
=1
5.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆x2
3
+y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的
另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是( )
A.2 3 B.6 C.4 3 D.12
6.过点(2,-2)与双曲线 x2-2y2=2 有公共渐近线的双曲线方程为( )
A.x2
2
-y2
4
=1 B.x2
4
-y2
2
=1
C.y2
4
-x2
2
=1 D.y2
2
-x2
4
=1
7.曲线 y=x3-3x2+1 在点(1,-1)处的切线方程为( )
A.y=3x-4 B.y=-3x+2
C.y=-4x+3 D.y=4x-5
8.函数 f(x)=x2-2ln x 的单调递减区间是( )
A.(0,1] B.[1,+∞)
C.(-∞,-1],(0,1) D.[-1,0),(0,1]
9.已知椭圆 x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为( )
A.3 2 B.2 3
C. 30
3 D.3
2 6
10.设曲线 y=x+1
x-1
在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a 等于( )
A.2 B.1
2 C.-1
2 D.-2
11.若函数 y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数 y=f(x)在区间[a,b]上的
图象可能是( )
12.已知函数 f(x)的导函数 f′(x)=4x3-4x,且 f(x)的图象过点(0,-5),当函数 f(x)取
得极小值-6 时,x 的值应为( )
A.0 B.-1 C.±1 D.1
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.已知双曲线 x2-y2
3
=1,那么它的焦点到渐近线的距离为________.
14.点 P 是曲线 y=x2-ln x 上任意一点,则 P 到直线 y=x-2 的距离的最小值是
________.
15.给出如下三种说法:
①四个实数 a,b,c,d 依次成等比数列的必要而不充分条件是 ad=bc.
②命题“若 x≥3 且 y≥2,则 x-y≥1”为假命题.
③若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题.
其中正确说法的序号为________.
16.双曲线x2
a2
-y2
b2
=1 (a>0,b>0)的两个焦点 F1、F2,若 P 为双曲线上一点,且|PF1|=
2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为________.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)
17.(10 分)命题 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负实数根,命题 q:方程 4x2+4(m
-2)x+1=0 无实数根.若“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,求 m 的取值范围.
18.(12 分)F1,F2 是椭圆的两个焦点,Q 是椭圆上任意一点,从任一焦点向△F1QF2 中
的∠F1QF2 的外角平分线引垂线,垂足为 P,求点 P 的轨迹.
19.(12 分)若 r(x):sin x+cos x>m,s(x):x2+mx+1>0.已知∀x∈R,r(x)为假命题且 s(x)
为真命题,求实数 m 的取值范围.
20.(12 分)已知椭圆x2
a2
+y2
b2
=1 (a>b>0)的一个顶点为 A(0,1),离心率为 2
2
,过点 B(0,
-2)及左焦点 F1 的直线交椭圆于 C,D 两点,右焦点设为 F2.
(1)求椭圆的方程;
(2)求△CDF2 的面积.
21.(12 分)已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的图象过点 P(0,2),且在点 M(-1,f(-1))处的
切线方程为 6x-y+7=0.
(1)求函数 y=f(x)的解析式;
(2)求函数 y=f(x)的单调区间.
22.(12 分)已知 f(x)=2
3x3-2ax2-3x (a∈R),
(1)若 f(x)在区间(-1,1)上为减函数,求实数 a 的取值范围;
(2)试讨论 y=f(x)在(-1,1)内的极值点的个数.
模块综合检测(B) 答案
1.D
2.A [因为|a|>0⇔a>0 或 a<0,所以 a>0⇒|a|>0,但|a|>0 a>0,所以“a>0”是“|a|>0”
的充分不必要条件.]
3.C
4.A [由题意知 c=4,焦点在 x 轴上,
又 e=c
a
=2,∴a=2,
∴b2=c2-a2=42-22=12,
∴双曲线方程为x2
4
-y2
12
=1.]
5.C [设椭圆的另一焦点为 F,由椭圆的定义知
|BA|+|BF|=2 3,且|CF|+|AC|=2 3,
所以△ABC 的周长=|BA|+|BC|+|AC|
=|BA|+|BF|+|CF|+|AC|=4 3.]
6.D [与双曲线x2
2
-y2=1 有公共渐近线方程的双曲线方程可设为x2
2
-y2=λ,
由过点(2,-2),可解得λ=-2.
所以所求的双曲线方程为y2
2
-x2
4
=1.]
7.B [y′=3x2-6x,∴k=y′|x=1=-3,
∴切线方程为 y+1=-3(x-1),
∴y=-3x+2.]
8.A [由题意知 x>0,
若 f′(x)=2x-2
x
=2x2-1
x
≤0,则 00),则经过该点的切线的
斜率为 k=2x0-1
x0
,根据题意得,2x0-1
x0
=1,∴x0=1 或 x0=-1
2
,又∵x0>0,∴x0=1,此
时 y0=1,∴切点的坐标为(1,1),最小距离为|1-1-2|
2
= 2.
15.①②
解析 对①,a,b,c,d 成等比数列,则 ad=bc,反之不一定,故①正确;对②,令
x=5,y=6,则 x-y=-1,所以该命题为假命题,故②正确;对③,p∧q 假时,p,q 至少
有一个为假命题,故③错误.
16.(1,3]
解析 设|PF2|=m,
则 2a=||PF1|-|PF2||=m,
2c=|F1F2|≤|PF1|+|PF2|=3m.
∴e=c
a
=2c
2a
≤3,又 e>1,
∴离心率的取值范围为(1,3].
17.解 命题 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负实根⇔ Δ=m2-4>0
m>0
⇔m>2.
命题 q:方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根
⇔Δ′=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0
⇔12
m≤1 或 m≥3
或 m≤2
1b>0),F1,F2 是它的两个焦点,Q 为椭圆上任意一点,QP
是△F1QF2 中的∠F1QF2 的外角平分线(如图),连结 PO,
过 F2 作 F2P⊥QP 于 P 并延长交 F1Q 的延长线于 H,则 P 是 F2H 的中点,且|F2Q|=|QH|,
因此|PO|=1
2|F1H|=1
2(|F1Q|+|QH|)
=1
2(|F1Q|+|F2Q|)=a,
∴点 P 的轨迹是以原点为圆心,以椭圆半长轴长为半径的圆(除掉两点即椭圆与 x 轴的
交点).
19.解 由于 sin x+cos x= 2sin x+π
4 ∈[- 2, 2],
∀x∈R,r(x)为假命题即 sin x+cos x>m 恒不成立.
∴m≥ 2. ①
又对∀x∈R,s(x)为真命题.
∴x2+mx+1>0 对 x∈R 恒成立.
则Δ=m2-4<0,即-20,
∴直线与椭圆有两个公共点,
设为 C(x1,y1),D(x2,y2),
则
x1+x2=-16
9
x1x2=2
3
,
∴|CD|= 1+-22|x1-x2|
= 5· x1+x22-4x1x2
= 5·
-16
9 2-4×2
3
=10
9 2,
又点 F2 到直线 BF1 的距离 d=4 5
5
,
故 S△CDF2=1
2|CD|·d=4
9 10.
21.解 (1)由 f(x)的图象经过 P(0,2)知 d=2,
∴f(x)=x3+bx2+cx+2,
f′(x)=3x2+2bx+c.
由在点 M(-1,f(-1))处的切线方程是 6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0,
即 f(-1)=1,f′(-1)=6.
∴ 3-2b+c=6,
-1+b-c+2=1,
即 b-c=0,
2b-c=-3,
解得 b=c=-3.
故所求的解析式是 f(x)=x3-3x2-3x+2.
(2)f′(x)=3x2-6x-3,令 3x2-6x-3=0,
即 x2-2x-1=0.
解得 x1=1- 2,x2=1+ 2.
当 x<1- 2或 x>1+ 2时,f′(x)>0.
当 1- 21
4
时,∵
f′-1=4 a-1
4 >0
f′1=-4 a+1
4 <0
,
∴存在 x0∈(-1,1),使 f′(x0)=0,
∵f′(x)=2x2-4ax-3 开口向上,
∴在(-1,x0)内,f′(x)>0,在(x0,1)内,f′(x)<0,
即 f(x)在(-1,x0)内单调递增,在(x0,1)内单调递减,
∴f(x)在(-1,1)内有且仅有一个极值点,且为极大值点.
当 a<-1
4
时,∵
f′-1=4 a-1
4 <0
f′1=-4 a+1
4 >0
,
∴存在 x0∈(-1,1)使 f′(x0)=0.
∵f′(x)=2x2-4ax-3 开口向上,
∴在(-1,x0)内 f′(x)<0,
在(x0,1)内 f′(x)>0.
即 f(x)在(-1,x0)内单调递减,在(x0,1)内单调递增,
∴f(x)在(-1,1)内有且仅有一个极值点,且为极小值点.
当-1
4
≤a≤1
4
时,由(1)知 f(x)在(-1,1)内递减,没有极值点.
综上,当 a>1
4
或 a<-1
4
时,f(x)在(-1,1)内的极值点的个数为 1,当-1
4
≤a≤1
4
时,f(x)
在(-1,1)内的极值点的个数为 0.
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