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  • 2021-06-16 发布

高考数学热点题型和提分秘籍专题12任意角和弧度制及任意角的三角函数文

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专题 12 任意角和弧度制及任意角的三角函数 1.了解任意角的概念 2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 热点题型一 象限角与终边相同的角 例 1、 (1)终边在直线 y= 3x 上,且在[-2π,2π)内的角α的集合为________。 (2)如果α是第三象限的角,试确定-α,2α的终边所在位置。 【答案】(1) -5 3 π,-2 3 π,π 3 ,4 3 π (2)见解析 即π 2 +2kπ<-α<π+2kπ(k∈Z), 所以角-α的终边在第二象限。 由π+2kπ<α<3π 2 +2kπ(k∈Z), 得 2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z)。 所以角 2α的终边在第一、二象限及 y 轴的非负半轴。 【提分秘籍】 1.终边在某直线上角的求法步骤 (1)数形结合,在平面直角坐标系中画出该直线。 (2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角。 (3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合。 (4)求并集化简集合。 2.确定 kα,α k (k∈N*)的终边位置的方法 先用终边相同角的形式表示出角α的范围,再写出 kα或α k 的范围,然后根据 k 的可能取值讨论确定 kα 或α k 的终边所在位置。 【举一反三】 设角α是第二象限的角,且|cosα 2 |=-cosα 2 ,则角α 2 属于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 热点题型二 扇形的弧长及面积公式 例 2、 (1)已知扇形周长为 10,面积是 4,求扇形的圆心角。 (2)已知扇形周长为 40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大? 【解析】(1)设圆心角是θ,半径是 r, 【提分秘籍】 弧度制应用的关注点 1.弧度制下 l=|α|·r,S=1 2 lr,此时α为弧度。在角度制下,弧长 l=nπr 180 ,扇形面积 S=nπr2 360 ,此 时 n 为角度,它们之间有着必然的联系。 2.在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形。 【举一反三】 已知扇形的圆心角是α=120°,弦长 AB=12 cm,求弧长 l。 【解析】设扇形的半径为 r cm,如图。 由 sin60°=6 r , 得 r=4 3(cm), ∴l=|α|·r=2π 3 ×4 3=8 3 3 π(cm)。 热点题型三 三角函数的定义及其应用 例 3. (1)若角θ的终边经过点 P(- 3,m)(m≠0)且 sinθ= 2 4 m,则 cosθ的值为________。 (2)顶点在原点,始边在 x 轴的正半轴上的角α,β的终边与圆心在原点的单位圆交于 A,B 两点,若α =30°,β=60°,则弦 AB 的长为________。 【答案】(1)- 6 4 (2) 6- 2 2 【提分秘籍】三角函数定义的应用方法 (1)已知角α终边上一点 P 的坐标,可求角α的三角函数值。先求 P 到原点的距离,再用三角函数的定 义求解。 (2)已知角α的某三角函数值,可求角α终边上一点 P 的坐标中的参数值,可根据定义中的两个量列方 程求参数值。 (3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小,根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐 标。 【举一反三】 已知角α的终边与单位圆的交点 P -1 2 ,y ,则 sinα·tanα=( ) A.- 3 3 B.± 3 3 C.-3 2 D.±3 2 【答案】C 【解析】由|OP|2=1 4 +y2=1,得 y2=3 4 ,y=± 3 2 。 得 y= 3 2 时,sinα= 3 2 ,tanα=- 3,此时,sinα·tanα=-3 2 。 当 y=- 3 2 时,sinα=- 3 2 ,tanα= 3, 此时,sinα·tanα=-3 2 ,故选 C。 1.【2017 北京】在平面直角坐标系 xOy 中,角α与角β均以 Ox 为始边,它们的终边关于 y 轴对称.若 1sin 3   , cos( )  =___________. 【答案】 7 9  【解析】因为 和  关于 y 轴对称,所以 2 ,k k Z       ,那么 1sin sin 3    , 2 2cos cos 3     (或 2 2cos cos 3     ), 所以   2 2 2 7cos cos cos sin sin cos sin 2sin 1 9                   . 1.【2016 高考新课标 3 理数】在 ABC△ 中, π 4B = , BC 边上的高等于 1 3 BC ,则 cos A=( ) (A) 3 10 10 (B) 10 10 (C) 10 10- (D) 3 10 10- 【答案】C 2.【2016 高考新课标 2 理数】若 3cos( )4 5    ,则sin 2  ( ) (A) 7 25 (B) 1 5 (C) 1 5  (D) 7 25  【答案】D 【解析】 2 2 3 7cos 2 2cos 1 2 14 4 5 25                              , 且 cos 2 cos 2 sin 24 2                    ,故选 D. 【2015 高考新课标 1,理 2】 o o o osin 20 cos10 cos160 sin10 =( ) (A) 3 2  (B) 3 2 (C) 1 2  (D) 1 2 【答案】D 【解析】原式= o o o osin 20 cos10 cos 20 sin10 = osin 30 = 1 2 ,故选 D. (2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图 11,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始 边为射线 OA,终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M,将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函 数 f(x),则 y=f(x)在[0,π]上的图像大致为( ) 图 11 A B C D 【答案】C 1.sin(-270°)= ( ) A.-1 B.0 C. D.1 【解析】选 D. 因为-270°角的终边位于 y 轴的非负半轴上,在其上任取一点(0,y),则 r=y,所以 sin(-270°)= ==1. 2.已知α是第四象限角,则π-α是 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【解析】选 C. 因为α,π-α的终边关于 y 轴对称,所以由题意得π-α是第三象限角. 3.小明出国旅游,当地时间比中国时间晚一个小时,他需要将表的时针旋转,则转过的角的弧度数是 ( ) A. B. C.- D.- 【解析】选 B. 由题意小明需要把表调慢一个小时,逆时针旋转时针 弧度. 4.已知角α的终边上一点的坐标为 ,则角α的终边在第 象限( ) A.一 B.二 C.三 D.四 【解析】选 D. 因为 = ,所以α在第四象限. 5.下列命题中正确的是 ( ) A.若两扇形面积的比是 1∶4,则它们弧长的比是 1∶2 B.若扇形的弧长一定,则面积存在最大值 C.若扇形的面积一定,则弧长存在最小值 D.任意角的集合可与实数集 R 之间建立一一对应关系 6.若 tanα<0,且 sinα>cosα,则α在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限[] 【解析】选 B. 因为 tanα<0,所以α在第二或第四象限,又 sinα>cosα,所以α在第二象限. 7.对于第四象限角的集合,下列四种表示中错误的是 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 C. 先选定一周,A:270°到 360°再加 360°的整数倍,B:-90°到 0°再加 360°的整数倍, D:630°到 720°再加 360°的整数倍,故 A,B,D 都正确,只有 C 错误. 8.已知角α的始边与 x 轴的正半轴重合,顶点在坐标原点,角α终边上的一点 P 到原点的距离为 , 若α= ,则点 P 的坐标为 ( ) A.(1, ) B.( ,1) C.( ) D.(1,1) 【解析】选 D.设点 P 的坐标为(x,y),则由三角函数的定义得 即 故点 P 的坐标为(1,1). 9.下列终边相同的角是 ( ) A.kπ+ 与 ,k∈Z B.kπ± 与 ,k∈Z C.kπ+ 与 2kπ± ,k∈Z D.(2k+1)π与(4k±1)π,k∈Z 10.如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从 A 出发在圆上按逆时针方向转一周,点 P 所旋转过的 弧 AP 的长为 l,弦 AP 的长为 d,则函数 d=f(l)的图象大致为 ( ) 【解析】选 C.如图,取 AP 的中点为 D,设∠DOA=θ, 则 d=2sinθ,l=2θR=2θ, 所以 d=2sin 2 l . 11.已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等,且符号相同,那么α的值为 . 【答案】 或 【解析】根据正弦线和余弦线的定义知, 当α= 和 时,其正弦线和余弦线长度相等,且符号相同. 12.若 sinθ·cosθ<0, =cosθ,则点 P 在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 13.已知角α的终边经过点 P(3a-9,a+2),且 cosα≤0,sinα>0,则 a 的取值范围是 . 【答案】(-2,3] 【解析】由 得 所以-20 时,r=5a,sinθ+cosθ=-.[ 18.已知|cosθ|=-cosθ,且 tanθ<0,试判断 的符号. 【解析】由|cosθ|=-cosθ可得 cosθ≤0,所以角θ的终边在第二、三象限或 y 轴上或 x 轴的负半轴 上;又 tanθ<0,所以角θ的终边在第二、四象限,从而可知角θ的终边在第二象限.易知-10,sin(cosθ)<0,故 <0,即符号为负. 19.如图,动点 P,Q 从点 A(4,0)出发沿圆周运动,点 P 按逆时针方向每秒钟转 弧度,点 Q 按顺时针 方向每秒钟转 弧度,求 P,Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及点 P,Q 各自走过的弧长. 【解析】设 P,Q 第一次相遇时所用的时间是 t, 则 t· +t· =2π,所以 t=4(秒),即 P,Q 第一次相遇时所用的时间为 4 秒. 设第一次相遇点的坐标为 C(xC,yC),