高一数学 （人教版必修3）：第二章 抽样 word版含解析 10页

重点列表： 重点 名称 重要指数 重点 1 简单随机抽样 ★★★ 重点 2 分层抽样 ★★★★ 重点详解： 1．简单随机抽样 (1)简单随机抽样：一般地，设一个总体含有 N 个个体，从中逐个________地抽取 n 个个体作 为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会________，就把这种抽样方 法叫做简单随机抽样． (2)最常用的简单随机抽样方法有两种：________法和________法． 抽签法(抓阄法)：一般地，抽签法就是把总体中的 N 个个体________，把号码写在号签上， 将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取______个号签，连续抽取________次， 就得到一个容量为 n 的样本． 随机数法：随机数法就是利用______________、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样． 简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个数不多的情况下是行之有效的． 2．系统抽样 (1)一般地，假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本，我们可以按下列步骤进行系统 抽样： ①先将总体的 N 个个体________．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、 门牌号等； ②确定分段间隔 k，对编号进行分段．当N n (n 是样本容量)是整数时，取 k＝N n ，如果遇到N n 不是 整数的情况，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量 整除； ③在第 1 段用______________抽样方法确定第一个个体编号 l(l≤k)； ④按照一定的规则抽取样本．通常是将 l 加上________得到第 2 个个体编号________，再 ________得到第 3 个个体编号________，依次进行下去，直到获取整个样本． (2)当总体中元素个数较少时，常采用____________，当总体中元素个数较多时，常采用 ______________． 3．分层抽样 (1)分层抽样的概念：一般地，在抽样时，将总体分成________的层，然后按照一定的________， 从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是 一种分层抽样． (2)当总体是由__________的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法． (3)分层抽样时，每个个体被抽到的机会是________的． 【答案】 1．(1)不放回 都相等 (2)抽签 随机数 编号 1 n 随机数表 2．(1)①编号 ③简单随机 ④间隔 k (l＋k) 加 k (l＋2k) (2)简单随机抽样 系统抽样 3．(1)互不交叉 比例 (2)差异明显 (3)均等 重点 1：简单随机抽样 【要点解读】 1、 简单随机抽样对于总体比较少的情况比较适用 2、 要注意“搅拌均匀” 3、 用随机数表法要注意编号的方法 【考向 1】抽签法 【例题】某大学为了支援我国西部教育事业，决定从应届毕业生报名的 18 名志愿者中选取 6 名组成志愿小组．请用抽签法和随机数表法设计抽样方案． 解：(抽签法) 第一步：将 18 名志愿者编号，编号为 1，2，3，…，18； 第二步：将 18 个号码分别写在 18 张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签； 第三步：将 18 个号签放入一个不透明的盒子里，充分搅匀； 第四步：从盒子中逐个抽取 6 个号签，并记录上面的编号； 第五步：所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员． (随机数表法) 第一步：将 18 名志愿者编号，编号为 01，02，03，…，18； 第二步：在随机数表中任选一数作为开始，按任意方向读数，比如从第 8 行第 29 列的数 7 开 始，向右读； 第三步：从数 7 开始，向右读，每次取两位，凡不在 01～18 中的数或已读过的数，都跳过去 不作记录，依次可得到 12，07，15，13，02，09； 第四步：找出以上号码对应的志愿者，即是志愿小组的成员． 【评析】考虑到总体中个体数较少，利用抽签法或随机数表法很容易获取样本，但须按这两 种抽样方法的操作步骤进行．注意掌握随机数表的使用方法． 【考向 2】随机数表法 【例题】有一批机器，编号为 1，2，3，…，112，为调查机器的质量问题，打算抽取 10 台入 样，请写出用简单随机抽样方法获得样本的步骤． 解法一：将 112 个外形完全相同的号签(编号 001，002，…，112)放入一个不透明的盒子里， 充分搅拌均匀后，每次不放回地从盒子中抽取 1 个号签，连续抽取 10 次，就得到 1 个容量为 10 的样本． 解法二：第一步，将机器编号为 001，002，003，…，112； 第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如选第 9 行第 7 个 数“3”，向右读； 第三步，从“3”开始，向右读，每次读取三位，凡不在 001～112 中的数跳过去不读，前面 已经读过的数也跳过去不读，依次可得到 074，100，094，052，080，003，105，107，083， 092，这样就得到一个容量为 10 的样本； 第四步，找出以上号码对应的机器，即是要抽取的样本． 重点 2：分层抽样 【要点解读】 分层抽样对于个体差异比较明显的情况比较适用 特别注意抽样比的应用 【考向 1】分层抽样的步骤 【例题】某企业共有 5 个分布在不同区域的工厂，职工 3 万人，其中职工比例为 3∶2∶5∶2∶ 3.现从 3 万人中抽取一个 300 人的样本，分析员工的生产效率．已知生产效率与不同的地理 位 置 的 生 活 习 俗 及 文 化 传 【评析】分层抽样的实质为按比例抽取，当总体由差异明显的几部分组成时，多用分层抽样．应 认识到，在各层抽取样本时，又可能会用到简单随机抽样，系统抽样，甚至分层抽样来抽取 样本． 【考向 2】分层抽样的应用 【例题】某地区有小学 150 所，中学 75 所，大学 25 所．现采用分层抽样的方法从这些学校 中抽取 30 所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取________所学校，中学中抽取________ 所学校． 解：设从小学、中学、大学分别抽取 x，y，z 所，且 x∶y∶z＝150∶75∶25＝6∶3∶1，则 x ＝30× 6 10 ＝18(所)， y＝30× 3 10 ＝9(所)．故填 18；9. 难点列表： 难点 名称 难度指数 难点 1 系统抽样 ★★★★ 难点 2 抽样方法的选择与计算 ★★★★ 难点详解： 抽样方法经常交叉使用，比如系统抽样中均匀分段后的第一段，可采用简单随机抽样；分层 抽样中，若每层中个体数量仍很大时，则可辅之以系统抽样等． 三种抽样方法的比较 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单随机抽样 抽 样 过 程 中 每 个 个 体 被 抽 取 的 概 率 相 等 从总体中逐 个抽样 总体中的个体 数较少 系统 抽样 将总体均分 成几部分， 按事先确定 的规则在各 部分抽取 在起始部分 抽样时采用 简单随机抽 样 总体中的个体 数较多 分层 抽样 将总体分成 几层，分层 进行抽取 分层抽样时 采用简单随 机抽样或系 统抽样 总体由差异明 显的几部分组 成 难点 1：系统抽样 【要点解读】 系统抽样又称等距抽样，号码序列一旦确定，样本即确定好了．但要注意，如果编号的个体 特征随编号的变化呈现一定的周期性，那么样本的代表性是不可靠的，甚至会导致明显的偏 向． 【考向 1】系统抽样步骤 【例题】从某厂生产的 10002 辆汽车中随机抽取 100 辆测试某项性能，请合理选择抽样方法 进行抽样，并写出抽样过程． 解：因为总体容量和样本容量都较大，可用系统抽样． 抽样步骤如下： 第一步，将 10002 辆汽车用随机方式编号； 第二步，从总体中剔除 2 辆(剔除法可用随机数表法)，将剩下的 10000 辆汽车重新编号(分别 为 00001，00002，…，10000)，并分成 100 段； 第三步，在第一段 00001，00002，…，00100 这 100 个编号中用简单随机抽样方法抽出一个 作为起始号码(如 00006)； 第四步，把起始号码依次加上间隔 100，可获得样本． 【评析】①总体容量和样本容量都较大时，选用系统抽样比较合适；②系统抽样的号码成等 差数列，公差为每组的容量． 【考向 2】系统抽样的应用 【例题】某单位有 840 名职工， 现采用系统抽样方法抽取 42 人做问卷调查， 将 840 人按 1, 2, … , 840 随机编号， 则抽取的 42 人中， 编号落入区间 481, 720]的人数为( ) A．11 B．12 C．13 D．14 难点 2：抽样方法的选择与计算 【要点解读】 分层抽样和系统抽样中的计算 (1)系统抽样 总体容量为 N，样本容量为 n，则要将总体均分成 n 组，每组N n 个(有零头时要先去掉)． 若第一组抽到编号为 k 的个体，则以后各组中抽取的个体编号依次为 k＋N n ，…，k＋(n－1)N n . (2)分层抽样 按比例抽样，计算的主要依据是：各层抽取的数量之比＝总体中各层的数量之比． 【考向 1】系统抽样的计算 【例题】采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1，2，…， 960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中，编号落入区 间 1，450]的人做问卷 A，编号落入区间 451，750]的人做问卷 B，其余的人做问卷 C.则抽到 的人中，做问卷 B 的人数为( ) A．7 B．9 C．10 D．15 【解析】 由题意，可知系统抽样中每一组的样本数为960 32 ＝30，因为第一组抽取的样本号码 为 9 ， 所 以 第 k 组 抽 取 的 号 码 为 9 ＋ 30×(k － 1) ． 由 451≤9 ＋ 30×(k － 1)≤750 ， 得 16≤k≤25(k∈Z)，所以 k＝16，17，…，25，共 10 个，即应该有 10 人做问卷 B. 【答案】 C 【考向 2】分层抽样的计算 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示．为了解该地区中小学生的近视 形成原因，用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数 分别为( ) A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10 【答案】 A 【名师点睛】 解题(1)的关键是掌握系统抽样的原理及步骤； 题(2)在扇形统计图中，根据抽取的比例计算样本容量，根据条形统计图计算抽取的高中生近 视人数． 【趁热打铁】 1．某学校有男、女学生各 500 名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显 著差异，拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查 ，则宜采用的抽样方法是( ) A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 2．现要完成下列 3 项抽样调查： ①从 10 盒酸奶中抽取 3 盒进行食品卫生检查． ②科技报告厅有 32 排，每排有 40 个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后， 为了听取意见，需要请 32 名听众进行座谈． ③东方中学共有 160 名教职工，其中一般教师 120 名，行政人员 16 名，后勤人员 24 名．为 了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为 20 的样本． 较为合理的抽样方法是( ) A．①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样 B．①简单随机抽样；②分层抽样；③系统抽样 C．①系统抽样；②简单随机抽样；③分层抽样 D．①分层抽样；②系统抽样；③简单随机抽样 3．从 2006 名学生中选取 50 名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从 2006 人中剔除 6 人，剩下的 2000 人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率( ) A．不全相等 B．均不相等 C．都相等，且为 25 1003 D．都相等，且为 1 40 4．要从 10 名女生和 5 名男生中选出 6 名学生组成课外兴趣小组，如果按性别依比例分层随 机抽样，则选取的男生人数是( ) A．4 B．6 C．2 D．12 5 5．总体由编号为 01，02，…，19，20 的 20 个个体组成．利用下面的随机数表选取 5 个个体， 选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选 出来的第 5 个个体的编号为( ) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A. 08 B．07 C．02 D．01 6．将参加夏令营的 600 名学生编号为 001，002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为 50 的样本，且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分住在三个营区，从 001 到 300 在第Ⅰ营 区，从 301 到 495 在第Ⅱ营区，从 496 到 600 在第Ⅲ营区．三个营区被抽中的人数依次为( ) A．25，17，8 B．25，16，9 C．26，16，8 D．24，17，9 7．一支田径运动队有男运动员 56 人，女运动员 42 人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若 抽取的男运动员有 8 人，则抽取的女运动员有________人． 8．将参加数学竞赛的 1000 名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取 一个容量为 50 的样本，按系统抽样的方法分成 50 个部分，如果第一部分编号为 0001，0002，…， 0020，从第一部分随机抽取一个号码 0015，则第 40 个号码为________． 9．为了考察某校的教学水平，将抽查该校高三年级部分学生本学年的考试成绩进行考察．为 了全面地反映实际情况，采用以下三种方式进行抽样(已知该校高三年级共有 20 个教学班， 并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同)：①从全年 级 20 个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取 20 人，考察他们的学习成绩；②每个班 都抽取 1 人，共计 20 人，考察这 20 个学生的成绩；③把学生按成绩分成优秀、良好、普通 三个级别，从中抽取 100 名学生进行考察(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共 150 人， 良好生共 600 人，普通生共 250 人)．根据上面的叙述，回答下列问题： (1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中， 其样本容量分别是多少？ (2)上面三种抽取方式中各自采用了何种抽取样本的方法？ 10．某公司有 1000 名员工，其中：高层管理人员为 50 名，属于高收入者；中层管理人员为 150 名，属于中等收入者；一般员工为 800 名，属于低收入者．要对这个公司员工的收入情况 进行调查，欲抽取 100 名员工，应当怎样进行抽样？ 第二章 1 解：由题意，男、女生需要按比例抽样，所以需要分层抽样．故选 D. 2 解：由各抽样方法的适用范围可知较为合理的抽样方法是：①用简单随机抽样，②用系统抽 样，③用分层抽样．故选 A. 3 解：抽样过程中每个个体被抽取的机会均等，概率相等，题中的抽取过程与从 2006 人中抽 取 50 人，每人入选的概率相同，其概率为 50 2006 ＝ 25 1003 .故选 C. 4 解：依题意得从 10 名女生和 5 名男生中选出 6 名学生，按性别分层抽样时，女生选 4 名， 男生选 2 名，故选 A. 5 解：从选定的两位数字开始向右读，剔除不合题意及与前面重复的编号，得到符合题意的编 号分别为 08，02，14，07，01，…，因此选出来的第 5 个个体的编号为 01.故选 D. 6 解：依题意及系统抽样的意义可知，将这 600 名学生按编号依次分成 50 组，每一组各有 12 名学生，第 k(k∈N*)组抽中的号码是 3＋12(k－1)．令 3＋12(k－1)≤300 得 k≤103 4 ，因此第 Ⅰ营区被抽中的人数是 25；令 300＜3＋12(k－1)≤495 得103 4 ＜k≤42，因此第Ⅱ营区被抽中 的人数是 42－25＝17；同理可知第Ⅲ营区被抽中的人数是 8.故选 A. 8 解：系统抽样号码构成一个等差数列，公差为每组编号个数，所以第 40 个号码为 0015＋(40 －1)×1000 50 ＝0795.故填 0795. 9 解：(1)这三种抽取方式中，其总体都是指该校高三全体学生本学年的考试成绩，个体都是 指高三年级每个学生本学年的考试成绩．其中第一种抽取方式中样本为所抽取的 20 名学生本 学年的考试成绩，样本容量为 20；第二种抽取方式中，样本为所抽取的 20 名学生本学年的考 试成绩，样本容量为 20；第三种抽取方式中，样本为所抽取的 100 名学生本学年的考试成绩， 样本容量为 100. (2)第一种采用简单随机抽样法；第二种采用系统抽样法和简单随机抽样法；第三种采用分层 抽样法和简单随机抽样法． 10 解：可以采用分层抽样的方法，按照收入水平分成三层：高收入者、中等收入者、低收入 者．从题中数据可以看出，高收入者为 50 名，占所有员工的比例为 50 1000 ＝5%，为保证样本的 代表性，在所抽取的 100 名员工中，高收入者所占的比例也应为 5%，数量为 100×5%＝5，所 以应抽取 5 名高层管理人员．同理，抽取 15 名中层管理人员、80 名一般员工，再对收入状况 分别进行调查．