高中人教a版数学必修4：第17课时 平面向量的实际背景及其基本概念 word版含解析 4页

第 17 课时 平面向量的实际背景及其基本概念 课时目标 1.通过物理、几何模型的探究，了解向量的实际背景．掌握向量的有关概念及向量的几 何表示． 2．掌握相等向量与共线向量的概念． 识记强化 1．既有大小，又有方向的量叫向量． 2．向量可以用有向线段AB→表示，也可用字母表示，印刷中用黑体小写字母 a，b，c，… 表示，书写时，可以用带箭头的小写字母a → ，b → ，c → ，…表示． 3．表示向量的有向线段的长度，叫向量的模，模为零的向量叫零向量；模为 1 的向量 叫单位向量． 4．模相等、方向相同的向量叫相等向量；方向相同或相反的两个向量叫平行向量，也 叫共线向量．规定零向量与任何向量共线． 课时作业 一、选择题 1．给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度．其 中是向量的有( ) A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．7 个 答案：A 解析：速度、位移、力、加速度，这 4 个物理量是向量，它们都有方向和大小． 2．已知 D 为平行四边形 ABPC 两条对角线的交点，则|PD→ | |AD→ | 的值为( ) A.1 2 B.1 3 C．1 D．2 答案：C 解析：因为四边形 ABPC 是平行四边形，D 为对角线 BC 与 AP 的交点，所以 D 为 PA 的中点，所以|PD→ | |AD→ | 的值为 1. 3．下列说法正确的是( ) A．若 a 与 b 平行，b 与 c 平行，则 a 与 c 一定平行 B．终点相同的两个向量不共线 C．若|a|>|b|，则 a>b D．单位向量的长度为 1 答案：D 解析：A 中，因为零向量与任意向量平行，若 b＝0，则 a 与 c 不一定平行．B 中，两 向量终点相同，若夹角是 0°或 180°，则共线．C 中，向量是既有大小，又有方向的量，不 可以比较大小． 4．如图，在⊙O 中，向量OB→ 、OC→ 、AO→ 是( ) A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 答案：C 5．下列命题正确的是( ) A．若|a|＝|b|，则 a＝b B．若 a≠b，则|a|≠|b| C．若|a|＝|b|，则 a 与 b 可能共线 D．若|a|≠|b|，则 a 一定不与 b 共线 答案：C 解析：因为向量既有大小又有方向，只有方向相同、大小(长度)相等的两个向量才相等， 因此 A 错误．两个向量不相等，但它们的模可以相等，故 B 错误．不论两个向量的模是否 相等，这两个向量都可能共线，C 正确，D 错误． 6．给出下列四个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ③设 a0 是单位向量，若 a∥a0，且|a|＝1，则 a＝a0； ④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b. 其中假命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：①不正确．两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两个向量相等，不 一定有相同的起点和终点． ②正确．根据向量相等的定义判定． ③不正确．a 与 a0 均是单位向量，a＝a0 或 a＝－a0. ④不正确．a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a，b 同向． 二、填空题 7．在四边形 ABCD 中，AB→∥CD→ ，|AB→|≠|CD→ |，则四边形 ABCD 是________． 答案：梯形 8．给出下列四个条件：(1)a＝b；(2)|a|＝|b|；(3)a 与 b 方向相反；(4)|a|＝0 或|b|＝0.其中 能使 a∥b 成立的条件是________． 答案：(1)(3)(4) 解析：若 a＝b，则 a 与 b 大小相等且方向相同，所以 a∥b；若|a|＝|b|，则 a 与 b 的大 小相等，而方向不确定，因此不一定有 a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此 若 a 与 b 方向相反，则有 a∥b；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0 或|b|＝0，则 a∥b. 9. 如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，则 (1)与AO→ 相等的向量有________； (2)与AO→ 共线的向量有________； (3)与AO→ 模相等的向量有________个． 答案：(1)BC→，OD→ ，FE→；(2)BC→，OD→ ，FE→，CB→，DO→ ，EF→，OA→ ，AD→ ，DA→ ；(3)23 解析：根据向量的相关概念，可得(1)与AO→ 相等的向量有BC→，OD→ ，FE→；(2)与AO→ 共线的向 量有BC→，OD→ ，FE→，CB→，DO→ ，EF→，OA→ ，AD→ ，DA→ ；(3)正六边形的每一条边和每一条中心与顶点连成 的线段，长度与AO→ 的模都相等，这样的线段共有 12 条，再注意到方向，共 24 个向量，除 去AO→ 本身，满足条件的向量有 23 个． 三、解答题 10．已知在四边形 ABCD 中，AB→∥CD→ ，求AD→ 与BC→分别满足什么条件时，四边形 ABCD 满足下列情况． (1)四边形 ABCD 是等腰梯形； (2)四边形 ABCD 是平行四边形． 解：(1)|AD→ |＝|BC→|，且AD→ 与BC→不平行． ∵AB→∥CD→ ，∴四边形 ABCD 为梯形或平行四边形．若四边形 ABCD 为等腰梯形，则|AD→ | ＝|BC→|，同时两向量不共线． (2)AD→ ＝BC→(或AD→ ∥BC→)． 若AD→ ＝BC→，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形 ABCD 为平行四边形． 11．一架飞机向北飞行了 300 km，然后又向西飞行了 300 km. (1)飞机飞行的路程是多少？ (2)两次飞行结束后，飞机在出发地的什么方位？距离出发地多远？(保留根号) 解：(1)300＋300＝600(km)，飞机飞行的路程是 600 km. (2)两次飞行结束后，飞机在出发地的西北方向(或北偏西 45°)，距离出发地 300 2 km. 能力提升 12．如图所示的 4×5 的矩形(每个小方格都是正方形)，与AB→相等，并且要求向量的起 点和终点都在方格的顶点处的向量可以作出________个． 答案：3 13．如图，已知正比例函数 y＝x 的图象 m 与直线 n 平行，A 0，－ 2 2 、B(x，y)是直线 n 上的两点，问： (1)x、y 为何值时，AB→＝0? (2)x、y 为何值时，AB→为单位向量？ 解：(1)已知点 B(x，y)是直线 n 上的动点，要使得AB→＝0，必须且只需点 B(x，y)与 A 重 合，于是 x＝0，y＝－ 2 2 ，即当 x＝0，y＝－ 2 2 时，AB→＝0. (2) 如图，要使得AB→是单位向量，必须且只需|AB→|＝1.由已知 m∥n 且 A 0，－ 2 2 ， ∴点 B1 的坐标是 2 2 ，0 . 在 Rt△AOB1 中，有|AB1 → |2＝|OA→ |2＋|OB1 → |2＝1. 上式表明，向量AB1 → 是单位向量，同理可得， 当点 B2 的坐标是 － 2 2 ，－ 2 时，向量AB2 → 也是单位向量． 综上，有当 x＝ 2 2 ，y＝0 或 x＝－ 2 2 ，y＝－ 2时，AB→为单位向量．