高中数学第一章解三角形1_1正弦定理和余弦定理1_1_2余弦定理课堂探究学案新人教B版必修51 6页

1.1.2 余弦定理 课堂探究 一、三角形中的四类基本问题 剖析：解三角形的问题可以分为以下四类： (1)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形． 此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求 出第三个角，再用正弦定理求出第三边，注意判断解的个数． (2)已知三角形的两角和任一边，解三角形． 此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角 形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边．若所给边不是已知角的对边时，先由 三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边． (3)已知两边和它们的夹角，解三角形． 此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最 后用三角形内角和定理求第三个角． (4)已知三角形的三边，解三角形． 此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一个 角，最后用三角形内角和定理求出第三个角． 二、教材中的“？” 在△ABC 中，令 AB  ＝c， AC  ＝b， BC  ＝a，你能通过计算|a|2 ＝a·a 证明余弦定理 吗？ 剖析：如图所示，|a|2 ＝a·a＝a2 ＝ BC  · BC  ＝( AC  － AB  )·( AC  － AB  )＝ 2 AC  － 2 AC  · AB  ＋ 2 AB  ＝ 2 AC  －2| AC  || AB  |cos A＋ 2 AB  ＝b2 ＋c2 －2bccos A，即 a2 ＝b2 ＋ c2 －2bccos A． 同理可证 b2 ＝a2 ＋c2 －2accos B，c2 ＝a2 ＋b2 －2abcos C． 知识拓展：除了向量法和几何法来证明余弦定理外，我们还可以用坐标法或正弦定理来解决． (1)(坐标法)如图所示，以 A为坐标原点，AC 所在直线为 x 轴建立如图所示的平面直角 坐标系， 则点 A，B，C的坐标分别为 A(0，0)，B(ccos A，csin A)，C(b，0)，根据两点间的距 离公式，得 a=|BC|=    2 2cos sin 0c A b c A   ， ∴a 2 =c 2 cos 2 A-2bccos A+b 2 +c 2 sin 2 A， 即 a 2 =b 2 +c 2 -2bccos A． 同理可得 b2 ＝a2 ＋c2 －2accos B，c2 ＝a2 ＋b2 －2abcos C． (2)(用正弦定理证明)∵a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C， ∴b2 ＋c2 －2bccos A ＝4R2 (sin 2B＋sin 2C－2sin Bsin Ccos A) ＝4R2[sin2B＋sin2C＋2sin Bsin Ccos(B＋C)] ＝4R2(sin2B＋sin2C－2sin2Bsin2C＋2sin Bsin Ccos Bcos C) ＝4R2 [sin 2B(1－sin 2C)＋sin 2C(1－sin 2B)＋2sin B sin Ccos Bcos C] ＝4R2 (sin 2Bcos2C＋2sin Bsin Ccos Bcos C＋sin 2Ccos2B) ＝4R2 sin 2 (B＋C)＝4R2 sin 2A＝a2 ． 同理可证 b2 ＝a2 ＋c2 －2accos B，c2 ＝a2 ＋b2 －2abcos C． 题型一 用余弦定理解三角形 【例 1】 在△ABC 中： (1)a＝1，b＝1，∠C＝120°，求 c； (2)a＝3，b＝4，c＝ 37，求最大角； (3)a∶b∶c＝1∶ 3∶2，求∠A，∠B，∠C． 分析：(1)直接利用余弦定理即可； (2)在三角形中，大边对大角； (3)可设三边为 x， 3x，2x． 解：(1)由余弦定理，得 c2 ＝a2 ＋b2 －2abcos C＝1 2 ＋1 2 －2×1×1× － 1 2 ＝3， ∴c＝ 3． (2)显然∠C最大． ∵cos C＝ a2 ＋b2 －c2 2ab ＝ 3 2 ＋4 2 －37 2×3×4 ＝－ 1 2 ， ∴∠C＝120°． (3)由于 a∶b∶c＝1∶ 3∶2，可设 a＝x，b＝ 3x，c＝2x． 由余弦定理，得 cos A＝ b2 ＋c2 －a2 2bc ＝ 3x2＋4x2－x2 2· 3x·2x ＝ 3 2 ，∴∠A＝30°． 同理 cos B＝ 1 2 ，cos C＝0， ∴∠B＝60°，∠C＝90°． 反思：(1)本例为余弦定理的最基本应用，要在此基础上熟练地掌握余弦定理的结构特 征． (2)对于第(3)小题，根据已知条件，设出三边长，由余弦定理求出∠A，进而求出 其余两角．另外也可由边长关系，判断出∠C 为直角，再求角． 题型二 判断三角形的形状 【例 2】 在△ABC 中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且 sin A＝2sin B·cos C，试确定 △ABC 的形状． 分析：利用余弦定理先求出∠A＝60°，再根据三角变换公式求得∠B＝∠C． 解：∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2 ＝b2 ＋c2 －bc． 而 a2 ＝b2 ＋c2 －2bccos A，∴2cos A＝1．∴cos A＝ 1 2 ． ∴∠A＝60°．又 sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos B sin C，sin A＝2sin B·cos C， ∴sin Bcos C－cos Bsin C＝0， 即 sin(∠B－∠C)＝0，∴∠B＝∠C． 又∵∠B＋∠C＝120°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°． 故△ABC 为等边三角形． 反思：(1)判断三角形的形状是看该三角形是否为某特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、 等腰、等边三角形等)． (2)对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦 定理，要么统一为边的关系，要么统一为角的关系．再利用三角形的有关知识、三角恒 等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简，从而得出结论． (3)常见结论：设 a，b，c 分别是△ABC 的角 A，B，C的对边， ①若 a2 ＋b2 ＝c2 ，则∠C＝90°； ②若 a2＋b2>c2，则∠C<90°； ③若 a2＋b290°； ④若 sin 2A＝sin 2B，则∠A＝∠B 或∠A＋∠B＝ π 2 ． 题型三 三角形的面积公式的应用 【例 3】 在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别是 a，b，c，且 cos B cos C ＝－ b 2a＋c ．求： (1)∠B 的大小； (2)若 b＝ 13，a＋c＝4，求△ABC 的面积． 分析：先由余弦定理求出∠B，再结合条件列方程求出 ac，利用面积公式求出△ABC 的 面积． 解：(1)∵ cos B cos C ＝－ b 2a＋c ， ∴ (a2 ＋c2 －b2 )2ab (a2 ＋b2 －c2 )2ac ＝－ b 2a＋c ， 整理，得 a2＋c2－b2＝－ac， ∴cos B＝ a2 ＋c2 －b2 2ac ＝－ ac 2ac ＝－ 1 2 ， 从而∠B＝120°． (2)由(1)得 a2 ＋c2 ＋ac＝13．① 又 a＋c＝4，∴a2＋c2＋2ac＝16．② 由①②，得 ac＝3， ∴S△ABC＝ 1 2 acsin B＝ 1 2 ×3×sin 120°＝ 3 3 4 ． 反思：求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及夹角的正弦问题， 要注意方程思想在解题中的应用． 题型四 正、余弦定理的综合应用 【例 4】 (2013·课标全国Ⅰ高考，理 17)如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝ 3，BC ＝1，P为△ABC 内一点，∠BPC＝90°． (1)若 PB＝ 1 2 ，求 PA； (2)若∠APB＝150°，求 tan∠PBA． 分析：(1)在△PBA 中，利用余弦定理求得 PA；(2)在△PBA 中，再利用正弦定理列出与 ∠PBA 和∠APB 有关的方程即可． 解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°． 在△PBA 中，由余弦定理得 PA2＝3＋ 1 4 －2× 3× 1 2 cos 30°＝ 7 4 ．故 PA＝ 7 2 ． (2)设∠PBA＝α，由已知得 PB＝sin α． 在△PBA 中，由正弦定理得 3 sin 150° ＝ sin α sin(30°－α) ， 化简得 3cos α＝4sin α． 所以 tan α＝ 3 4 ，即 tan∠PBA＝ 3 4 ． 反思：正、余弦定理在解三角形中的应用关键要明确已知的边和角及所求，正弦定理尤 其在边角转化方面功能显著．余弦定理的使用要注意选择好“第三边”，这样才能列出 有效的方程，再者要熟练掌握三角变换公式，这在解三角形中经常用到． 题型五 易错辨析 【例 5】 在锐角△ABC 中，b＝1，c＝2，则 a 的取值范围是( ) A．11．又∠A为锐角，从而 cos A＝ b2 ＋c2 －a2 2bc ＝ 5－a2 2bc >0，得 00 只能推出∠A 为锐角，而不能推出△ABC 一定为锐角三角形，因为∠A＋∠B＋∠C＝ 180°，所以当△ABC 为锐角三角形时，不仅 cos A>0，还必须满足 cos B>0，cos C>0． 正解：由三角形的性质，知 c－b1． 又由 cos A＝ b2 ＋c2 －a2 2bc ＝ 5－a2 2bc >0，得 00，得 a∈R． 由 cos C＝ a2 ＋b2 －c2 2ab ＝ a2 －3 2ab >0，得 a> 3． 综上，知 3a 这一隐含条件，致使增解． 正解：由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝8－4 3，所以 c＝ 6－ 2．又由正弦定 理，得 sin A＝ asin C c ＝ 1 2 ．因为 b>a，所以∠B>∠A．又因为 0°<∠A<180°，所以∠A ＝30°．