人教a版数学【选修1-1】作业：2-2-2双曲线的简单几何性质（含答案） 6页

2.2.2 双曲线的简单几何性质 课时目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌 握直线与双曲线的位置关系． 1．双曲线的几何性质 标准方程 x2 a2 －y2 b2 ＝1 (a>0，b>0) y2 a2 －x2 b2 ＝1 (a>0，b>0) 图形 性 质 焦点 焦距 范围 对称性 顶点 轴长 实轴长＝______，虚轴长＝______ 离心率 渐近线 2.直线与双曲线 一般地，设直线 l：y＝kx＋m (m≠0) ① 双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1 (a>0，b>0) ② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当 b2－a2k2＝0，即 k＝±b a 时，直线 l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线 C 相交于 ________． (2)当 b2－a2k2≠0，即 k≠±b a 时， Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相切； Δ<0⇒直线与双曲线________公共点，此时称直线与双曲线相离． 一、选择题 1．下列曲线中离心率为 6 2 的是( ) A．x2 2 －y2 4 ＝1 B．x2 4 －y2 2 ＝1 C．x2 4 －y2 6 ＝1 D．x2 4 －y2 10 ＝1 2．双曲线x2 25 －y2 4 ＝1 的渐近线方程是( ) A．y＝±2 5x B．y＝±5 2x C．y＝± 4 25x D．y＝±25 4 x 3．双曲线与椭圆 4x2＋y2＝1 有相同的焦点，它的一条渐近线方程为 y＝ 2x，则双曲线 的方程为( ) A．2x2－4y2＝1 B．2x2－4y2＝2 C．2y2－4x2＝1 D．2y2－4x2＝3 4．设双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的虚轴长为 2，焦距为 2 3，则双曲线的渐近线方程 为( ) A．y＝± 2x B．y＝±2x C．y＝± 2 2 x D．y＝±1 2x 5．直线 l 过点( 2，0)且与双曲线 x2－y2＝2 仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 6．已知双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2，点 P 在双曲线的右支 上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率 e 的最大值为( ) A.4 3 B.5 3 C．2 D.7 3 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．两个正数 a、b 的等差中项是5 2 ，一个等比中项是 6，且 a>b，则双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1 的 离心率 e＝______. 8．在△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，且 a＝10，c－b＝6，则顶点 A 运动的轨迹方程是________________． 9．与双曲线x2 9 － y2 16 ＝1 有共同的渐近线，并且经过点(－3，2 3)的双曲线方程为 __________． 三、解答题 10．根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点 15 4 ，3 ，且一条渐近线为 4x＋3y＝0； (2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π 3. 11．设双曲线 x2－y2 2 ＝1 上两点 A、B，AB 中点 M(1，2)，求直线 AB 的方程． 能力提升 12．设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条 渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A． 2 B． 3 C． 3＋1 2 D． 5＋1 2 13．设双曲线 C：x2 a2 －y2＝1 (a>0)与直线 l：x＋y＝1 相交于两个不同的点 A、B. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围； （2）若设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且PA→＝ 5 12PB→，求 a 的值． 1．双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1 (a>0，b>0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±a， 0)，实轴长为 2a，虚轴长为 2b；其上任一点 P(x，y)的横坐标均满足|x|≥a. 2．双曲线的离心率 e＝c a 的取值范围是(1，＋∞)，其中 c2＝a2＋b2，且b a ＝ e2－1，离心 率 e 越大，双曲线的开口越大．可以通过 a、b、c 的关系，列方程或不等式求离心率的值或 范围． 3．双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±b ax，也可记为x2 a2 －y2 b2 ＝0；与双曲线 x2 a2 －y2 b2 ＝1 具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为x2 a2 －y2 b2 ＝λ (λ≠0)． 2．2.2 双曲线的简单几何性质 答案 知识梳理 1. 标准方程 x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0) y2 a2 －x2 b2 ＝1(a>0，b>0) 图形 性 质 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≥a 或 x≤－a，y∈R y≥a 或 y≤－a，x∈R 对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称 顶点 (－a,0)，(a,0) (0，－a)，(0，a) 轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b 离心率 e＝c a(e>1) 渐近线 y＝±b ax y＝±a bx 2.(1)一点 (2)两个 一个 没有 作业设计 1．B [∵e＝ 6 2 ，∴e2＝c2 a2 ＝3 2 ，∴b2 a2 ＝1 2.] 2．A 3．C [由于椭圆 4x2＋y2＝1 的焦点坐标为 0，± 3 2 ， 则双曲线的焦点坐标为 0，± 3 2 ，又由渐近线方程为 y＝ 2x，得a b ＝ 2，即 a2＝2b2， 又由 3 2 2＝a2＋b2，得 a2＝1 2 ，b2＝1 4 ，又由于焦点在 y 轴上，因此双曲线的方程为 2y2－4x2 ＝1.故选 C.] 4．C [由题意知，2b＝2,2c＝2 3，则 b＝1，c＝ 3，a＝ 2；双曲线的渐近线方程为 y ＝± 2 2 x.] 5．C [点( 2，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双 曲线仅有一个公共点，另过该点且与 x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．] 6．B [||PF1|－|PF2||＝2a，即 3|PF2|＝2a， 所以|PF2|＝2a 3 ≥c－a，即 2a≥3c－3a，即 5a≥3c， 则c a ≤5 3.] 7. 13 3 解析 a＋b＝5，ab＝6，解得 a，b 的值为 2 或 3. 又 a>b，∴a＝3，b＝2.∴c＝ 13，从而 e＝c a ＝ 13 3 . 8.x2 9 －y2 16 ＝1(x>3) 解析 以 BC 所在直线为 x 轴，BC 的中点为原点建立直角坐标系，则 B(－5,0)，C(5,0)， 而|AB|－|AC|＝6<10.故 A 点的轨迹是双曲线的右支，其方程为x2 9 －y2 16 ＝1(x>3)． 9. x2 9 4 －y2 4 ＝1 解析 ∵所求双曲线与双曲线x2 9 －y2 16 ＝1 有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为 x2 9 －y2 16 ＝λ (λ≠0)．∵点(－3,2 3)在双曲线上， ∴λ＝－32 9 －2 32 16 ＝1 4. ∴所求双曲线的方程为x2 9 4 －y2 4 ＝1. 10．解 (1)因直线 x＝15 4 与渐近线 4x＋3y＝0 的交点坐标为 15 4 ，－5 ，而 3<|－5|，故 双曲线的焦点在 x 轴上，设其方程为x2 a2 －y2 b2 ＝1， 由 15 4 2 a2 －32 b2 ＝1， b2 a2 ＝ 4 3 2， 解得 a2＝9， b2＝16. 故所求的双曲线方程为x2 9 －y2 16 ＝1. (2)设 F1、F2 为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在 x 轴上． 因为 PF1⊥PF2，且|OP|＝6， 所以 2c＝|F1F2|＝2|OP|＝12，所以 c＝6. 又 P 与两顶点连线夹角为π 3 ， 所以 a＝|OP|·tanπ 6 ＝2 3， 所以 b2＝c2－a2＝24. 故所求的双曲线方程为x2 12 －y2 24 ＝1. 11．解 方法一 (用韦达定理解决) 显然直线 AB 的斜率存在． 设直线 AB 的方程为 y－2＝k(x－1)， 即 y＝kx＋2－k，由 y＝kx＋2－k x2－y2 2 ＝1 得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0， 当Δ>0 时，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 1＝x1＋x2 2 ＝k2－k 2－k2 ， ∴k＝1，满足Δ>0，∴直线 AB 的方程为 y＝x＋1. 方法二 (用点差法解决) 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x21－y21 2 ＝1 x22－y22 2 ＝1 ， 两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝1 2(y1－y2)(y1＋y2)． ∵x1≠x2，∴y1－y2 x1－x2 ＝2x1＋x2 y1＋y2 ， ∴kAB＝2×1×2 2×2 ＝1， ∴直线 AB 的方程为 y＝x＋1， 代入 x2－y2 2 ＝1 满足Δ>0. ∴直线 AB 的方程为 y＝x＋1. 12. D [设双曲线方程为x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为 y＝b ax， 而 kBF＝－b c ， ∴b a·(－b c)＝－1， 整理得 b2＝ac. ∴c2－a2－ac＝0，两边同除以 a2，得 e2－e－1＝0， 解得 e＝1＋ 5 2 或 e＝1－ 5 2 (舍去)．] 13．解 (1)由双曲线 C 与直线 l 相交于两个不同的点得 x2 a2 －y2＝1， x＋y＝1 有两个不同的 解， 消去 y 并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，① ∴ 1－a2≠0， Δ＝4a4＋8a21－a2>0， 解得－ 20，∴0 6 2 且 e≠ 2. ∴双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是 6 2 ， 2 ∪( 2，＋∞)． (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)． ∵ PA→＝ 5 12PB→，∴(x1，y1－1)＝ 5 12(x2，y2－1)， 由此可得 x1＝ 5 12x2.∵x1，x2 都是方程①的根， 且 1－a2≠0，∴x1＋x2＝17 12x2＝－ 2a2 1－a2 ， x1x2＝ 5 12x22＝－ 2a2 1－a2 ，消去 x2 得－ 2a2 1－a2 ＝289 60 ， 即 a2＝289 169. 又∵a>0，∴a＝17 13.